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本题选自2022年河池中考数学填空压轴题，以正方形为背景，考查正切值的求法，难度中等，适合用于训练几何求值的能力。 【题目】 （2022·河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH=2/5BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ ．
【答案】 5/8 【分析】 求正切值（三角函数），关键是确定直角三角形。那么可以发现∠AMN在Rt△AMN中，只需根据已知条件求出AM的长即可。 先把题目的已知条件标记在图中。
如果可以求出AM或者BM的长即可。 【方法一】 根据条件易得△ABG≌△BEH（SAS），进而得到AG=BH，且AG⊥BH。 因为正方形，可以得到∠ABG=∠AOB=90°， 那么就可以得到△ABO∽△AGB，进而得到OA/OB=BA/BG=5/2。
此时，观察可以发现∠AON=∠BOM=90°﹣∠AOM， ∠OBM=∠OAN=90°﹣∠BAG， 则可以得到△OBM∽△OAN， 那么就可以得到BM/AN=OB/OA， 即BM/2.5=2/5， 所以得到BM=1，那么AM=4就出来了。 此时可以得到tan∠AMN=AN/AM=2.5/4=5/8。 【方法二】 遇到垂直，一般优先考虑构造垂直。
如图，过点O分别AB、AF的垂线，垂足分别为Q、P。
那么就可以得到一个射影定理的模型， 因为BG=2，AB=5，根据勾股定理可以得到AG=√29。 再根据△ABO∽△AGO，可以得到AO/BO=AB/BG=5/2。 那么就可以得到BO与AO的长， 进而求得OQ=50/29，BQ=20/29。
那么就可以得到AP=OQ=50/29，进而得到PN=AN﹣AP=5/2-50/29。 如上图，可以得到两个三角形相似△OQM∽△OPN，相似比为2/5。 那么就可以得到QM=2/5PN=1-20/29=20/29。 所以BM=BQ+QM=20/29+9/29=1， 那么AM=4， 结果与上面的一样。 【方法三】 如下图，不直接求AM，过点N作NQ⊥BH，交BH于点P，把∠AMN进行转化，可以得到∠AMN=∠AON=∠ONQ。 那么只需在Rt△OPN中进行求解即可。
易得△ABG≌△BEH（SAS），得到AG与BH垂直且相等， 还可以得到AG与NQ平行且相等。 那么AN=GQ=2.5。 此时可以得到BG/GQ=2/2.5=4/5。 那么就可以得到BO/OP=4/5。 根据相似可以得到 AO/BO=AB/BG=5/2， BO/OG=BE/EH=5/2， OG/PQ=BG/GQ=4/9， 可以考虑设OG=8x， 那么OB=20x，AO=50x，AG=58x， 那么就可以得到PQ=18x， 则PN=58x-18x=40x， OP=25x， 则tan∠AMN=tan∠ONP =OP/PN =25x/40x =5/8。 上面证明∠AMN=∠AON是根据四点共圆得到。
【总结】 几何求值问题，常常考虑勾股、相似、三角等知识进行求解。与正方面有关的更多模型及解题技巧请看《中考数学压轴题全解析》。
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