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始于2002年的中国女子数学奥林匹克（简称CGMO）一直备受支持和关注，今年开始清华大学也开始举行每年一届的丘成桐女子数学奥林匹克。这当然是非常好的事情，让更多喜欢数学的女生一展风采，鼓励更多的女生在数学和科学方面发展。当然这也取得了很多成果，例如我校2008级的学生王若漪就是当年参加2010年女子数学奥林匹克获得银牌，并因为获得2010年全国高中数学联赛陕西省级一等奖，后来保送去了中科大。最后到牛津大学读的组合数论方面的数学博士，最近刚刚毕业获得博士学位。当然这样的例子数不胜数。相信以后男女地位会更加平等，会涌现出更多的女数学家和女科学家。 2021年CGMO于8.10-8.15日在长春东北师大附中举行，因为疫情原因，今年考试是线上形式，8.12，13日早上4个小时各考4个题目。今年共有33个代表队共136名学生参加。昨天第一天的第二题为几何题题，本文写一下本人对本题解答的思考过程。 题目如下： △ABC内接于圆O，I,J分别为其内心和A旁心，点X，Y在圆O上且∠AXI=∠AYJ=90°， 线段IJ的中垂线交直线BC于K点。求证：AK平分XY。
题目中没有特殊的条件，所以只要按部就班的画图即可。  然后挖掘图形的基本性质。 由I、J为△ABC内心、旁心，看到外接圆想到鸡爪定理， 从而得到SI=SB=SJ=SC(S为IJ中点，又是弧BC中点)。 从而IJ中垂线即为过S的AS的垂线。 不难发现KSJY交点在圆上，这是不难证明的，因为此点即为 A的对径点A'。对称的XI也过A'。这个结论应该是有用的， 因为这就能用到∠AXI=∠AYJ=90°了。 接下来看点K的性质，由鸡爪结构的相似可以得到 △SIA'∼△SKI,这能得到SI^2=SA'*SK及等角。这应该也是有用的， 毕竟描述出了点K的性质。 下面从结果入手，需要证明AK平分XY。要么用面积法计算， 要么用几何性质转化。 计算感觉角度很难度量。估计用几何性质转化的可能性比较大。 容易发现XY//BC,这个由垂直平分线及等角不难证明。 估计要在此性质基础上转化。 开始我想用垂径定理，设AK交XY于M，只需证MOS共线，这个 可以用Menelaus定理计算，应该也不会太难，不过似乎比较麻烦。  证明中点的另一个思路就是延长 AX,AY,交BC于F,E，由平行需证KE=KF. 发现EJ//SK//FI,利用对称线，只需证明FI⊥AI即可。  这样基本就可以消去J,Y,K及相关点，得到下图。  需证FI⊥AI，这是一个常见的结论，证明不难。 可以用同一法证明，设过I的AI垂线交BC于F',F'A交圆O于X'， 由鸡爪定理知AI为圆S切线，从而 F'I^2=F'C*F'B=F'A*F'X',从而AX'⊥IX', 故X,X'重合，F,F'重合，从而得证。 最后将证明整理如下：  证明： 设A对径点为A',F在BC上且FI⊥AI,FA交圆于X',AY交BC于E。 由鸡爪定理知SI=SB=SJ=SC, 故FI为圆S切线，从而 FI^2=FC*FB=FA*FX',则AX'⊥IX',故X,X'重合，AXF共线。 对称的有EJ⊥AJ.故EJ//SK//FI,故K为EF中点。 依题意JY,XI,SK均过A'点。 从而∠A'JI=∠A'IJ=∠AIX, 故∠SAY=∠SAX,故∠YAB=∠XAC,故XY//EF, 故AK平分XY. 本题难度中等偏上，作为女子竞赛的第二题还是非常合适的，迄今为止北方竞赛和东南竞赛已经结束。感觉今年的竞赛题难度略有降低，在国家双减，严厉加强对教育机构管理的大形势下，数学竞赛题的难度稍有降低也是大势所趋、情理之中的事情。估计今年9.12日数学联赛题的难度应该还是继续保持近几年的风格，难度可能会略有降低。 此题题目新颖，结构优美。不过解法应该不多。南开大学的张峻铭也给出了他的解法，我的解法和他的大同小异，他在证明FI⊥AI时使用了根心定理，和我的同一法异曲同工。他还对本题做了推广，有兴趣的读者可以参考。 |
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