2022广州中考数学压轴题分析2：二次函数最值问题

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本题选自2022年广州市中考数学倒数第2题，属于函数压轴题，具有地方特色，与去年的题目有一定的关联。

本题主要考查一次函数与二次函数的图象与性质，主要是考查最值问题。难度一般，题目考查的方式比较典型，值得研究。

【题目】

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（2022·广州）已知直线经过点和点．
（1）求直线的解析式；
（2）若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向下．
①求的取值范围；
②设抛物线与直线的另一个交点为，当点向左平移个单位长度后得到的点也在上时，求在的图象的最高点的坐标．

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【分析】

（1）题（1）比较简单，直接待定系数法，代入求解即可。

得

解得

得到直线的解析式为

。

（2）①由于点P在直线l上，那么可以得到m与n的关系。然后根据顶点式得到抛物线G的解析式。

得n=﹣m+7，

那么抛物线的解析式为：

y=a（x-m）²-m+7。

代入点G的坐标得

那么抛物线的解析式为

。

由于抛物线的开口向下，所以可以得到a＜0，那么就可以得到m的取值范围了。

。

所以m的取值范围是

。

②题目已知直线l与G的另一个交点平移之后也在G上，根据这个条件就可以得到m的值，再最给定区间的最值即可。

联解析式，得

，
则，
则，。

那么点Q的横坐标为

。

向左平移1个单位长度后Q′的横坐标为

。

由于它们都在抛物线上，且QQ′平行于x轴，说明他们两个是抛物线上的对称点，那么就可以得到它们两个点关于抛物线的对称轴成对称。

可以得到

。

则a的值为﹣2，

，
解得，。

此时需要根据m的取值进行分类讨论：

当时，，
此时抛物线的对称轴为直线，
图象在上的最高点坐标为。
当时，，
此时抛物线的对称轴为直线，
图象在上的最高点坐标为。
综上所述，在的图象的最高点的坐标为或。

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【总结】

二次函数有关的问题，需要根据自变量的取值范围进行求解。此类问题在《中考数学压轴题全解析·解答题》P293页中的11.3专题有专门的讲解。