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如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC=AB=1，B1C1∥BC，BC=2B1C1 （Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C （Ⅱ）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积． （Ⅰ）证明：取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E ∵B1C1∥BC，B1C1=1/2BC， ∴B1C1∥EC，B1C1=EC ∴四边形CEB1C1为平行四边形， ∴B1E∥C1C ∵C1C⊂面A1C1C，B1E⊄面A1C1C， ∴B1E∥面A1C1C… ∵B1C1∥BC，B1C1=1/2BC， ∴B1C1∥BE，B1C1=BE ∴四边形BB1C1E为平行四边形， ∴B1B∥C1E，且B1B=C1E 又∵ABB1A1是正方形， ∴A1A∥C1E，且A1A=C1E ∴AEC1A1为平行四边形， ∴AE∥A1C1， ∵A1C1⊂面A1C1C，AE⊄面A1C1C， ∴AE∥面A1C1C… ∵AE∩B1E=E， ∴面B1AE∥面A1C1C ∵AB1⊂面B1AE， ∴AB1∥面A1C1C； 考点分析： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 题干分析： （Ⅰ）取BC的中点E，证明四边形CEB1C1为平行四边形，可得B1E∥C1C，从而可得B1E∥面A1C1C，再证明AE∥面A1C1C，利用面面平行的判定，可得面B1AE∥面A1C1C，从而可得AB1∥面A1C1C； （Ⅱ）先证明CD⊥平面ADC1A1，于是多面体ABC﹣A1B1C1是由直三棱柱ABD﹣A1B1C1和四棱锥C﹣ADC1A1组成的，即可得出结论． |
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