漫谈三角形的面积公式

开学伊始，与多位同行谈及三角形的相关问题，恰逢数学电影《三角形》、《全等三角形》、《等腰三角形》、《直角三角形》以及《勾股定理》的制作季，对此略有思考，周末稍有空闲，就一起聊聊“三角形的面积公式”这个话题吧。

一

缘起

关于三角形的面积计算，常见方法是“三角形的面积等于二分之一底乘高”，它由矩形面积公式推导而来，我们经常将四边形问题转化为三角形问题，早期三角形这一面积公式推导，则反之。

这得从《周髀》讲起，开篇商高答周公时有“矩出九九八十一”，意指矩形（边长为整数）的面积可以借助乘法口诀计算。3000多年前的华夏祖先就知道“矩形的面积=长×宽”。

至魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中提及推导过程：“半广者，以盈补虚为直田也，亦可半正从以乘广。按半广乘从，以取中平之数，故广从相乘为积步。”这里，“广”指的是三角形的底边，“正从”指的是高（“从”念“zong”）。

看看我们的电影片段先：

具体操作是这样的：取三角形两边中点，作底边垂线，可将三角形割补成矩形（即直田）。

“亦可半正从以乘广。”则是另一种方法，取高的一半，同样可以割补成矩形。

这是刘徽的“出入相补之术”，也就是割补法，得出了三角形的面积公式：

只需测量三角形的一边长以及这条边上的高，即可求得三角形的面积。

二

海伦-秦九韶公式

如果我们仅知道三角形的三边长，如何求其面积呢？

2000年前亚历山大城的海伦（Hero，约公元62年-150年，科学家、发明家）给出了公式：

公式相传为阿基米德所发现，因为这个公式最早出现在古希腊海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。

关于海伦公式，很可能是用勾股定理求出高的方式进行推导而得。如图，在三角形ABC中，过A点作BC的垂线，垂足为D。

公元 13 世纪，我国宋代数学家秦九韶在《数书九章》中提出了类似的公式，称“三斜求积术”。

秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，与中斜平方相减后的一半，自乘而得一个数，然后再用小斜平方乘以大斜平方，与之前自乘之数相减后被 4 除，再开平方后得面积。

用现在的公式可表示为：

这种求解方法与海伦公式的展开式基本相同。

三

皮克定理

值得一提的是，奥地利数学家皮克(Pick)在1899年给出的“皮克定理”。

如果将三角形置于单位正方形的方格图上，细数相应的格点，便能很简洁的求出任意三角形的面积。

由皮克定理，上图格点三角形的面积为12，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形P，及跟P有一条共同边的三角形T。若P符合皮克公式，则只要证明P加上T的PT亦符合皮克公式（I），以及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法，皮克公式对于简单多边形都是成立的。

四

三角公式计算面积

对照两个三角形全等的判定定理，此公式可对应边角边定理（SAS），事实上，海伦-秦九韶公式对应的便是SSS，联想另几个判定定理，ASA、AAS以及直角三角形的HL，每一个全等判定似乎都对应有一个三角形面积公式？

答案是肯定的，因为判定中的三角形边角元素确定了三角形的形状与大小，利用尺规即可作出全等的三角形，而全等三角形的面积一定相等。

我们可以推导出角边角(ASA)对应的公式，可以是：

此外，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标也可以得到三角形面积公式，包括拓展至空间的三角形面积计算，有兴趣的朋友可以深入研究起来。

当然，三角形的面积计算不止于此，还有很多方法与途径，周末闲聊，与君分享。