什么是微分

1 直观

简单地说，用来近似局部曲线的直线就称为微分。比如这里，若直线能近似点  附近的曲线,那么就称这条直线，是曲线在  处的微分。

不过显然不可能每条直线都能用来近似曲线，它应该满足一定条件,什么条件呢?以  为中心做出一个区域,直观上，若随着区域不断减小，直线与曲线的距离不断减小,那么这样的直线,在数学上就被称为微分。

2 定义

建立了直观后，下面我们来看看数学家们给出的微分定义

设函数  在某区间内有定义，  及  在此区间内，如果函数增量：

可表示为：

其中  是不依赖于  的常数，那么称函数  在点  是 可微 的，而  叫作函数  在点  相应于自变量增量  的 微分 ，记作  ，即：

通常令  ，所以微分又可表示为  。

这个定义看起来很复杂，但重点就是这三个式子

(1) 

(2) 

(3) 

这三个式子中，第一个式子就是曲线的表达式，第三个式子就是直线的表达式，而第二个式子表示的是曲线和直线之间相差一个 

也就是说，若曲线  与直线  仅相差  ,那么这里的直线  就是微分。有了大致了解后，我们首先就来看第一个式子，看看它为什么能表示曲线。

3 解释

有了大致了解后，我们首先就来看第一个式子

看看它为什么能表示曲线。

3.1 曲线

既然我们想要近似某点附近的曲线，那么已知条件这条曲线及曲线上的一点。

如果建立  坐标系的话，该曲线可表示为函数  ,若此点的横坐标为  ，则纵坐标就是 

然后在曲线上再任意取一点,用红色表示,在此坐标系下，该任意点的横坐标为  ，纵坐标为 

如果令  为  相对  的增量,那么此任意点的横坐标  ，就可以改写为  ,纵坐标  就可以改写为 

这样

表示的就是函数值增量

下面，我们以  为原点建立一个新的坐标系。我们来看看该任意点，在这个坐标系下的坐标。

在新坐标系中，该点相对于原点在水平方向上改变了  ,因此，在新坐标系下的横坐标为  。该点相对于原点在竖直方向上改变了  ,因此，在新坐标系下的纵坐标为  。

这样，在新坐标系下，曲线就能用函数  表示。

则此时第一个式子

表示的就是蓝色曲线

3.2 直线

看完了第一个式子，下面来看看第三个式子

将  看做斜率，那么  就是以自变量为  的直线。而前面说了，新坐标系下的自变量为  ，那么很自然的，  新坐标系下过原点的直线。

3.3 差值

看完了第三个式子，最后我们来看看这第二个式子

由上面的式子，可以很容易地得到

可知，而前面是说过了，  是曲线，  是直线。那么  就是曲线与直线之差

4 总结

这样我们就把微分定义中的三个公式都解释完了，最后来总结一下。若直线  ,与曲线  仅相差一个  的高阶无穷小。那么直线  就是曲线在  点处的微分。

5 补充

这里再补充一句，根据微分定义式中的第二个式子

可以很容易地得出

这里的  就是我们常说的导数

来 源 ｜马同学图解数学

编 辑 ｜《好老师在线数学》