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提到“克莱因”，大家第一反应应该是法国艺术家伊夫·克莱因，在上世纪60年代展示的一种混合颜色，在现代社会已经成为了高级和温柔的代表。  克莱因蓝 但是今天，我们要讲的不是这个“克莱因”，而是一个神奇的瓶子“克莱因瓶”。 而即便我们将其叫做“克莱因瓶”，它也不是一个真正意义上的瓶子，因为在它的底部有一个洞，我们根本无法将其填满。 接下来我们就来了解一下，神奇的“克莱因瓶”是什么？为什么将地球上的水倒进去，也装不满？  克莱因瓶 “克莱因瓶”无法真的存在于三维空间最开始数学家菲利克斯·克莱因，在1882年提出它的时候，用的是德语“Kleinsche Fläche”，正确的翻译应该是“克莱因平面”。 只是后来人们在抄写的过程中，将“Fläche”，抄成了“Flasche”，于是就变成“克莱因瓶”了。 之所以要提到这个典故，是因为我们根据它的描述，制作出来的图像其实就和瓶子没什么两样。  菲利克斯·克莱因 在数学领域，克莱因瓶值得是一种无定向性的平面，就像在二维空间中一样，没有内外之分。 在拓扑学中，它指的就是一个不可定向的拓扑空间。 所以对其进行理解后，我们可以将克莱因瓶表述为：将一个底部有洞的瓶子，进行延长，使得瓶颈能够扭曲进入瓶子内部，最后于底部的洞连接起来。 如果是这样的话，那么一只蚂蚁在瓶子的内部爬行，就不需要爬到表面就可以来到瓶子外面了。  克莱因瓶 两个莫比乌斯环构成“克莱因瓶”怎样可以形象地理解这样的结构呢？我们可以从莫比乌斯环来进行理解。 二维空间属于平面，这个大家都知道，也就是拥有正反两面的纸条。 如果在这个纸条上，存在一个二维生物，它此时需要从正面来到反面的话，必须要绕过纸条的边缘才能抵达，当然如果它有本事直接穿过纸条也可以。 但现在我们不想这个二维生物这么麻烦，于是将的一端翻转180°（180°的奇数倍都行），然后再将两端粘在一起，也就是”莫比乌斯环“。  莫比乌斯环 这个具有单侧曲面的二维环状结构，是1858年数学家奥古斯特·莫比乌斯发现的。 我们可以发现，如果将蚂蚁放在这样结构的纸条上，它既不需要经过边缘，也不需要穿过平面，就可以达到另一面了。 并且这样的结构，可以说是无限循环的，所以现在很多商家都将其视为爱情永恒的象征，制作出了类似结构的“莫比乌斯环”戒指。  莫比乌斯环戒指 这里的莫比乌斯环还存在着边缘，但如果我们将两个莫比乌斯环合在一起，那么它们的边缘就可以完全连接起来，于是就可以得到一个封闭的结构。 最后呈现出来的其实就是一个，没有内外之分，能够直接从内部进入外面的“克莱因瓶”。 关于莫比乌斯环属于几维空间，很多人多有争议，但是既然我们能够在三维空间看到并将其制造出来，那就可以将其视作三维空间的曲面。  克莱因瓶 而这样两个莫比乌斯环的叠加，显然就上升了“克莱因瓶”的维度，使得其只能在四维空间以上的世界存在。 莫比乌斯环能够无限循环，那么两个加在一起，也可以实现这种永恒，所以我们才会说，如果这种瓶子真的存在，那么即便将地球上的水都倒进去，也没有办法将其装满。 因此很多在市面上售卖的克莱因瓶，其实都是假的，将水倒进去后，随随便便就能装满，这不过商家是为了寻一个赚钱的门道罢了。  不是真的克莱因瓶 四维空间是什么？那么在四维空间中，世界又是怎样的呢？ 我们常说的四维空间又称“欧几里得四维空间”，这其实是一个数学概念，所以一定要和爱因斯坦提出的“四维时空”区分开。 科学家们根据现代科学知识体系，甚至总结出了11个维度空间，也就是在数学和物理学中，我们可以将n个数的序列，理解成一个n维度空间中的位置。  四维空间 在我们所处的三维空间中，存在三对主要方向，上下对应的是高度，南北对应的是维度，东西对应的就是经度。 这三对方向在空间中属于两两正交，也就是两两成直角，在数学上对应的就是咱们的x，y，z坐标轴了。 所以处于三维空间的人，可以看到二维生物无法看到的被遮挡在墙背后的物体，并且能够在不破坏空间的前提下就能将其拿出来。  三维空间的坐标轴 而在四维空间，就多了一对可以和其他三个主要方向垂直的主要方向，对应的坐标轴为w轴。 这时候处于四维空间的生物，就可以看到三维生物无法看到的事物，并且轻松将其取出。 如果按照空间的组成来说，一维空间就是点，二维空间就是将多个点组合在一起，形成的平面，而三维空间就是多个平面组成的“曲面”。  三维空间 那么再这样推算下去，四维空间就是由多个三维空间组成的了。 然而由于人类现在作为三维生物，对于四维空间只能进行猜测，并基于现象总结，我们无法判断其正误，所以即便我们看到了一些现象，也无法确定这是四维空间引起的。 在三维空间中的“克莱因瓶” 市面上仍旧有很多模仿的“克莱因瓶”，虽然从表面上看起来，似乎不需要经过瓶子外部就可以从内部出来。 只是形状相似而已 但实际上，这样的瓶颈和瓶身是相交在一起的，这就和我们概念中的“克莱因瓶”有很大区别，因为它根本就是自己穿过了自己的表面。 所以在三维空间中，人类无法真的将两个莫比乌斯环的边缘完全连接起来，除非要穿过它的表面。 毕达哥拉斯杯与九龙杯我们虽然在现实世界中无法将克莱因瓶制造出来，但是确实存在一种永远装不满的杯子，那就是西方的毕达哥拉斯与中国古代的九龙杯。 毕达哥拉斯和他的杯子 这两个杯子运用的原理其实运用的原理是相同的，我国的九龙杯，被称为公道杯，是明朝年间由工匠所制。 而毕达哥拉斯杯，也叫毕达哥拉斯贪婪坦塔罗斯杯，则由古希腊科学家毕达哥拉斯发明。 在杯子内部，有一条水位线，如果杯中的液体低于水位线时，它就和普通的杯子一样别无二致。 但是如果当杯子 里的水超过水位线时，杯中的液体就会通过虹吸现象从杯底漏出去。 利用虹吸现象的杯子 两个杯子告诉我们后人的，就是“知足者酒（久）存，贪心者酒（久）尽”，也就是说我们对待生活，知足常乐就好了。 虹吸效应 这其中应用到的虹吸效应，其实就是利用压强差的原理，在密闭的容器中，液体的高度相等，那么压强也就相当。 我们在家中就可以做这样的实验，将两个杯子叠放在一起，然后将上方的杯子打孔，与下方的杯盖贯通，将我们平时用的U型虹吸管放置在其中。 在家也能做的实验 随后往上方的杯子中加水，当水淹没吸管时，其中就空气流动了，于是两个杯子的压力就不一样了，在压强的作用下，虹吸管就会将水吸到下面的杯子中去。 所以在文献中，如果皇帝使用九龙杯，将美酒斟满的话，反而一口都喝不到，而如果只倒半杯，那就可以心满意足地喝到啦。 |
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