【原】初中动态几何：手拉手旋转模型的应用

模型回顾：

在旋转类几何问题中，最多的一类就是手拉手旋转模型：全等与相似.

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细品基本模型图

如何从复杂的图形中看出基本模型图或构造模型图是快速解题的关键，需要在平时花时间去研究基本模型图，细品模型图及结论，从静到动，从特殊到一般，从复杂到简单，甚至还需要从结论到条件的逆向思维.

今天通过一个模型典例来分析图中所含的模型图，此题是一个以规则的四边形（矩形）为载体，绕着一个顶点在旋转，符合手拉手旋转模型，所以要吃透手拉手旋转模型情况及动态变换过程中不变的数学模型或规律.

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模型典例：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB'C'D'，连结BD．如图1，当α＝90°时，点C'恰好在DB延长线上．

（1）若AB＝1，试求BC的长．

（2）如图2，连结AC′,过点D'作D'M∥AC'交BD于点M．线段D'M与DM相等吗？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，射线DB分别交AD'，AC'于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

分析：（1）如图1，设BC＝x，

由旋转的性质得出AD'＝AD＝BC＝x，

D'C＝AB'＝AB＝1，

此题对应平行8字型相似模型，

进而证明△D'C'B∽△ADB，

由相似三角形的性质得出，

由比例线段得出方程，求出x的值即可得出答案；

（2）连接DD'，证明△AC'D'≌△DAB（SAS），

由全等三角形的性质得出∠D'AC'＝∠ADB，

由等腰三角形的性质得出∠ADD'＝∠AD'D，

证出∠MDD'＝∠MD'D，则可得出结论；

（3）连接AM，证明△AD'M≌△ADM（SSS），

由全等三角形的性质得出∠MAD'＝∠MAD，

得出MN＝AN，

此对应共边共角型相似模型，进而证明△NPA∽△NAD，

由相似三角形的性质得出，则可得出结论．

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解：（1）如图，设BC＝x，

∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB'C'D'，

∴点A，B，D'在同一直线上，

∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，

∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，

∵∠BAD＝∠D'＝90°，

∴D'C'∥DA，

又∵点C'在DB的延长线上，

∴△D'C'B∽△ADB，

∴  ，

∴  ，

解得  ，  （不合题意，舍去），

∴  ．

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（2）D'M＝DM．

证明：如图，连接DD'，

∵D'M∥AC'，

∴∠AD'M＝∠D'AC'，

∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，

∴△AC'D'≌△DAB（SAS），

∴∠D'AC'＝∠ADB，

∴∠ADB＝∠AD'M，

∵AD'＝AD，

∴∠ADD'＝∠AD'D，

∴∠MDD'＝∠MD'D，

∴D'M＝DM；

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（3）关系式为  ．

证明：如图，连接AM，

∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，

∴△AD'M≌△ADM（SSS），

∴∠MAD'＝∠MAD，

∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，

∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，

∴∠AMN＝∠NAM，

∴MN＝AN，

在△NAP和△NDA中，

∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，

∴△NPA∽△NAD，

∴  ，

∴  ，

∴  ．

点评：本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，巧用模型是解题的关键．

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      在初中几何学习中，要注意概念关、语言关、画图关、推理证明关四大关。善于静中找动，实现从特殊到一般的转化。动中找静，找到运动过程中不变的数学模型或规律，再从一般到特殊，利用临界情况解决问题。动静结合，其乐无穷！解决几何问题不顺手的原因是由于对基本的模型图及结论掌握不牢固，还有常见的几何解题方法不够熟练。本公众号作者潜心研究整理初中几何学习过程中常见的几何基本模型图及结论，如有错误或更好的思路，请大家不吝赐教。

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