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完备性 完备性 不添加任何元素的数学术语  完备性是指在数学及其相关领域中，当一个对象具有完备性，即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的。完备性也称完全性，可以从多个不同的角度来精确描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。 基本信息
不同领域含义 在不同的领域中，“完备”有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考代数闭域(algebraically closed field）、紧化(compactification）或哥德尔不完备定理。完备性在一般空间中表示任何空间中的柯西点列的一致收敛极限包含于这个空间中。完备性与所定义的度量有关，一旦定义了度量，那么可以讨论这个空间的完备性。 基本解释 度量空间 一个度量空间或一致空间（uniform space）被称为“完备的”，如果其中的任何柯西列都收敛(converges），请参看完备空间。 在泛函分析(functional analysis）中，一个拓扑向量空间(topological vector space)V的子集S被称为是完全的，如果S的扩张（span）在V中是稠密的（dense）。如果V是可分拓扑空间(separable topology space），那么也可以导出V中的任何向量都可以被写成S中元素的（有限或无限的）线性组合。更特殊地，在希尔伯特空间(Hilbert space））中（或者略一般地，在线性内积空间（inner product space）中），一组标准正交基（orthonormal basis）就是一个完全而且正交的集合。 测度空间 一个测度空间(measure space)是完全的，如果它的任何零测集(null set）的任何子集都是可测的。请查看完全测度空间（complete measure）。 统计学 在统计学中，一个统计量(statistic）被称为完全的，如果它不允许存在0的无偏估计量（estimator）。请查看完备统计量（complete statistic）。 图论 在图论(graph theory）中，一个图被称为完全的（complete graph），如果这个图是无向图，并且任何两个顶点之间都恰有一条边连接。 范畴论 在范畴论(category theory），一个范畴C被称为完备的，如果任何一个从小范畴到C的函子（functor）都有极限(limit）。而它被称为上完备的，如果任何函子都有一个上极限（colimit）。请查看范畴论中的极限定义。 序理论 在序理论(order theory）和相关的领域中，如格(lattice）和畴(domain theory）中，全序性（completeness）一般是指对于偏序集(partially ordered set）存在某个特定的上确界(suprema）或下确界(infima）。值得特别注意的是，这个概念在特定的情况下也应用于完全布尔代数(complete Boolean algebra），完全格(complete lattice）和完全偏序(complete partial order）。并且一个有序域（ordered field）被称为完全的，如果它的任何在这个域中有上界的非空子集，都有一个在这个域中的最小上界（least upper bound）；注意这个定义与序理论中的完全有界性(bounded complete）有细小的差别。在同构的意义下，有且仅有一个完全有序域，即实数。 数理逻辑 在数理逻辑(en:mathematical logic中），一个理论(theory）被称为完备的，如果对于其语言（language）中的任何一个句子（sentence)S，这个理论包括且仅包括S或S之逆。一个系统是兼容的，如果不存在同时P和非P的证明。哥德尔不完备定理证明了，包含皮亚诺公理(Peano axioms）的所有公理系统都是不可能既完备又相容的。下面还有一些逻辑中关于完备性的定义。 在证明论(proof theory）和相关的数理逻辑的领域中，一个形式的演算(calculus）相对于一个特定的逻辑（即相对于它的语义（semantics））是完备的，如果任何由一组前提Q根据语义导出的陈述P，都可以从这组前提出发利用这个演算语法地（syntactically）导出。形式地说，Q╞P导出Q|-P。一阶逻辑(First-order logic）在这个意义下是完备的。特别的，所有逻辑的重言式(tautologies）都可以被证明。即使在经典逻辑中，这与前述的完备性是不同的（即一个陈述和否定陈述对于这个逻辑而言不可能是重言式）。相反的概念被称为可靠性（soundness）。 复杂度 在计算复杂度理论（computational complexity theory）中，一个问题P对于一个复杂度类C，在某个给定类型的归约下是完全的（complete），如果P在C中，并且C中的任何问题利用该归约都可以化归到P。例如，NP完全问题(NP-complete）在NP(NP）类和多项式时间（polynomial-time）和多对一归约的意义下是完全的。 |
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