【原】​圆周运动：直角坐标系

当物体在圆轨道上运动时，只要知道了转角与时间的函数关系，就可以导出全部运动学量。

在刚刚完成的两小节中，我们从物理的层面出发，对物体沿圆轨道运动时的加速度做了细致的分析，给出了一些重要的结果。其中《匀速运动》一节给出了中学时期就熟悉的公式，而《变速运动》一节则给出了一些新概念。不过，这些都仅仅是加速度的基本特性，我们仍然未涉及最重要的问题：时间因素在运动过程中的作用。当物体沿圆轨道运动时，位置、速度和加速度对时间的依赖关系将是本节要讨论的问题。

当物体沿圆轨道运动时，为了定量地研究各种运动学量随时间改变的规律，必须引入适当的坐标系。假定物体沿着纸面上的一个圆轨道运动，为了简单起见，习惯上以圆轨道的圆心作为坐标原点，水平方向从左向右为 轴的正方向，竖直向上的方向为 轴的正方向，建立一个平面直角坐标系。还需要用到两个辅助参量：物体离开原点的距离 以及对 轴的偏角 。

在按以上方式建立起来的这样一个平面直角坐标系中，运动物体的位置矢量可以表示成：

(1)     

在这个表达式中， 是圆轨道的半径，不随时间改变，位置矢量 与时间的依赖关系表现在转角 上。

对位置矢量的表达式 (1) 式求时间的一阶导数，得到运动速度的表达式：

(2)      

其中 被称为角速度，它反映了物体沿圆轨道运动时绕轨道中心转动的快慢程度。一般约定，按照图中的平面直角坐标系的画法，当物体沿圆轨道逆时针转动时，角速度取为正值。对速度的表达式取模，就得到圆周运动的速率的表达式：。当 是一个常数时，就是匀速圆周运动。

对速度的表达式 (2) 式再求一次时间导数，就得到加速度的表达式：

(3)     

                   

其中 被称为角加速度，反映了角速度随时间变化的快慢程度。

让我们仔细分析加速度的这个表达式。先看第二项。引入一个沿位置矢量方向的单位矢量：

(4)      

称之为径向单位矢量。对于圆轨道，位置矢量的方向沿半径背向圆心。引入了径向单位矢量之后，加速度的这一项可以写成 。前面曾经说过，用 表示沿曲线的内法线方向的单位矢量。对于圆轨道，内法线方向沿半径指向圆心。因此，。于是，加速度的这一项就可以改写成 。利用速率与角速度的关系式，这一项也可以写成 。结果发现，这一项正好就是法向加速度。这个结果启发我们猜测，在加速度的表达式 (3) 式中，第一项应该就是切向加速度。

我们知道，切向单位矢量 与法向单位矢量 和径向单位矢量 垂直。由于约定了逆时针方向转动为正向转动，因此， 的方向也应该逆着时针的走向。由简单的几何关系马上可以写出切向单位矢量的解析表达式：

(5)     

结果发现，在加速度的表达式 (3) 式中，第一项确实沿着切线的方向。由于 ，因此， 正好就是切向加速度的数值。于是，

(6)     

在加速度的这个表达式中， 和 这两个量是有可能随时间改变的。然而，按照 (6) 式的样子却看不出有这种关系，并且容易被误认为是两个常数。为了克服这个缺陷，将 (6) 式改写成以下形式：

(7)     

引入了切向单位矢量的解析表达式之后，速度的表达式 (2) 式就明显地显示出沿运动轨道的切线方向了：

(8)     

速度与加速度的这两个表达式明确地告诉我们，只要知道了转角与时间的函数关系，就可以导出圆周运动的全部运动学量。

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