「SOL」礼物(BZOJ)

小仙女本仙人 2022-08-11 发布于北京

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写了个 TODO List，现在不会忘写博客了
咕

# 题面

$n$ 件不同的礼物送给 $m$ 个人，其中送给第 $i$ 个人礼物数量为 $w_i$。计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，输出模 $P$ 后的结果。

设 $P=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_t^{c_t}$，$p_i$ 为质数，则保证 $p_i^{c_i}\le10^5$。

# 解析

普通的 Lucas 定理只能用来求组合数模较小的素数的问题。

(部分) Lucas 定理

$$ \binom{n}{m}\bmod p=\binom{\lfloor\tfrac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\tfrac{m}{p}\rfloor}\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\bmod p $$

（但是似乎不是完整的 Lucas 定理？）

而 exLucas 定理可以解决 $p$ 不是一个质数的问题（只要满足「BZOJ 礼物」这道题对 $p$ 的限制即可）。

首先对 $p$ 进行质因数分解 $p=\prod\limits_{i=1}^tp_i^{c_i}$，设 $x=\binom{n}{m}\bmod p$，$x_i=\binom{n}{m}\bmod p_i^{c_i}$，则

\[\begin{cases} x\equiv x_1\pmod{p_1^{c_1}}\x\equiv x_2\pmod{p_2^{c_2}}\\cdots\x\equiv x_t\pmod{p_t^{c_t}} \end{cases} \]

模数互质，可以直接CRT。所以问题转化为「组合数模一个质数的幂 $p^k$」。

把组合数的式子展开 $\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，我们不能直接求 $m!$ 和 $(n-m)!$ 的逆元，因为它们不一定和 $p$ 互质。于是想到，可以先把阶乘中 $p$ 的因子部分提出来，剩下的与 $p$ 互质的部分就可以求逆元。即

\[m!=p^a\cdot b \]

其中 $p\not\mid b$，$(n-m)!$ 同理。于是剩下的问题就是怎么将阶乘分解成上述形式。

考虑计算 $a$：统计 $1,2,\cdots,m$ 中能提取出多少 $p$ 的因子。比较简单，只需要对每个 $p$ 的幂 $p^i$ 统计 $1\sim m$ 中有多少 $p^i$ 的倍数。可以 $O(\log_p m)$ 完成。

再考虑计算 $b$，可以递归计算：

先计算出 $1\sim m$ 中所有非 $\mathbf{p}$ 的倍数的数之积模 $p^k$；
再将 $p$ 的倍数单独提出来，除以 $p$ 后即为 $1\sim\lfloor\tfrac{m}{p}\rfloor$，递归处理。

可以先预处理出 $f_i$ 表示 $1\sim i$ 中所有不为 $p$ 的倍数的数的积模 $p^k$，则第一步的答案为

\[f_{p^k-1}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\cdot f_{m\bmod p^k} \]

现在就可以快速计算组合数了。

对于这道题，可以直接拆开组合数，计算

\[\frac{n!}{w_1!w_2!\cdots w_m!(n-w_1-w_2-\cdots-w_m)!} \]

然后直接用 exLucas 的拆解阶乘的方法，再用CRT合并（就不需要真的去计算每个组合数）。

# 源代码

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/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long llong;
const int N=100,B=1e5+10;
#define con(type) const type &
int mul(con(int)a,con(int)b,con(int)mod){return int(1ll*a*b%mod);}
int ina_pow(con(int)a,con(llong)b,con(int)mod){return b?mul(ina_pow(mul(a,a,mod),b>>1,mod),(b&1)?a:1,mod):1;}
typedef pair<int,llong> pii;

int p[N],pc[N],fac[B],phi[N];
llong rem[N],w[N],mod;
int n,m,np;

void init(){
	llong now=mod;
	for(int i=2;1ll*i*i<=now;i++)
		if(now%i==0){
			p[++np]=i,pc[np]=1;
			while(now%i==0) now/=i,pc[np]*=i;
		}
	if(now>1) np++,p[np]=pc[np]=(int)now;
	for(int i=1;i<=np;i++) rem[i]=mod/pc[i],phi[i]=pc[i]/p[i]*(p[i]-1);
}
pii calc(con(llong)x,con(int)p0,con(int)pc0){
	if(x<p0) return make_pair(fac[x],0);
	pii res=calc(x/p0,p0,pc0);
	return make_pair(mul(mul(res.first,fac[x%pc0],pc0),ina_pow(fac[pc0-1],x/pc0,pc0),pc0),res.second+x/p0);
}
int func(int p0,int pc0,int phi0){
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<pc0;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i%p0?i:1,pc0);
	pii up=calc(n,p0,pc0);
	fac[pc0-1]=ina_pow(fac[pc0-1],phi0-1,pc0);
	for(int i=pc0-2;i;i--)
		fac[i]=mul(fac[i+1],(i+1)%p0?i+1:1,pc0);
	pii blw(1,0);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		pii res=calc(w[i],p0,pc0);
		blw.second+=res.second;
		blw.first=mul(blw.first,res.first,pc0);
	}
	return mul(mul(up.first,blw.first,pc0),ina_pow(p0,up.second-blw.second,pc0),pc0);
}
int main(){
	scanf("%lld%d%d",&mod,&n,&m);
	init();
	llong total=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%lld",&w[i]);
		total+=w[i];
	}
	if(total>n){printf("Impossible\n");return 0;}
	if(total<n) w[++m]+=n-total;
	llong sum=0;
	for(int i=1;i<=np;i++){
		llong now=mul(func(p[i],pc[i],phi[i]),ina_pow(rem[i],phi[i]-1,pc[i]),mod);
		now=mul(now,rem[i],mod);
		sum=(sum+now)%mod;
	}
	printf("%lld\n",(sum%mod+mod)%mod);
	return 0;
}