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黄小宁 设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A。其余类推。“实数集”R各元x均有对应标准实数x+1、x+2、…。设集J=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表J各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V），其余类推。 h定理：点集A=B的必要条件是A≌B。 证：A=B必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换，所以B=A的必要条件是B≌A。证毕。 保距变换的特点之一：一个点只能变为一个点。点集A=｛1，2｝（各数是数轴上点的坐标）各元点x（=1，2）变为两个点：x和x+1>x形成新点集｛1，2；2，3｝不≌A从而更≠A。点集R=｛x｝各元点x变为3个点：x、x+1、x+2得新点集 E={x、x+1、x+2}=｛x｝∪｛x+1｝∪｛x+2｝=R∪｛x+1｝∪｛x+2｝不≌R（因这是“一变多”的变换所以是不保距变换），据h定理E≠R。包含R的E=R∪｛x+1｝∪｛x+2｝≠R说明E必至少有一元y∈｛x+1｝或｛x+2｝在R外，这R外的标准实数y显然>R一切点的坐标数x。人类认识无理数后的2500年里一直无人能识此类推翻“R轴各点与各实数一一对应定理”的“更无理”标准无穷大正数，2500年不识这类数使中学数学一直将R外数误为R内数从而将E=R∪｛x+1｝∪｛x+2｝中的｛x+1｝与｛x+2｝误为=R。 参考文献 [1]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。 [2]黄小宁。初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数[J]，课程教育研究，2017（50）：107。 |
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