【原】第一百五十四夜 切线斜率与割线斜率

对导数而言，切线是无法回避的重点。

切线是导数的背景，而切线源自割线，是割线的极限形式，故切线与割线的关系便成为命题者不可多得的素材。

以下便是一道关于切线斜率与割线斜率大小关系的试题，不妨试试。

一·围观：一叶障目，抑或胸有成竹

题目并列式设问，第一问，已知极值情况求参数的取值范围，题型常规，难度适中；第二问，比较函数图象上两点割线斜率与中点切线斜率的大小，作差构造函数或著名不等式放缩皆可。

二·套路：手足无措，抑或从容不迫

  三·脑洞：浮光掠影，抑或醍醐灌顶

本题考查导数的应用，涉及函数的单调性、函数的极值、不等式的证明等知识点，综合考查整体与部分的思想、转化与划归的思想，属于难题。

比较大小常用的方法有作差与作商，当然也可以借助著名不等式进行放缩。

法1，作差，然后对数单身狗，然后齐次化，然后换元构造辅助函数，通过辅助函数的单调性得出结论。

法2，对数平均不等式（A-L-G不等式），单刀直入，唾手可得。

无论是法1，还是法2中的x₁小于x₂都并非是必要的，仅仅是为了表述方便。

想必你已为对数平均不等式的魔幻而顶礼膜拜，为什么会这样呢？

原因在于对数平均数已然含有斜率的思想。

本题看似平淡无奇，实则匠心独具。它源自于沟通切线斜率与割线斜率的桥梁——拉格朗日中值定理。

如果更进一步，还可得到如下定理：

四·操作：行同陌路，抑或一见如故

夜，那么长，以数学疗人寂寞，不是修行，就是罪过。

叨叨

2019.11.7