这个问题让我们从曲线的微分开始说起。 1 曲线的微分 比如,有曲线 : 给出 的曲线段: 要找到一个直线段来近似这个曲线段,也就是找到这个曲线段的微分: 此微分的特点是,当 时,越来越逼近曲线段: 2 切线 这个微分其实就是切线。 2.1 最初印象 初学几何的时候,切线是这么定义的: 比如这就是圆、椭圆的切线: 但是这个定义推广到所有曲线上是不成立的: 2.2 割线的极限 我们需要用极限来定义切线。比如说,要求曲线 在 点的切线: 在 附近找一点 ,过两点作直线 ,这根直线也称为割线: 然后寻找 与 之间的点 ,作出割线 : 以此类推,找到点 ,作出割线: 把这些割线组成数列: 它的极限 就是切线: 3 导数 刚才只是给出了切线的定义,但是还是不能把切线求出来。下面来看看怎么求。 3.1 斜率 要求 点的切线,知道了 点坐标为 ,以及切线的斜率: 其中 ,根据直线的点斜式,可求得切线函数 : 就可以得到切线的函数。 3.2 导数 容易有以下推论: 所以来看看割线的斜率怎么求吧。假设要求 点的切线的斜率,随便在附近找一点 作割线: 可以看到当 的时候(这也表明了切线是割线的极限),两者斜率不断逼近: 先把割线的斜率 算出来,假设 : 因此: 根据刚才的分析可知: 这个极限就被称为 导数 。 如果,不光在 点可以作出切线,也就是不光在 点可导,而是在某个开区间 内都可导,这就是 导函数 : 不少教科书、文档会出现如下的符号,这里也一并引入: 定义 ,称之为 D算子 ,导函数可以用之表示为: 有时候写作 ,表明对自变量 求导。 算子,英文为“operator”,操作的意思。 算子和函数还是很接近的,只是有以下区别: 在这里, 算子完成了如下函数之间的映射: 4 切线函数与微分函数 好了,咱们有了导数,可以来求切线函数以及微分函数了。 4.1 切线函数 就切线而言,知道要经过 ,也知道斜率是导数 ,可以用直线的点斜式得到切线函数: 4.2 微分函数 虽然之前一直说切线就是微分,但是微分函数和切线函数有所不同,因为它们在不同的坐标系。让我们一步步来,把这个关键点说清楚。 首先令 ,切线函数就变为了: 然后在以 点为原点建立直角坐标系(姑且称为微分坐标系吧): 以 点为原点建立的微分坐标系中有, 。这样在微分坐标系中切线方程就很简单了: 经过一系列操作终于得到了微分函数: 数学上把一系列操作用一个符号 来表示,也可称为 d算子 : 微分 算子完成了下列的函数映射: 所以微分函数也写作: 表示把原函数 通过 操作变为了微分函数 ,这样也区别了微分函数和 坐标系的不同。 ,因为 是变量,所以 实际上表示的是整个 轴: 因为 代表 轴这根直线,而直线的微分,根据以直代曲的思想,其实就是自己,所以: 因此,这就是微分的代数形式: 切线函数和微分函数的区别在于,前者在 坐标系下,后者在 坐标系下: 因为微分的代数形式如上,所以导数也可以记作: 所以导数也称为“微商”,即微分与微分的商。 4.3 微分的自变量、因变量 本节一直都在说,微分是函数: 那么它的自变量是什么,因变量是什么? 微分函数在 坐标系下,令 ,换元之后就回到了 坐标系: 可见,自变量是 ,因变量是 。 如果不光是求 点的微分,就像导函数一样,求某个开区间的微分,那么微分函数是二元函数: 4.4 微分是线性函数 虽然两者都是直线,但因为所在坐标系不同,所以切线函数和微分函数有一个重大的区别: 这个区别说明: 根据微分是线性函数这点,我们可以很方便地运用线性代数的知识来求解法线函数。 4.5 法线函数 在切点与切线垂直的直线就是法线: 放在 坐标系中,随便找到切线方向、法线方向两个向量: 即(t代表tangent,n代表normal,分别是英文的切线和法线): 根据线性代数的知识,知道两个正交向量点积为0,因此: 所以: 知道法线斜率,并且知道过 ,就可以求出 坐标系下的法线函数: 线性代数的相关知识对理解微积分很有好处,因为微积分的本质是“线性逼近,以直代曲”。 |
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