【原】​三维运动的位置矢量

已知运动物体的速度矢量或加速度矢量随时间的改变，通过对时间求定积分就可以得到位置矢量与时间的依赖关系。

当粒子在三维空间中运动时，如果已知运动物体的速度矢量或加速度矢量随时间的改变，可以仿照《获取物体的运动学量》，通过物理层面的推导得到位置矢量与时间的依赖关系。

假定已经知道了速度矢量对时间的依赖关系，为了求出位置矢量与时间的函数关系，将粒子从初始时刻所处的位置点到任意时刻所处的位置点这段轨迹按照下面左边图的图示划分成首尾相接的段：

我们现在讨论的是在三维空间中的运动，由于在平面上只能形象地画出三根坐标轴，因此，这个图并没有画出时间轴。图中的虚线代表假想的运动轨迹，其中，每一段的时间间隔和位移分别为

我们知道，粒子在整个运动过程中发生了位移，另一方面，根据刚才对轨迹的划分，这个位移应该等于段位移的矢量和

在每一段位移中必定有一个平均速度，它满足。于是

接着，让对轨迹的有限划分过渡到无限划分：，在这个极限下，每一段位移对应的平均速度趋于每个时刻的瞬时速度，于是，求和就转化成定积分：

如果已经知道了加速度矢量对时间的依赖关系，也可以通过与上述类似的分析得到速度矢量与时间的依赖关系。稍微不同的是要用到速度矢量与时间的函数关系图，当然也是省略了时间坐标，如上面右边的示意图。在这个抽象的坐标系中，虚线上的每一个点都代表一个确定时刻的速度矢量，当然也是假想的，因为我们现在还不知道速度矢量与时间有怎样的关系。

将粒子从初始时刻具有的速度点到任意时刻具有的速度点这段虚线按照上面右边图的图示划分成首尾相接的段：

其中，每一段的时间间隔和速度改变量分别为

在整个运动过程中，粒子的速度的改变量，这个改变量应该等于段改变量的矢量和

在每一段速度改变量中，必定有一个平均加速度满足。于是

当速度改变量的这种有限划分过渡到无限划分时：，速度的每一段改变量对应的平均加速度趋于每个时刻的瞬时加速度，求和转化成定积分：

在已知速度矢量随时间的改变反推位置矢量与时间的函数关系那一段推导中，我们看到了与《获取物体的运动学量》基本一致的推导模式，而已知加速度矢量随时间的改变反推速度矢量与时间的函数关系那一段推导也完全遵循了这种模式。我们看到，当把不同的物理问题归结为数学方程时，只要数学方程的形式一样，数学推导和求解方程的模式是一样的，与具体的物理问题无关。

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