从幂律分布到特征数据概率分布

lhbsd 2022-09-07 发布于广东

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在机器学习领域，概率分布对于数据的认识有着非常重要的作用。不管是有效数据还是噪声数据，如果知道了数据的分布，那么在数据建模过程中会得到很大的启示。

首先，如下图所示8个特征数据概率分布情况（已经做归一化），这些特征是正态分布、伯努利分布，还是泊松分布、幂律分布？
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在高斯法则生效的领域，平均值可以代表整体。但是在幂律法则统治的领域，平均值毫无意义。高斯法则和幂律法则的典型代表是分别身高和财富，把姚明放到100个人中，并不会显著改变平均身高，但把比尔·盖茨放到100个人中，就会极大改变平均财富。

在高斯法则生效的领域，所有人跟平均值的差距不会很大；但是在幂律法则分布的领域，跟平均值的差距就会大到惊人。

正态法则和幂律法则，细思极恐。带着问题，我们开始概率分布之旅。

1. 概率分布概述

概率分布，是指用于表述随机变量取值的概率规律。将随机变量作为横轴，概率作为纵轴，把随机变量与对应变量画上去，构成一个图形，这个图像就是概率分布的直观表示。通常也用概率分布函数表示 F ( x ) F ( x ) F(x)来描述一个概率分布，概率分布函数被定义为：
F ( x ) = P { X < x } F ( x ) =P\{X<x\} F(x)=P{X<x}

总之概率分布也可以理解为一个函数，它刻画了随机变量与概率的映射关系，给定一个概率分布，就可以求任何随机变量对应的概率了。当一个随机变量与它的概率满足某一个概率分布的映射关系时，则称这个随机变量服从该概率分布。

如下图为常用概率分别关系图。
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2. 常用概率分布

2.1. 均匀分布

均匀分布在 [a，b] 上具有相同的概率值，是简单概率分布。
均匀分布可以很容易地从伯努利分布中得出。在这种情况下，结果的数量可能不受限制，并且所有事件的发生概率均相同。例如掷骰子，存在多个可能的事件，每个事件都有相同的发生概率。
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2.2. 伯努利分布

伯努利分布（Bernoulli Distribution）是单个二值随机变量的分布，是一种离散分布，又称为 “0-1 分布” 或 “两点分布”。例如抛硬币的正面或反面，物品有缺陷或没缺陷，病人康复或未康复，此类满足「只有两种可能，试验结果相互独立且对立」的随机变量通常称为伯努利随机变量。

假设二值其中之一的概率等于 p p p，而对于互斥对立面面则是（ 1 − p ）（1-p）（1−p）（包含所有可能结果的互斥事件的概率总和为1）。

对于伯努利分布来说，其离散型随机变量期望为：
E ( x ) = ∑ x × p ( x ) = 1 × p + 0 × ( 1 − p ) = p E(x) = ∑x\times p(x) = 1\times p+0\times (1−p) = p E(x)=∑x×p(x)=1×p+0×(1−p)=p
E ( x 2 ) = ∑ x × p ( x 2 ) = 1 2 × p + 0 2 × ( 1 − p ) = p E(x^2) = ∑x\times p(x^2) = 1^2\times p+0^2\times (1−p) = p E(x2)=∑x×p(x2)=12×p+02×(1−p)=p

方差为：
V a r ( x ) = E ( x 2 ) − ( E ( x ) ) 2 = p − p 2 = p ( 1 − p ) Var(x) = E(x^2)−(E(x))^2 = p−p^2 = p(1−p) Var(x)=E(x2)−(E(x))2=p−p2=p(1−p)
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2.3. 二项分布

二项分布（binomial distrubution）就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。

P { X = k } = ( n k ) p k ( 1 − p ) ( n − k ) P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{(n-k)} P{X=k}=(kn)pk(1−p)(n−k)

式中 k = 0 , 1 , 2 , . . . , n k=0,1,2,...,n k=0,1,2,...,n， ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} (kn)=k!(n−k)!n!是二项式系数，又记为 C n k C_n^k Cnk。

二项式分布的主要特征是：

给定多个试验，每个试验彼此独立（一项试验的结果不会影响另一项试验）。

每个试验只能得出两个可能的结果（例如，获胜或失败），其概率分别为p和（1- p）。

如果获得成功概率（p）和试验次数（n），则可以使用以下公式计算这n次试验中的成功概率（x）。
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如果二项分布满足p<q，np≥5，(或p>q，np≥5)时，二项分布接近正态分布。

E ( X ) = n p E(X)=np E(X)=np
V a r ( X ) = n p ( 1 − p ) Var(X)=np(1-p) Var(X)=np(1−p)

2.4. 多项分布

多项式分布（Multinoulli distribution）二项分布的推广。二项分布（也叫伯努利分布）的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币，k次为正面的概率即为一个二项分布概率。而多项分布就像扔骰子，有6个面对应6个不同的点数。

某随机实验如果有k个可能结局 A 1 、 A 2 、 … 、 A k A_1、A_2、…、A_k A1、A2、…、Ak，分别将他们的出现次数记为随机变量 X 1 、 X 2 、 … 、 X k X_1、X_2、…、X_k X1、X2、…、Xk，它们的概率分布分别是 p 1 ， p 2 ， … ， p k p_1，p_2，…，p_k p1，p2，…，pk，那么在n次采样的总结果中， A 1 A_1 A1出现 n 1 n_1 n1次、 A 2 A_2 A2出现 n 2 n_2 n2次、…、 A k A_k Ak出现 n k n_k nk次的这种事件的出现概率P有下面公式：

P ( X 1 = n 1 , X 2 = n 2 , ⋯ , X k = n k ) = { n ! n 1 ! n 2 ! ⋯ n k ! p 1 n 1 p 2 n 2 ⋯ p k n k , ∑ i = 1 k n i = n 0 , o r t h e r w i s e P(X_1=n_1,X_2=n_2,⋯,X_k=n_k)=\left\{

\begin{matrix} \frac{n!}{n 1! n 2! \dots n k!} p_{1}^{n 1} p_{2}^{n 2} \dots p_{k}^{n k} & , \sum_{i = 1}^{k} n_{i} = n \\ 0 & , o r t h e r w i s e \end{matrix}

\right. P(X1=n1,X2=n2,⋯,Xk=nk)={n1!n2!⋯nk!n!p1n1p2n2⋯pknk0,∑i=1kni=n,ortherwise

多项分布对其每一个结果都有均值和方差，分别为：

E ( X i ) = n p i E(X_i)=np_i E(Xi)=npi
V a r ( X i ) = n p i ( 1 − p i ) Var(X_i)=np_i(1-p_i) Var(Xi)=npi(1−pi)

2.5. 泊松分布

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等。【维基百科】

P ( X = k ) = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , . . . P(X=k)= \frac{λ^k}{k!}e^{-λ} ,k=0,1,... P(X=k)=k!λke−λ,k=0,1,...

泊松分布的参数 λ λ λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为 λ λ λ

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一般来说，我们会换一个符号，让 μ = λ \mu=\lambda μ=λ 。

2.6. 正态分布

若随机变量 X X X服从一个数学期望为 μ μ μ、方差为 σ 2 \sigma ^2 σ2的正态分布，记为 N ( μ ， σ 2 ) N(μ，σ^2) N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值 μ μ μ决定了其位置，其标准差 σ σ σ决定了分布的幅度。当 μ = 0 , σ = 1 μ = 0,σ = 1 μ=0,σ=1时的正态分布是标准正态分布。

标准正态分布又称为 u u u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为 N （ 0 ， 1 ） N（0，1） N（0，1）。
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一维正态分布
若随机变量 X X X服从一个位置参数为 μ μ μ 、尺度参数为 σ σ σ的概率分布，且其概率密度函数为：
f ( x ) = 1 2 π σ e ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f(x)=\frac {1}{\sqrt{2π}σ}e^{(-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2})} f(x)=2π σ1e(−2σ2(x−μ)2)

标准正态分布
当 μ = 0 ， σ = 1 μ=0，σ=1 μ=0，σ=1时，正态分布就成为标准正态分布：
f ( x ) = 1 2 π e ( − x 2 2 ) f(x)=\frac {1}{\sqrt{2π}}e^{(-\frac{x^2}{2})} f(x)=2π 1e(−2x2)

2.7. 伽马分布

伽玛分布（Gamma Distribution），Gamma分布中的参数α，称为形状参数（shape parameter），β称为尺度参数（scale parameter）。
“指数分布”和“ χ 2 χ^2 χ2分布”都是伽马分布的特例。

令 X ∼ Γ ( α , β ) X \sim \Gamma(\alpha, \beta) X∼Γ(α,β)；且令 λ = 1 β \lambda = \frac{1}{\beta} λ=β1：（即 X ∼ Γ ( α , 1 λ ) ） X \sim \Gamma(\alpha, \frac{1}{\lambda})） X∼Γ(α,λ1)）。

f ( X ) = X ( α − 1 ) λ α e ( − λ X ) Γ ( α ) ， X > 0 f(X) = \frac{X^{(\alpha -1)} \lambda^{\alpha} e^{(-\lambda X)}}{\Gamma(\alpha)}，X > 0 f(X)=Γ(α)X(α−1)λαe(−λX)，X>0
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2.8. 几何分布

几何分布（Geometric distribution）在伯努利试验中，记每次试验中事件 A A A发生的概率为 p p p，试验进行到事件A出现时停止，此时所进行的试验次数为 X X X，其分布列为：

P ( X = k ) = ( 1 − p ) ( k − 1 ) p , k = 1 , 2 , . . . P(X=k)=(1-p)^{(k-1)}p,k=1,2,... P(X=k)=(1−p)(k−1)p,k=1,2,...
此分布列是几何数列的一般项，因此称 X X X服从几何分布，记为 X ～ G E ( p ) X ～ GE(p) X～GE(p) 。
实际中有不少随机变量服从几何分布，譬如，某产品的不合格率为0.05，则首次查到不合格品的检查次数 X ～ G E ( 0.05 ) X ～ GE(0.05) X～GE(0.05) 。
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X ∼ G E ( p ) ， q = 1 − p ， P ( X = r ) = p q ( r − 1 ) X\sim GE(p)，q=1-p，P(X = r) = pq^{(r-1)} X∼GE(p)，q=1−p，P(X=r)=pq(r−1)，当 r → ∞ r→∞ r→∞时：

期望和方差：

E ( X ) = 1 p E(X) = \frac{1}{p} E(X)=p1
V a r ( X ) = q p 2 Var(X) = \frac{q}{p^2} Var(X)=p2q

2.9. 指数分布

在概率理论和统计学中，指数分布（Exponential distribution也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。

f ( x ) = { λ e − ( λ x ) , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x)=\left\{

\begin{matrix} λ e^{- (λ x)} & , x > 0 \\ 0 & , x \leq 0 \end{matrix}

\right. f(x)={λe−(λx)0,x>0,x≤0

在概率论和统计学中，指数分布是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。
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期望与方差：
E ( X ) = 1 λ E(X)=\frac{1}{λ} E(X)=λ1
V a r ( X ) = 1 λ 2 Var(X) = \frac{1}{λ^2} Var(X)=λ21

2.10. 卡方分布

卡方分布（chi-square distribution），也称为 X 2 X^2 X2分布，若 n n n个相互独立的随机变量 ξ 1 , ξ 2 ， . . . , ξ n ξ_1,ξ_2，...,ξ_n ξ1,ξ2，...,ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这 n n n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

χ 2 ( n ) χ^2 ( n ) χ2(n) 分布 , 就是 Γ Γ Γ 分布的一种特殊形式：

其中 α = n 2 , β = 1 2 α = \frac{n}{ 2} , β = \frac{1}{ 2} α=2n,β=21

f ( x ) = { 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) x n 2 − 1 e − 1 2 x , x > 0 0 , x ≤ 0 f ( x ) = \left\{

\begin{matrix} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{1}{2} x} & , x > 0 \\ 0 & , x \leq 0 \end{matrix}

\right. f(x)={22nΓ(2n)1x2n−1e−21x0,x>0,x≤0

定义如果随机变脸 X i X_i Xi 之间相互独立且服从 N ( 0 , 1 ) N ( 0 , 1 ) N(0,1) , 分布 , 则称随机变量
χ 2 = X 1 2 + X 2 2 + . . . + X n 2 χ^2 = X_1^ 2 + X_ 2^2 + ... + X_n^2 χ2=X12+X22+...+Xn2 服从自由度为 n n n 的 χ 2 χ^2 χ2 分布记为 χ 2 ∼ X 2 ( n ) χ^2\sim X^2(n) χ2∼X2(n)

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2.11. beta分布

贝塔分布（Beta Distribution) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数，在机器学习和数理统计学中有重要应用。在概率论中，贝塔分布，也称 B Β B分布，是指一组定义在(0,1) 区间的连续概率分布。
f ( x : α , β ) = 1 B ( α , β ) x ( α − 1 ) ( 1 − x ) ( β − 1 ) f(x:α ,β)=\frac{1}{B(α ,β)}x^{(α-1)}(1-x)^{(β-1)} f(x:α,β)=B(α,β)1x(α−1)(1−x)(β−1)
其中 Γ ( z ) Γ(z) Γ(z) 是 Γ Γ Γ函数。随机变量 X X X服从参数为 ( α , β ) (α ,β) (α,β) 的 B Β B分布通常写作
X ∼ B e B ( α , β ) X \sim BeB(α ,β) X∼BeB(α,β)

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2.12. 幂律分布

幂律分布是指某个具有分布性质的变量，且其分布密度函数是幂函数（由于分布密度函数必然满足“归一律”，所以这里的幂函数，一般规定小于负1）的分布。

幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线,这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。

假设变量x服从参数为的幂律分布，则其概率密度函数可以表示为：
f ( x ) = c x − α − 1 , x → ∞ f(x)=cx^{-α-1}, x→∞ f(x)=cx−α−1,x→∞
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在双对数坐标下，幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线，这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。