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相信7月底阅读过《小乐数学科普：2022第九届ICCM世界华人数学家大会数学奖今日揭晓（一金五银）》这篇报道的读者，一定会对其中两位获得陈省身奖的数学家（王金龙、莫毅明）有印象，而莫毅明（MOK, Ngai Ming，香港大学，师从著名华人数学家萧荫堂教授）本月又紧接着喜获2022未来科学大奖，奖金 675 万元（等值100万美金），奖励他创立了极小有理切线簇（VMRT）理论并用以解决代数几何领域的一系列猜想，以及对志村簇上的 Ax-Schanuel 猜想的证明。知识分子公众号前天也刊载了夏志宏教授的一篇精彩科普文章，谈及莫教授的这两大贡献。本文就VMRT理论，从不同视角作资料摘录补充介绍： 〇、什么是VMRT极小有理切线簇？ 一、莫毅明教授简介（2022-7-31，摘自微信公众号：zzllrr小乐） 二、莫毅明ICCM2022受邀主题演讲概要（2022-8-1，译自清华大学ICCM2022学术手册） 三、有界全纯函数与VMRT几何理论在刚性问题上的应用，《多复变在中国的研究与发展》（第492-554页，科技出版社，北京，2009） 四、VMRT几何（译摘，其合作者、同门师弟Jun-Muk Hwang黄凖默，韩国高等研究院）
〇、什么是VMRT（极小有理切线簇） VMRT全称是Varieties of Minimal Rational Tangents，一般讨论单直纹射影流形上的极小有理切线簇，即经过一般点的所有极小有理曲线的切线所组成的射影子簇。 相关术语简介 在代数几何中，簇（variety），是最基本的研究对象，不严格地讲，就是多项式集合的公共零点解的集合（例如，古典代数几何，或称解析几何中，常见的直线、二次曲线、曲面等）。 单直纹射影流形（uniruled projective manifold），是一种流形（局部具有欧几里得空间性质的空间），且其上任意点处均存在过该点的有理曲线。 从某种意义上说，极小有理曲线是复流形上的（复）曲线，其行为类似于线。 这是复分析设置与实可微设置分道扬镳的典型情况。 事实上，黎曼流形上的直线概念的逆紧推广（proper generalisation）是测地线（geodesic）。 在这里，类比是对于两个足够接近的点，有一个独特的测地线连接它们。在复分析设置中，无法测量曲线的“长度”（这是一个实二维对象）。然而我们可以谈论它的度（degree）。 一、莫毅明教授简介
莫毅明教授，从事多复变函数论、复微分几何与代数几何的研究，于1988年结合非线性偏微分方程领域的里奇流方法与代数几何领域里关于有理曲线的理论解决了广义弗兰克尔猜想。他引进了完备凯勒流形的代数几何化，并与来自中国科学院的数学家钟家庆教授合作证明了有限体积完备凯勒流形的紧致化定理。论文于1989年在“数学年刊”发表，为中国自二十世纪七十年代改革开放以来首篇有国内数学家为共同作者而在此权威学术杂志发表的论文。 莫教授与合作者共同发展了一套运用极小有理切线簇(VMRT)研究法诺流形的几何理论，于1998年通过此几何理论证明了不可约紧埃尔米特对称空间在凯勒形变下的刚性定理，并于1999年与2004年解答了代数几何领域的Lazarsfeld拉萨斯菲尔德问题。大约自2010年始，莫教授开展其横跨代数几何、复微分几何与数论领域的研究工作。莫教授及其合作者正在发展一套关于充满直线之单直纹射影流形上的子流形的微分几何理论，并运用复微分几何方法解决有界对称域的商空间上一系列来自数论的几何难题。 莫教授懂多国语言。由于参与学术活动的缘故，莫教授走遍世界各地，并以英语、普通话、广东话、法语、德语与意大利语进行学术演讲。 https://www.scifac./people/mok-ngai-ming http://www./tc/ourMembers/details/40 二、莫毅明ICCM2022主题演讲概要 Complex differential geometry in action: from uniruled projective manifolds to arithmeticogeometric problems on complex function fields 复微分几何的实际应用：从单直纹射影流形到复函数域上的算术几何问题 复微分几何除了其在数学中的内在价值外，还广泛适用于其他数学领域。在本次演讲中，作者将概述他自己在代数几何和算术几何方面的研究工作所产生的或与之相关的应用。 对于单直纹射影流形，我们专注于 Hwang-Mok 的最小有理切线簇 (VMRT) 及其应用：
(2) 嘉当-富比尼（Cartan-Fubini） 扩展定理，(Hwang-Mok 2001) ，用于全纯映射的保 VMRT 的芽 (3) G/P 的识别问题及其解 (4) 非等维 Cartan-Fubini 扩展定理， (Hong-Mok 2010) 和 子 VMRT 结构的代数性定理，(Mok-Zhang 2022) (5) G/P 上光滑舒伯特闭链（Schubert cycle）的舒尔和舒伯特刚性定理，(Hong-Mok 2013, 2020) 和（Mok-Zhang 2022） 对于算术几何的应用，我们有： (6) 关于模函数域上的极化阿贝尔簇的 Mordell-Weil 群（椭圆曲线上点的加法群）和从模簇上的分支覆盖图获得的函数域的结果，(Mok 1991) 和 (Mok-To 1993) (7) 无限阶的非常模（non-isotrivial）椭圆曲面截面上重数≥2的点的个数有限 ， (Corvaja-Demeio-Masser-Zannier 2022) 及其有效版本， (Ulmer-Urzúa 2021），以及 微分几何证明（Mok-Ng ，预印本 2022） (8) rank-1 可能的非算术格的Ax-Lindemann 定理（Mok 2019) (9) 志村簇上的Ax-Schanuel定理 (Mok-Pila-Tsimerman 2019) (10) 射影子簇的双代数性表征（其父簇可能具有无限体积，由代数子集单值化得到） (Chan-Mok 2022） 三、有界全纯函数与VMRT几何理论在刚性问题上的应用，《多复变在中国的研究与发展》（第492-554页，科技出版社，北京，2009） https://hkumath./~nmok/mok_yinconf.pdf 四、VMRT极小有理切线簇几何 （JUN-MUK HWANG ） https://www./people/staff/levy/files/Book59/62hwang.pdf 我们提出极小有理切线簇 (VMRT) 的理论，重点放在其自身的结构方面，而不是应用于代数几何中的具体问题。我们的观点是基于微分几何，特别是嘉当的等价方法。我们解释了该理论的各个方面，从微分几何中的相关基本概念开始，然后将它们与 VMRT 相关联。提出了几个开放问题，从理解 VMRT 本身的几何结构的角度来看，这些问题很自然。 1. 引言 单直纹射影流形（uniruled projective manifold）上的最小有理切线簇（VMRT）的概念最初是作为研究埃尔米特Hermitian对称空间形变的工具出现的[Hwang and Mok 1998]。对于单直纹流形的许多经典案例，VMRT 是与低度有理曲线相关的非常自然的几何对象，因此，早在其正式定义出现在该参考文献中之前，它就已被研究和使用。在更概念的层面上，即作为研究未知簇的工具，它已经在 [Mok 1988] 中用于具有非负曲率的流形。然而，在这项工作的背景下，它与凯勒度量（Kähler metric）的曲率性质的非常特殊的关系，在某种程度上掩盖了它作为代数几何对象的作用，因此它没有被考虑用于一般的单直纹流形。因此可以公平地说，定义为单直纹射影流形上的独立几何对象的概念真正起源于 [Hwang and Mok 1998]。在正式首次亮相后不久，就发现了许多将其应用于经典代数几何问题的例子。在第一次发现后仅几年编写的 MSRI早期综述 [Hwang 和 Mok 1999] 中，已经可以在广泛的主题中找到大量问题，这些问题可以借助于VMRT来解决。 从一开始，VMRT 就专门针对一些经典问题进行研究，即不明确涉及 VMRT 本身的问题。特别是，我与莫毅明（N. Mok）的大部分合作都是这种情况。换句话说，VMRT 主要用作研究单直纹流形的工具。但是，经过十多年的服务，我相信是时候给予应有的认可了，开始将 VMRT 本身作为研究的中心对象并不是没有道理的。本次阐述的目的是介绍和宣传这一新观点。事实上，与我以前的综述[Hwang 2001] 的标题相反，当前文章的标题是故意选择的，以强调这种观点的转变。 因此，在本文中，我有意避免谈论应用。此外，仅给出了最少数量的示例。出色的综述论文 [Mok 2008a] 的出现令人高兴地证明了这一遗漏是合理的，该论文涵盖了许多最近的应用。旧的综述 [Hwang and Mok 1999] 和 [Hwang 2001] 以及 [Mok 2008a] 都强调对具体几何问题的应用。我鼓励读者查看这些综述以获取明确的示例和应用。 还有另一个原因是，我认为如此强调该理论的理论方面是合理的。在看到迄今为止开发的技术的许多应用之后，在我看来，我们需要对 VMRT 本身的结构理论进行相当大的改进，以增强该理论对更广泛类别的几何问题的适用性。考虑到这一动机，我将在整篇文章中提出几个此类开放问题，我相信这些问题不仅自然，而且在应用中也很有用。除非人们认为 VMRT 本身是一个有趣的对象，否则大多数这些未解决的问题可能不太引起人们的兴趣。在这方面，我的部分目标是宣传 VMRT，试图让读者相信这个主题是令人兴奋和有趣的。换句话说，通过提出这些开放的问题，我希望将我对这个主题的看法传达给读者。鼓励读者尝试思考开放问题的含义以及它们为何有趣，以了解潜在的哲学。我演讲的基本框架本质上是微分几何，属于嘉当几何（Cartanian geometry）。由于这是一篇关于代数几何的文章，因此假设对微分几何知之甚少。基本上所有微分几何概念都是从定义中解释的。这种微分几何框架一直是我与莫毅明 合作的大部分工作的背景，但迄今为止尚未在出版物中明确解释。基本思想是 VMRT 是一种特殊的锥形结构（cone structure），关键问题之一是了解它的特殊之处。在本文中，我们将主要关注特殊属性之间是否存在特征联系。示意性地，我们可以将其表示为 { 锥形结构 } ⊃ { 特征连接 } ⊃ { VMRT }。下面的一些讨论适用于锥形结构，一些适用于特征连接，一些适用于 VMRT。 对我来说，研究 VMRT 最有趣的方面是代数几何和微分几何的相互作用，或者更确切地说是融合。我希望这篇说明性的文章能帮助代数几何学家更加熟悉源自微分几何的概念和方法。大多数部分从介绍某些微分几何概念开始，然后将它们与有理曲线的代数几何混合。 在另一个方向上，虽然它是为代数几何写的，但我希望这篇文章能吸引微分几何，特别是那些研究嘉当几何的人，来解决由有理曲线的代数几何引起的问题。我提出的许多问题都有微分几何的成分。此外，我认为 VMRT 理论提供了许多几何结构的新例子，从微分几何的角度来看，这些例子非常有趣。 2. 预备知识 在整篇论文中，我们将处理复数。所有微分几何对象都是全纯的。在本节中，我们收集了一些关于分布的术语和事实。这些将在整篇论文中使用。 3. 锥形结构的等价性 一个著名的哲学，可以追溯到克莱因的埃尔朗根纲领（Erlangen program），即任何几何学领域的基本问题是研究等价关系下的不变性质。代数几何也不例外。在经典射影几何中，最基本的等价关系是射影空间的两个子簇在射影变换下的等价关系，或者更一般地说，两个子簇族在一个射影变换族下的等价关系。这种等价关系的一种可能表述如下。 4. 极小有理切线簇 现在我们定义我们主要感兴趣的圆锥结构。 5. 常模（isotrivial）VMRT 在本节中，我们将讨论一类特殊的锥形结构，为此存在一个很好的微分几何工具来研究等价问题。让我们首先回顾微分几何中的相关概念。[Sternberg 1983] 的第七章是一个很好的参考。 6. VMRT扩张的分布 当锥形结构的纤维退化时，锥形结构定义如下的非平凡分布。 7. 线性VMRT 在本节中，我们将研究锥结构的纤维是线性子空间的并集的情况。首先，我们需要一些微分几何概念。 8. 锥形结构的对称性 任何等价问题的一个重要组成部分是它的对称性，即几何结构的自等价或自同构。在连续对称性的研究中，研究对称群的李代数是一种有效的方法。在本节中，我们将介绍锥形结构的局部对称性理论。更准确地说，对于给定的锥形结构，我们想要理解在点处的全纯向量场胚的李代数，它在以下意义上保留了锥体结构。 其它参考资料 [1] 一文搞懂代数几何发展史，陈跃，“科学出版社数学教育”公众号 https://mp.weixin.qq.com/s/ebcfmSf2uD6d6xZOnXeilw [2] 百度百科：萧荫堂 https://baike.baidu.com/item/%E8%90%A7%E8%8D%AB%E5%A0%82 [3] 复切触流形、VMRT和外微分系统 Jaroslaw Buczynski, Giovanni Moreno https:///pdf/1805.08548.pdf [4]什么是数学？未来科学大奖得主莫毅明研究的是啥？ 夏志宏 “知识分子”公众号 |
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