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伴随着高考改革的步伐,全国卷在各省市高考中被广泛采用,更加注重对学生能力的全面考查,突出对学生的学科核心素养的考查,其中对学生的数学计算能力有较高的要求,顺应高考改革与全国卷的要求,结合目前学生普遍计算能力偏弱的学习现状,而计算能力作为数学能力的核心部分,提高学生的数学计算能力成为了迫切的教学与现实需要.不同于小学和初中阶段倾向于数与式的计算处理,高中阶段更加注重字母符号运算的处理,体现出数学计算中的思维能力和系统的把控能力,包括但不限于运算法则应用的合理性、简便运算的灵活性、公式选择的有效性、计算路径选取的高效性.鉴于此,下面以几个例子来具体阐述如何处理数学计算问题,让思考成为计算的助推器. 例1 求和Tn =23 25 ··· 22n−1. 分析: 由题意可知, 本题可以直接选用等比数列求和公式进行计算, 而等比数列求和公式有两种表达形式: 本题可直接代入公式即可求得结果.但学生如果选择代入公式进行计算,由于学生对公式中各个字母所表达含义的理解不透彻,则极易出现计算错误. 典型错误如: Tn = 23 25 ··· 22n−1 = 主要原因在于学生对公式中n 表示项数的概念不清晰,对公式生搬硬套,从而产生错误,因此在计算前可以加强思考,选择合适的公式进行计算,以此提高计算的准确性,如果我们选择公式Sn = 进行计算,则 由于不用思考数列具体有几项,不但降低了思维的难度,也大大的提高了计算的速度和准确性.因此,运算前进行有效的数学思考,提高数学公式选择的有效性,间接地提升了数学计算的速度和效率. 例2 在∆ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且a,b,c 成等差数列,求角B 的取值范围.(摘自2019 佛山调研测试题) 解: 由题意得:  本题解答过程中应用了基本不等式,而基本不等式具有多种变式,在计算过程中容易出现典型错误如下:  主要原因在于公式运用过程中出现了逻辑错误,反映出逻辑思维不严谨,因此在计算前需合理选择公式,同时要根据题目意图进行思考,提前设想利用基本不等式后可能出现的计算结果,预先观察和联想,对分子分母中可能会出现ac被消掉的情况进行预判,以目标引领思维,在计算前对公式的选择要配合题目的目标进行, 结合对题意的思考和观察,以提高计算的准确性和有效性,通过提高计算能力间接培养了观察力、联想力和思维力. 例3 已知椭圆是椭圆的左焦点,过点P (−8,0) 作直线l 与椭圆交于不同的两点M,N, 求∆MNF 面积的最大值. 方法一(略解) : 设直线l 的方程为y = k(x 8),点M(x1,y1),N(x2,y2), 联立直线与椭圆的方程得  令t=得  故S∆MNF 的最大值为 通过分析方法一可以发现,在具体计算  的过程中体现出简便运算的有效性,避免了庞大的数字和繁杂的计算,有效的提高了计算效率. 方法二(略解) : 设直线l 的方程为x = my −8, 点M(x1,y1),N(x2,y2), 联立直线与椭圆的方程得  令t =得  故S∆MNF 的最大值为 比较方法一和方法二最后求∆MNF 最大值的过程,可以发现方法二在处理变量分离时优于方法一,简化了计算步骤,有效的降低了计算变换的难度,突破思维难点,通过计算路径的合理选择提高了计算的速度和有效性. 方法三(略解) : 设直线l 的方程为x = my −8, 点M(x1,y1),N(x2,y2), 联立直线与椭圆的方程得 令得  故S∆MNF 的最大值为 方法三从几何特征出发进行化归转化,利用∴S∆MNF 进一步简化了∆MNF 面积的计算过程,通过对图形中几何关系的观察以及计算路径的合理选择,进一步提高了计算的速度和准确性.从方法一到方法二,再到方法三,体现出计算思维的层层递进,在规划计算路径之前,进行积极的前置思考,以前置思考促进计算策略的产生、设计合理的计算路径,从而提高计算的高效性.另一方面,数学的计算能力绝不仅仅是单一能力,在计算能力提升过程中所涉及到的思考、简化运算以及策略统筹安排等,无不体现出对数学核心素养的要求以及多种知识能力的综合应用,其中涉及到的观察能力、整体把控策略、转化化归能力也都从中得以体现和发展. 在计算能力的提升和培养过程中,不仅仅只是计算能力的提升过程,也要求学生具备敏锐的观察能力、整体代换和把控全局的意识、化繁为简的转化化归能力以及全过程的统筹能力,从中折射出学生处理问题的综合能力与数学核心素养,让思考融入运算,借助运算促发思考,从思考中汲取计算养分,让思考成为计算的翅膀,从计算思维中寻找快乐源泉,让计算过程开出绚丽的思维之花. |
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