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 福建省漳州市2023届高三毕业班第一次教学质量检测
数学试题 本试卷：共6页考试时间：120分钟满分：150分
考生注意:
1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,用 黑色签字笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ,全集 ,则集合 中的元素个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若复数 满足 ( 为虚数单位),则
A. B.1 C. D.2
3.已知,则是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知均为单位向量,且满足,则
A. B. C. D.
5.已知,则
A. B. C. D.
6.已知为常数)的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等,则该展开式中的常数项为
A. B. C.10 D.90
7.设,则
A. B. C. D.
8.已知分别为轴,轴上的动点,若以为直径的圆与直线相切,则该圆面积的最小值为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分，选对但不全的得2分,有选错的得0分。
9.已知函数,则
A.的最小正周期是
B.的图象关于点中心对称
C.在上有三个零点
D.的图象可以由的图象上的所有点向右平移个单位长度得到
10.已知椭圆的上下焦点分别为,左右顶点分别为是该椭圆上的动点,则下列结论正确的是
A.该椭圆的长轴长为
B.使为直角三角形的点共有6个
C.的面积的最大值为1
D.若点是异于的点,则直线与的斜率的乘积等于
11.如图,在多面体中,四边形均是边长为1的正方形,点在棱上,则
A.该几何体的体积为
B.点在平面内的射影为的垂心
C.的最小值为
D.存在点,使得
12.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足,则
A.
B.
C. 的前2n项和为
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.树人中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”为主题的演讲比赛,其中9人比赛的成绩为:(单位:分),则这9人成绩的第80百分位数是______.
14.已知直线是曲线的切线,则______.
15.已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点.若,且,则该双曲线的离心率为_______.
16.已知正四棱雉的各顶点都在同一个球面上.若该正四棱雉的体积为,则该球的表面积的最小值为_______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知等比数列的各项均为正数,且.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.(12分)
如图,在四棱雉中,四边形是边长为2的正方形,,.记平面与平面的交线为.
(1)证明:;
(2)求平面与平面所成的角的正弦值.
19.(12分)
密铺,即平面图形的镶嵌,指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接,使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.皇冠图形(图1)是一个密铺图形,它由四个完全相同的平面凹四边形组成.为测皇冠图形的面积,测得在平面凹四边形(图2)中,,.
(1)若,求平面凹四边形的面积;
(2)若,求平面凹四边形的面积的最小值.
20.(12分)
漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间,甲、乙、丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎,假设水仙花球茎损坏后便不能使用,无损坏的全部使用。已知甲、乙、丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的,甲、乙、丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为(水仙花球茎的使用率)
(1)从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次,每次抽取一颗,记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为,求随机变量的分布列及期望;
(2)已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用，求它是由丙工作队所采摘的概率.
21.(12分)
已知抛物线,直线过点.
(1)若与有且只有一个公共点,求直线的方程;
(2)若与交于两点,点在线段上,且,求点的轨迹方程.
22.(12分)
已知函数.
(1)当时,,求的最大值;
(2)设,证明:.
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