调和函数拾遗

调和函数拾遗

我们在之前的一些文章 :

调和函数——能量方法

调和函数——极大值原理

调和函数——基本解调和函数——平均值性质

黎曼流形上的Laplace算子

浅谈拉普拉斯的谱

讨论了调和函数的很多性质,   本文算是对这方面的一些补充.

现在我们讨论调和函数, 即Laplace方程

的解. 我们从的情况开始讨论. 其实找到调和函数不是特别困难.因为若是全纯函数, 将它分解为实部和虚部, 则由Cauchy-Riemann方程

可知, 都是调和的.事实上这就刻画了调和函数. 因为若是调和的,则1-形式

为闭的,从而是局部恰当的. 即局部地有函数满足Cauchy-Riemann方程. 局部地是全纯函数的实部.在区域上也可得到整体的结论,只要de Rham 同调群, 但一般情况下并不一定是全纯函数的实部. 例如,

在中调和,但在中不存在全纯函数以为实部.

调和函数和全纯函数的关系有以下推论. 全纯函数的极大模原理的基础是Cauchy积分公式

是以为圆心的小圆周. 作代换并分开实部和虚部. 即知的实部满足中值公式

即在圆心的值是它在绕的小圆周上值的的平均. 这正是证明局部极大,极小不存在所需要的. 由此可以断定,如同证明Liouville定理一样,紧流形上的调和函数必为常数. 这里有一个问题, 即在一般流形上还没有定义调和函数.我们现在就要做这件事.只要想从欧式空间过渡到流形,当然要的就是坐标变换,而这时明显的看到

并不是不变的. 其实在欧式空间中就可以看到这一点, Laplace方程在极坐标下变成了

为了得出不变的定义, 再回顾一下欧式空间的情况, Laplace算子是分成两步得到的:

(1)对标量值函数定义向量值函数

(2)对向量值函数再定义标量值函数:

然后最重要的就是有Green公式:若是一紧区域,其边界记为, 则有

等号左边是上的体积分, 右边是上的面积分, 则是在的单位法向量向上的分量.

我们都知道Green公式对于中值公式是非常关键的, 这是因为:  若令 是任意光滑函数,则

由Green 公式即有

交换, 将所得公式与上式相减即得

它称为'第二Green公式', 用表示沿着方向求导, 则有

于是我们有

设是调和的,且, 是一定点, 是以为中心为半径的球体.  当然,为方便起见,我们可设, 对于函数,我们取

容易验证,当时是调和的,但再处有一奇点,令. 因为在上有,  所以等号左边的体积分为零, 可分为两部分, 即一大球面和一小球面, 于是

由于在各个球面上, 取常值, 于是

但是

在上也是一样的, 我们还有

它在上也各取常值. 因为中半径为的球面面积是. 显然有

是某常数,所以我们有

其中是的面积.这就是我们所需要的中值公式.

上面的讨论让我们知道如果在流形上的话,我们需要做什么.  必须先定义, 使得Green公式成立.

上的向量值函数自然的表示一个向量场. 因此,若为一流形,是附近的局部坐标卡,则上函数的梯度 应定义为

是在局部坐标下的局部表示. 但这样从一开始就不对.上述定义在坐标变换时不能正确地定义向量场,因为若是另一局部坐标, 在其中的局部表示是 , 我们有

而它们应该是相等的. 另一方面,我们有1-形式

它的变换是正确的. 这是因为

这是因为 和 互逆. 向量场与1-形式的这一区别并非吹毛求疵.它们服从不同的变换规则.

由此看来, 就应该是1-形式.

把一向量值函数变为标量值函数.一般来说我们还有一些类似的东西. 令为流形上的一向量场, 为一-形式. 用去缩并即得一个-形式, 其定义为

这是张量运算中很常用的.它有一些容易验证的性质,例如对与的双线性,还有Leibnitz公式

现在我们回到上来做些计算,以便对此运算有些感性的东西. 设在中有一个3-形式

令, 由一般公式

而且, 与互相对偶,故若将2-形式展开为

则有

显然这公式可以推广到上:

设是可定向的,即有一处处非零的形式称为体积元素. 若为一向量场,则是一-形式. 作外微分,又得一形式 , 所以一定有唯一的函数使得

我们用作为的定义,于是有

要看此定义是否正确, 取即 上的标准体积元素. 为计算, 只需对(取)作外微分, 因为

而恰好与中的 相互抵消,所以余下的只有的项,从而有

我们的定义不仅给出了正确的公式, 现设是一个带边流形,由Stokes 公式可知:

对于一点, 可取一局部坐标系使在附近, 于是是上的体积元, 是法向导数, ,所以在上,

即为在上的法向分量.

所以, 定义的准确性已经毫无疑问, 但不巧的是,要想用它, 必须是一向量场而非1-形式,在欧式空间上这不是什么问题,只需把 与混用即可. 因为只需用一个坐标系,混用并无关系.把1-形式与向量场混用,其实就是将切空间与余切空间混同. 本来它们是同维数的线性空间,可以等同它们. 问题是在流形上必须用一个系统的方法将二者对一切等同,即需将切丛与余切丛等同起来.

已知一线性空间, 若中有内积, 则

即为所需的等同. 类似地, 如果向量丛上有内积, 即可将与等同. 上的内积称为Riemann度量,这时称为Riemann流形. 在具有度量的黎曼流形上, 的梯度定义为向量场,使得对一切向量场, 有

总之,并不是在一切流形上都可定义Laplace算子,我们还需要一些其他的构造,即必须是可定向的Riemann流形.这时我们定义

它称为Laplace-Beltrami算子. 这些条件中,可定向并不是非常紧要,因为局部地总是可定向的.  若将改为.   并没有什么改变. 所以,只要有体积元素,恒可局部定义. 另一方面, Riemann度量是至关重要的. 确实,每一个流形都有Riemann度量, 问题在于调和函数定义依赖于所选定的度量,对于, 可以认为即为,并采用标准度量.  即可取为上的单位正交基. 由此可以检验 与等同.