本题选自2022年北部湾中考数学第18题,即填空压轴题。以正方形为背景,考查线段求值的问题。 题目较为复杂,需要仔细理清图中三角形的关系,以及线段的关系,通过相似、三角或勾股定理求解。 此类题目必须掌握。 【题目】 如图,在正方形ABCD中,AB=4√2,对角线AC,BD相交于点O.点E是对角线AC上一点,连接BE,过点E作EF⊥BE,分别交CD,BD于点F,G,连接BF,交AC于点H,将△EFH沿EF翻折,点H的对应点H′恰好落在BD上,得到△EFH′.若点F为CD的中点,则△EGH′的周长是 . 【答案】5+√5。 【分析】求△EGH′的周长就是求该三角形的三边长,当然也可以转化为求△EGH的周长。 先把容易求的线段长度表示在图中。 如上图,根据Rt△BOE∽Rt△EOG, 可以得到OG=1,EG=√5。 根据折叠可以得到∠FEH=∠FEH′。 那么根据角平分线分线段成比例,可以得到 EO/EH'=OG/GH',则EH'=2GH'。 设GH′=x,则EH′=2x, 在Rt△EOH′中根据勾股定理得, EO²+OH′²=EH′², 即2²+(1+x)²=(2x)², 解得x1=-1(舍去),x2=5/3。 则△EGH′的周长为5+√5。 【方法二】 如图,连接GH,根据轴对称得△EGH≌△EGH′。 那么求出OH与GH的长即可。 观察上图,可以发现一个“X字型”相似,即△ABH∽△CFH, 那么就可以得到AH/CH=AB/CF=2/1。 由AC=8得CH=8/3,则OH=4/3。 那么根据勾股定理可以得到GH=5/3, 那么△EGH的周长为2+4/3+5/3+√5=5+√5。 【方法三】 如上图,过点E作EM⊥AB,可以得到EM与MB的比为1:3。 再根据△BEM∽△BHO,可以得到OH/OB=1/3, 那么就可以得到OH=4/3,进而得到GH的长为5/3, 与上面的方法类似,得到周长为5+√5。 在这里求出tan∠OBH=1/3,其实也可以利用高中三角恒等变换公式中的正切的差角公式。 tan∠OBH=tan(45°-∠OBE)=1/2/(1+1/2)=1/3。 【方法四】 如果考虑用函数的方法也可以,以点B为坐标原点,建立平面直角坐标系。 得到BE的解析式为y=3x, 直线AC的解析式为y=-x+4√2, 直线BF的解析式为y=1/2x, 直线EF的解析式为y=-1/3x+10√2/3, 直线BD的解析式为y=x。 求得点E的坐标为(√2,3√2), 点H的坐标为(8√2/3,4√2/3), 点G的坐标为(5√2/2,5√2/2)。 根据勾股定理或者两点间的距离公式,可以得到 EH=10/3,GH=5/3,EG=√5, 那么周长就为5+√5。 【总结】 本题以正方形为背景,是比较特殊的图形,在中考中经常会出现,特别是在选填压轴题或者解答的压轴题中。 本题还有其它的一些特殊性质,如下图中,有四点共圆,以及相似等等。 本题的关键还是在于求出OH或者GH′的长。 |
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