河北省石家庄市平山县中山成公陪葬墓出土 河北省文物研究所藏 筹算开立方 《九章算术·开立方术》曰:开立方术曰:置积为实。借一算步之,超二等。议所得,以再乘所借一算为法,而除之。除已,三之为定法。复除,折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之,中超一,下超二等。复置议,以一乘中,再乘下,皆副以加定法。以定法除。除已,倍下、并中从定法。复除,折下如前。开之不尽者,亦为不可开。若积有分者,通分内子为定实。定实乃开之,讫,开其母以报除。若母不可开者,又以母再乘定实,乃开之。讫,令如母而一。 筹算开立方一百八十六万八百六十七。 以再乘所借一算为法。“商”一自乘,再乘“下”,得一,置于上,为“法”。 而除之。以“实”首位一除以“法”,无余数,则“实”为〇。 除已,三之为定法。“法”乘三为“定法”。 其复除,折而下。“法”右移一位至十万位。 以三乘所得数置中行。复借一算置下行。以三乘“商”得三置于“中”,再置一算于“下” 步之,中超一,下超二等。“中”右移超一步至万位,“下”右移超二步至千位。 复置议。再“议所得”。“法”三除“实”八,取整为二,议得“商”为二。 以一乘中,再乘下,皆副。以议得之“商”二乘“中”三,得六。再以议得之“商”二自乘,再乘“下”一,得四。副置“中”并“下”六十四。 以定法除。“法”三百六十四除“实”八百六十,余一百三十二为“实”。 除已,倍下。“下”加倍。 并中从定法。“下”加“中”,再加“定法”为“法”。 复除,折下如前。步之如前术。 以三乘“商”得三十六置于“中”,再置一算于“下”,如前术。 “中”右移超一步,“下”右移超二步,如前术。 以议得之“商”三乘“中”三十六,得一百〇八。再以议得之“商”三自乘,再乘“下”一,得九。副置“中”并“下”一千〇八十九。如前术。 得一百二十三。 开之不尽者,亦为不可开 若“商”算至个位,“实”不尽,则不可开立方。若积有分者,通分内子为定实 若“积”为分数,须通分,取其分子为“定实”。定实乃开之 “定实”开立方,讫,开其母以报除 分母开立方,除为立方之“定实”,既得。若母不可开者 分母开立方不尽,又以母再乘定实 以分母自乘,再乘“定实”,为“定实”,乃开之 “定实”开立方。讫,令如母而一 以分母除为立方之“定实”,既得。 原文赏析 《夏侯阳算经》曰:凡算者,有五乗、五除。除者散繁,除约,乃以除减为名。乗者,令少乗多,乃以乗长为称。乗盈,除缩,故曰乗除也。 ...... 五曰开立方除。借一算,为下法。步之,超二位。立方十,其积有千;立方百,其积有百万。至千言十,至百万言百,故曰开立方除也。 另见:《夏侯阳算经·眀乘除法》 |
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