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第0页 第一章有理数 1.1正数和负数 第一课时正数和负数 考点集训/夯实基础 1． B 2． B提示：电梯上升 5层记为+5，电梯 下降 2层应记为-2． 3．运出粮食 4 t提示：根据相反意义 的量的概念可知，-4 t表示运出粮食 4 t． 4. A提示：1前面省略“+”号，为正数； -2，-3前面带“-”号，为负数；0既不 是正数也不是负数. 5. A提示：负数有- 2， - 5 . 5， - 6 %， 共 3个. 6. 0 7.解：正数：+8，68， 22 7，0.001； 负数：-25，-3.14，-889. 8. -4时提示：中午 12点记作 0时， 中午 12点之后几小时记作正几时， 则中午 12点之前几小时记作负几 时，上午 8点在中午 12时之前 4小时， 故记作-4时，注意单位. 9. A 综合检测/巩固排查 10. C提示：正数有 1， 1 2，6%，2.89共 4个. 11. B提示：根据题意把得到记作“+”， 那么花去记作“-”，据此可得，花去 6 元钱记作-6元. 12. D提示：盈利为“+”，亏损为“-”， 那么-50元表示亏损 50元． 13． D提示：因为向东行进为正，所以 -100 m表示的意义是向西行进 100 m． 14. D提示：-a中 a的数值无法确定， 故-a的符号无法确定. 15． -1，-3提示：注意 0既不是正数也 不是负数. 16． 200 -130提示：1 400÷7＝200（元）， 平均每天的利润是 200元．平均每天亏 损 910÷7＝130（元），即平均每天的利 润是-130元． 17. 60提示：根据题意潜水艇上浮记 为正，下潜记为负，-20 m表示下潜 20 m，+10 m表示上浮 10 m，所以现 在潜水艇在原来的位置下潜 10 m，已 知潜水艇原来在距水面 50 m深处， 则现在潜水艇在距水面 60 m深处． 18.解：正数：1，+2 023，10％， 34 3； 负数：- 1 5，-π，-1 1 2，-24. 19.解：平均质量为（25.5+24+25+23.5）÷ 4=24.5（kg），25.5-24.5=1（kg），所以重 25.5 kg的那筐苹果超出标准质量 1 kg，记作+1 kg；24.5-24=0.5（kg）， 所以重 24 kg的那筐苹果不足标准质 量 0.5 kg，记作-0.5 kg；25-24.5=0.5（kg）， 所以重 25 kg的那筐苹果超出标准 质量 0.5 kg，记作+0.5 kg；24.5-23.5= 1（kg），所以重 23.5 kg的那筐苹果不 足标准质量 1 kg，记作-1 kg. 20. B提示：“正”和“负”相对，所以， 如果（→2）表示向右移动 2记作+2， 那么（←3）表示向左移动 3记作-3． 21. D提示：收入和支出意义相反，收 入100元记作+100元，支出 80元记 作-80元． 22. D提示：如果温度上升 10℃记作 +10℃，那么温度下降 5℃记作-5℃． 23. -3 m提示：因为水位升高2 m时 水位变化记作+2 m，所以水位下降 3 m时水位变化记作-3 m． 创新应用/核心素养 24.解：（1）+3 +4 +2 0 -4 -2 提示：A→C向右 3格，向上 4格，所 以 A→C（+3，+4）， 同理：B→C（+2，0），D→A（-4，-2）； （2）如图所示． A B D C P 第二课时有理数 考点集训/夯实基础 1. C提示：-5.678是有理数，有限小数 可以化为分数形式，即也是分数，也 可统称为非整数. 2. D提示：正数和负数还有 0，组成 有理数，A选项错误；整数包括自然 数和负整数，B选项错误；0不是最小 的整数，不存在最小的整数，C选项错 误；0是最小的自然数，D选项正确. 3. 4 3 3 2 2提示：正数有 1 3，3.6， 7， 2 5共 4个；负数有-2.5，-0.3，-1共 3个；正分数有 1 3，3.6， 2 5共 3个；负 分数有-2.5，-0.3共 2个；自然数有0， 7共 2个. 4. B 5. B提示：根据有理数的分类对各选 项进行分析判断，-2是负有理数，A 正确，故本选项不符合题意；0是整 数，B错误，故本选项符合题意； 2 5是 正有理数，C正确，故本选项不符合题 意；-0.25是负分数，D正确，故本选 项不符合题意. 6.解：正有理数：｛4，0.86，0.8，8.7，…｝； 非负有理数：｛4，0.86，0.8，8.7，0，…｝； 整数：｛-3，4，0，-7，…｝； 负分数： -0.5，- 1 3，- 5 6，，…$. 提示：非负有理数是指正有理数和零. 7． D提示：A.没有最小的有理数，故本 选项错误；B.一个有理数不是正数就 是负数或 0，故本选项错误；C.分数是 有理数，故本选项错误；D.没有最大 的负数，故本选项正确． 8. B提示：有理数包括正整数、正分数、 0、负整数、负分数五小类，注意π不 是有理数.故在-1，π 2，4.112 134，0， 22 7，3.14中有理数有-1，4.112 134，0， 22 7，3.14． 综合检测/巩固排查 9. C 10. B 11. D提示：非负数包括正数和 0；所列 数中非负数有 0，+5，+ 1 3，2 024. 12. D提示：A.一个数前面加上“-”号， 这个数不一定是负数，如-0，0既不是 正数也不是负数，此选项错误；B.π 不是有理数，因此不是分数，此选项 错误；C.若 a是正数，则-a一定是负 数，此选项错误；D.零既不是正数也不 是负数，此选项正确. 13. B提示：（1）-3.56既是负数、分数， 也是有理数，故（1）正确；（2）正整数、 0和负整数统称为整数，故（2）错误； （3）0既不是负数也不是正数，故（3）正 确；（4）-2 023既是负数，也是整数， 也是有理数，故（4）错误；（5）自然数 是整数，故（5）正确. 14. 4提示：整数包括正整数、负整数、 0，故-3，0，4，+10是整数. 15. -4，0提示：非正整数指整数且非 正，即负整数和 0. 16. - 1 5 1 6 - 1 2 023提示：分数找 规律，观察分子、分母的特点，观察发 现每个分数的分子都是 1，第 n个数 的分母是 n，第 n个数的正负性取决于 n的奇偶性，奇负偶正. 17. 6提示：这一组数中，除了π之外 其他都是有理数，共 7个；整数有 0， 2 023，-16，共 3个；分数有- 1 5， 4 9， 5%，0.234，共 4个；则 m+n-k=7+3- 4=6. 18. …… - 2 3，-2.4 … -86， -6 14 负数集合整数集合 ……… +3.6， -86，-6 14 整数集合正数集合 8 1 2，1.3 19． D提示：A.-1是负整数，故选项 错误；B.0是非正整数，故选项错误； C. 1 2是分数，不是整数，故选项错 误；D.1是正整数，故选项正确． 20． C提示：0既不是正数也不是负 数，故 A，B错误；C. 0是整数，故 C正 确；D. 0是有理数，故 D错误. 21． D提示：整数和分数统称有理数，π 不是有理数， 22 7，0，6，-1.414是有 理数. 22. B 创新应用/核心素养 23.解：（填法不唯一） 2 0.2 -4 -2 -0.2 5 1 -1 0 1.2数轴 考点集训/夯实基础 1. D提示：数轴三要素：原点、正方向、 单位长度.注意单位长度一致. 2. D提示：数轴的三要素是原点、正方 向和单位长度. 3.原点正方向单位长度 4. C 5. C提示：原点左侧是负数，原点右侧 是正数，原点表示 0，0和负数统称 为非正数. 6.解：如图所示： -7-6 -5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 -6 0.5 -1.5 -2 -1 3 5 7. -5.5 4 0.5提示：点 A在原点的 左侧，距离原点 5.5个单位长度，故点 A表示的数是-5.5，其他各点同理. 8． C提示：A中，无原点；B中，无正方 向；D中，数的顺序错了. 9. B提示：分两种情况，该点在-1的 左侧和右侧.当该点在-1的左侧时， 从-1往左移动 3个单位长度，表示的 数是-4；当该点在-1的右侧时，从-1 往右移动 3个单位长度，表示的数 是 2.综上所述，数轴上到-1的点的 距离是 3的点表示的数为-4或 2. 综合检测/巩固排查 10. B 11. B 12. C提示：数轴上到原点距离为 4的 点有 2个，分别在原点的左侧和右侧， 所以数轴上到原点距离为 4的点表 示的数为-4和 4. 13. C提示：因为 C选项中表示 a的点 在 2的右边，所以 a＞2，所以点 A 向右移动 2个单位长度后一定表示 正数. 14. -1提示：从原点先向右移动 1个单 位长度为 1，再向左移动 2个单位长 度为-1. 15.左 2个单位长度2.5 16. -12， -11， -10， -9， -8，11，12，13， 14，15，16，17提示：因为被墨水污 染的部分在-12.6与-7.4之间，10.5 与 17.2之间，根据数轴上点的特点可 直接解答. 17.解：（1）如图，用 A，B，C分别表示小 明、小红、小刚家； A B -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 C百货大楼 （2）小明家到百货大楼的距离是 4 km， 小刚家到百货大楼的距离是 4.5 km， 所以小明家与小刚家相距 4+4.5=8.5 （km）； （3）这辆货车此次送货共耗油（4 + 1.5+10+4.5）×0.05=1（L）． 18. D提示：如果点 A表示的数是-1， 那么点 A右边一个点就是原点，点 B 在原点右侧 3个长度单位，故点 B表 示的数是 3. 19. 7提示：因为点 A，B表示的数分 别是 1，3，所以 AB=3-1=2，因为 BC= 2AB=4，点 C在点 B的右侧，所以从 点 B往右移动 4个单位长度得到点 C，点 C表示的数是 7． 157 158 全优课堂·数学·七年级上册（JJ）·答案全解 第1页 创新应用/核心素养 20.解：（1）5提示：由数轴观察知三根 这种木棒的长是 20-5=15（cm），所以 一根木棒长 15÷3=5（cm）； （2）如图， -40 A B 116 M N 点 A表示小美现在的年龄，点 B表示 爷爷现在的年龄，木棒 MN的两端分 别落在点 A，B． 由题意可知，当点 N移动到点 A时， 点 M所对应的数为-40，当点 M移 动到点 B时，点 N所对应的数为 116． 116+40=156，156÷3=52，所以 MN=52． 所以点 A所对应的数为 12，点 B所对 应的数为 64．即小美今年 12岁，爷爷 今年 64岁. 1.3绝对值与相反数 考点集训/夯实基础 1. B提示：绝对值表示的是一个数在 数轴上对应的点到原点的距离，题 中的数在数轴上对应的点到原点的 距离为 m，那么这个数的绝对值就是 m. 2.近提示：一个数在数轴上离原点越 近，它的绝对值越小；离原点越远，它 的绝对值越大，绝对值在数轴上表示 的是“距离”. 3. ±2提示：到原点距离为 2的点有两 个，分别是+2和-2，因此±2的绝对值 都是 2. 4. 3 -3 0 5. C提示：选项 A中 0.2化成分数是１ ５， -１ ２与１ ５不互为相反数；选项 B中π 是无限不循环小数，与-3.14不互为相 反数；选项 D中３ ２和- 2 3符号相反， 绝对值数值不同，不互为相反数. 6. A提示：点 D表示的数是-2，点 C 表示的数是-1，点 A表示的数是 1， 点 B表示的数是 3，可知点 A和点 C 表示的数互为相反数. 7.（1）2 022（2）-２０23（3）２０23 （4）-１ ２０22 8. A提示：-2的绝对值为 2. 9. 5提示：点 A有两个，在数轴上表示 的数是±5，它们的绝对值都是 5. 10. ±7提示：a>0时，a=7；a＜0时，a=-7. 11. A提示：根据绝对值的性质可知， 一个负数的绝对值一定是正数；一 个正数的绝对值一定是正数；任何数 的绝对值都不是负数，B，C，D都正 确，A中，0的绝对值是 0，不是正数， 故错误. 12.（1）5 3（2）10（3）０（4）１２ 13. C提示：若 -a = -3 =3，则 a的 值为 3或-3. 14. -（a+b）提示：求一个式子的相反 数，要先把这个式子看成一个整体， 再在该式子前加“-”. 综合检测/巩固排查 15. A提示：与－9的符号相反，绝对值 相同的数是+9，因此-9的相反数是9. 16. D提示：0的绝对值是 0，是它本 身，正数的绝对值是它本身，负数的 绝对值是它的相反数；因此有理数中 绝对值等于它本身的数是 0和正数， 即非负数. 17.Ｄ提示： 1 2的相反数是- 1 2，- 1 2 的绝对值是 1 2，因此 1 2的相反数 的绝对值是 1 2 . 18. A提示：A项，-（-3）=3，-（+3）= -3，因此 -（-3）与 -（+3）互为相反 数；B项， -（+3）=-3， +（-3）=-3，两 数相等；C项，-（-3）=3，+ -3 =3，两 数相等；D项，+（-3）=-3，- -3 =-3，两 数相等. 19. D提示：当 a为正数时， a =a；当 a 为负数时， a =-a；当 a为 0时， 0 = -0=0；因此有理数 a为 0或负数. 20. A提示：当 a＞0时， a a +1=1+1=2. 21. 5 ± 1 ２提示：a的相反数为-a= -5，则 a=5；± 1 ２的绝对值是 1 ２ . 22.＞提示：因为点 a离原点的距离大 于点 b离原点的距离，所以 a > b . 23.解：画数轴如下： -４ -３ -２ -１０１２３ 4 -3 1 2 - 1 2 1 2 3 1 2 -2 0 2 2 =2， - 1 ２ = 1 ２， 0 =0， -3 1 ２ = 3 1 ２ . 24.解：（1）因为 +0.4 =0.4， -0.2 =0.2， +0.1 =0.1， 0 =0， -0.3 =0.3，所以 +0.4＞ -0.3＞ -0.2＞ +0.1＞ 0， 所以第四次抽取的零件与标准直径 相差0 mm的质量相对好一些，根据绝 对值的定义可知，绝对值越小，它与标 准直径的偏差越小，零件质量越好； （2）因为 +0.4＞0.3， -0.2＜0.3， +0.1＜0.3， 0＜0.3， -0.3 =0.3. 所以第一次抽取的零件是不合格品， 即 5件产品中有 1件是不合格品. 25.解：（1）因为 x-2 + y+3 + z-5 =0， 所以 x -2 =0，x =2；y +3 =0，y =-3；z - 5=0，z=5； （2） x+3 + y + z-3 = 2+3 + -3 + 5-3 =5+3+2=10. 26. A提示：-2 019在数轴上表示的 点距原点的距离为 2 019，因此-2 019 的绝对值是 2 019. 27. 9 28. ±3提示： x =3，解得x=±3. 创新应用/核心素养 29.解： -7 -1=6， 6 -1=5.所以最后 屏幕输出的结果是 5. 专题集训一数轴与绝对值的应用 1. C提示：每个间隔之间表示的长度 为 100÷5=20，点 A离原点三格，因 此点 A表示的数为 20×3=60． 2. C提示：因为点 C到点 A的距离为 1，所以点 C表示的数为 0.5或 2.5， 又因为点 C到点 B的距离小于 3， 所以点 C表示的数为 2.5， 即点 C位于点 A和点 B之间． 3. B提示：因为 A，B两点在原点的 两侧，且到原点的距离均为 3，所以 A，B两点所表示的数互为相反数． 4. -6.4 6.4提示：因为点 A和点 B分 别表示互为相反数的两个数，所以原 点到点 A与点 B的距离相等，因为 A，B两点间的距离是 12.8，所以原点 到点 A和点 B的距离都等于 12.8 2 = 6.4．又因为点 A在点 B的左侧，所 以点 A表示的数为-6.4，点 B表示 的数为 6.4． 5. D提示：因为 a＞ b＞ c， 所以点 A到原点的距离最大，点 B 到原点的距离次之，点 C到原点的 距离最小，又因为 AB=BC，所以原点 O的位置在点 C的右边，或者在点 B 与点 C之间，且靠近点 C的地方． 6. B提示： x-1 + x-2 + x-3表示数 轴上一点到点 1，2和 3的距离的和， 当 x在点 2处时距离的和最小，是 2． 7. C提示：我们就让小虫倒回来：从-2 向右爬 7个单位长度，再向左爬 3个 单位长度得到小虫的起始位置所表 示的数是 2. 8.解：如图： -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 B A 运动 3 s时乌龟运动路程为 1×3=3， 兔子运动路程为 3×3=9. （1）当它们相距最远时，乌龟和兔子 背道而驰，即乌龟沿数轴正方向爬 行，兔子沿数轴负方向爬行，此时乌 龟所在的位置对应的数为 5，兔子所 在的位置对应的数为-12； （2）当它们相距最近时，兔子追赶乌 龟，它们同向而行，即乌龟和兔子都 沿数轴正方向爬行，此时乌龟所在的 位置对应的数为 5，兔子所在的位置 对应的数为 6． 9. 14提示：因为 a-3与 2b-4互为 相反数，所以 a-3 + 2b-4 =0， 所以 a-3=0，2b-4=0， 所以 a=3，b=2， 所以 2a+4b=2×3+4×2=14， 所以 2a +4b的相反数的绝对值为 -14 =14． 10.解：由绝对值都是非负数，得 m-3≥0． 所以当 m=3时， m-3最小为 0，即 5- m-3有最大值，最大值是 5． 1.4有理数的大小 考点集训/夯实基础 1. C 2. C提示：画出数轴，处于-3和 7之 间的整数有 -2， -1，0，1，2，3，4，5，6 共 9个. 3.解：把-4，3，3 1 2，0，-2，- 5 2表示在 数轴上，如图： -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 - 5 2 -4 -2 0 3 3 1 2 由数轴上的点表示的数右边的总比 左边的大，得-4＜- 5 2＜-2＜0＜3＜3 1 2 . 4. D提示：四个数中 3为正数，-6和 -7为负数，正数＞0＞负数，比较-6 和-7大小即可，根据两个负数，绝对 值大的反而小， -7＞ -6，故-7＜ -6，所以最小的数是-7. 5. A提示： 0＝0， 1＝1， -3＝3， -1＝ 1，因为 0＜1＜3，所以各数中，绝对值 最小的数是 0． 6. D 7.（1）＞（2）＞提示：（1） -1 =1， -1＞ 0；（2）根据有理数比较大小法则：两 个负数，绝对值大的反而小， - 2 3＝ 2 3， - 5 7＝ 5 7，因为 2 3＜ 5 7，所以- 2 3＞ - 5 7． 8．解：因为 -4 =4， -9 =9，而 4＜9，所 以-4＞-9. 9. 0或-2或-6提示：因为 A，B两点 之间的距离是 3，A点表示的数是-1， 所以 B点表示的数是-4或 2，①当 B 点表示的数是-4时，因为 B，C两点 之间的距离是 2，所以 C点表示的数 是-6或-2；②当 B点表示的数是 2 时，因为 B，C两点之间的距离是 2， 所以 C点表示的数是 0或 4；则点 C表 示的数中小于 4的数是 0或-2或-6 . 综合检测/巩固排查 10. A提示：在数轴上标出-x，1，根据 数轴上右边的数大于左边的数，可得 x＜-x＜1． 11. D提示：如果甲乙两数同为正数， 则绝对值大的数大，即甲数比乙数 大，B错误；如果甲乙两数同为负数， 则绝对值大的数反而小，即甲数比乙 数小，A错误；若两数相等，则绝对值 一定相等，C错误，因此甲乙两数不 相等，D正确. 12. C提示：根据相反数的意义，首先 在数轴上找到-b（如图所示），根据 在数轴上表示的数，右边的总大于 左边的，可得a＞-3，a＜-2，a＜-b．故选 项 A，B，D错误，选项 C正确． -3 -2 -1 0 1 2 3 a -b b 13. C提示：画一个数轴，用 A表示- 1 ２， B表示 0，C表示-2，D表示 1 3，E表 示 1标于数轴之上，如图： C A BD -3 -2 -1 0 1 2 3 E 因为 C点位于数轴最左侧，所以-2 是最小的数． 14. A提示： a =-a， b =b， a＞ b，所 以 a＜0，b≥0，且表示 a的点到原点 的距离大于表示 b的点到原点的距 离，只有 A符合. 15.（1）＜（2）＜（3）＜（4）＜ 16. Q提示：因为点 R和点 T表示的数 互为相反数，所以原点在 R，T之间， 且到 R，T的距离相等，所以 Q，P，R，S， T表示的数分别是-7，-5，-3，-1，+3， 所以点 Q对应的数的绝对值最大． 17.解：（1）2 -3.5提示：因为由图可 知，点 M在 2处，所以 a＝2；因为 b在 数轴上对应的点与原点的距离为 3.5 且b为负数，所以 b＝-3.5； （2）如图所示． -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 b M - 1 2 -2 0 故 b＜-2＜- 1 2＜0． 18.解：（1）在数轴上标出各数，如图： -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -4 -3 1 2 -1.5 0 2.5 3 所以-4＜-3 1 2＜-1.5＜0＜2.5＜3； 159 160 第2页 （2）3，-1.5，-3 1 2，0，2.5，-4的相反数 分别为-3，1.5，3 1 2，0，-2.5，4，所以 -3＜-2.5＜0＜1.5＜3 1 2＜4； （3）3，-1.5，-3 1 2，0，2.5， -4的绝对 值分别为 3，1.5，3 1 2，0，2.5，4，所以 4＞3 1 2＞3＞2.5＞1.5＞0． 19. C提示：-3＜- 1 2＜0＜2，所以最小 的数是-3. 20. A提示：0和正数都比-3大，排 除 C，D；-5的绝对值是 5，大于-3 的绝对值 3，因此-5＜-3；-1的绝对 值是 1，小于-3的绝对值，因此-1＞ -3.故比-3小的数是-5. 21. C提示：因为-2＜-1＜0＜2，所以隐 水洞的气温最低. 创新应用/核心素养 22.解：（1）=＞； （2）显然当 a＞0时， a =a＞-a， 当 a=0时， a =-a=0， 当 a＜0时， a =-a． 阶段小测（1.1、1.2、1.3、1.4） 1. B 2. B 3. D 4. B 5. B提示：负数有-1，- 2 3共 2个. 6. C 7. B提示：因为 45+0.03=45.03，45- 0.04=44.96，所以零件直径的合格范围 是 44.96≤零件的直径≤45.03．因为 44.9不在该范围之内，所以不合格的 是 B． 8. A 9. B 10. D提示：因为数轴上的 A点到原点 的距离是 2，所以点 A表示的数为 2或-2． （1）当 A表示的数是 2时，在数轴上 到 A点的距离是 3的点所表示的数 有-1，5； （2）当 A表示的数是-2时，在数轴上 到 A点的距离是 3的点所表示的数 有-5，1． 11. 3 12. 2 13. -25° 14.± 1 2提示：- 1 2的相反数是 1 2， 所以 a = 1 2，解得 a=± 1 2 . 15. -1或 3提示：分点 B在点 A左边 和右边两种可能．当点 B在点 A右边 时，为 3；当点 B在点 A左边时，为-1． 16.（1）＞提示：两个负数，绝对值大 的反而小； （2）＞提示：-（-5）=5，- -5 =-5. 因为 5＞-5，所以-（-5）＞- -5 . 17. -2，-2.1，-130，- 3 5；0，-2，80，-130. 18.＞提示：因为 x，y是两个负数，且 x＜y，又因为两个负数，绝对值大的 反而小，所以 x＞ y . 19.解：（1）原式=3.2+0.8-1.2=2.8； （2）原式=12-6+7=13； （3）原式=1+1-1=1. 20.正数：：2 3，+29，12.5，4 1 2，2 023， 0.002，… #； 整数：｛+29，0，-9，2 023，-54，…｝； 非负数：：2 3，+29，0，12.5，4 1 2，2 023， 0.002，……； 负分数： -2.4，- 5 12，，-24%，……. 21.解：因为 a =4， b =2，所以 a=±4， b=±2，因为 a＞b，所以 a=4，b=2或 a= 4，b=-2． 22.解：（1） -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 B A邮局 C （2）由数轴可知 C村离 A村的距离为 6 km； （3）邮递员一共骑行了 2+3+9+4=18 （km）． 23.解：（1）+0.026＞0.02，-0.025＜-0.02， 不在要求范围内，故不符合要求，其 他均符合要求，故符合要求的螺母 有+0.01，-0.018和+0.015； （2）因为 +0.01 =0.01， -0.018 =0.018， +0.015 =0.015，0.01＜0.015＜0.018， 所以内径误差为+0.01 mm的螺母质 量最好. 24.解：（1）如图， b -a 0 a -b （2）数 b与其相反数相距 20个单位 长度，则 b对应的点到原点的距离为 10，b＜0，所以 b是-10； （3）因为-b对应的点到原点的距离 为 10，而数 a对应的点与数 b的相反 数对应的点相距 5个单位长度，并且 a对应的点在-b对应的点的左边，所 以 a对应的点到原点的距离为 5，所 以 a表示的数是 5. 1.5有理数的加法 第一课时有理数的加法法则 考点集训/夯实基础 1. A提示：同号两数相加，取相同的符 号，并把绝对值相加.两个负数相加， 取负号，原式=-（7+2）=-9. 2. C提示：异号两数相加，取绝对值较 大加数的符号，并用较大的绝对值减 去较小的绝对值，原式=-（6-5）=-1. 3. C 4. -1提示：因为 x＝2，所以 x＝±2；因 为 x＞0，所以 x＝2，故 x+y的值是-1． 5. -7提示：7的相反数是-7，-7+0=-7. 6. 0提示：-9+0=-9，一个数同 0相加， 仍得这个数. 7.＞＜提示：同号两数相加，取相同 的符号. 8. -4提示：7的相反数为-7，则另一 个数为（-7）+3=-4. 9． A提示：-3+5＝2（℃）． 10. 13 000提示：10 000＋3 000=13 000. 11. 3提示：根据题意得 5+（-2）=3，则 小东实际向东走了 3 km. 12. 2 8，-2提示：因为 a＝5，所以 a＝ ±5；因为 b=3，所以当 a＝5时，a+b＝8； 当 a＝-5时，a+b＝-2.所以 a+b的值共 有 2种结果，分别是 8，-2． 13. B提示：（-6）+2=-4． 综合检测/巩固排查 14. B 15. D 16. C提示：根据题意知 B地的海拔 为-6+17＝11（m）. 17. D提示：A（. -2）+（-2）=-4，本选 项错误；B.-6+（+4）=-2，本选项错误； C.0+（-3）=-3，本选项错误；D.0.56+ （-0.26）=0.3，本选项正确. 18. A提示：因为 a＜0，b＞0，且 a＜ b， 所以 a+b异号相加，取绝对值较大 的符号，即取 b的符号.所以 a+b的 值一定是正数. 19． -4提示：- 1 3的绝对值的相反数 为- 1 3，3 2 3的相反数为-3 2 3，- 1 3 + -3 23 3'=-4． 20. 4提示：小青蛙一天跳3+（-1）= 2（m），两天跳2+2=4（m）. 21. -1.5提示：根据题中的新定义得 （-3）*1.5=-3+1.5=-（3-1.5）=-1.5． 22.解：（1）原式=-（24+13）=-37； （2）原式=+（45-23）=22； （3）原式=-17； （4）原式=（-2.25）+2.25=0. 23.解：会透支. 如果记支出为-，存入为+，则 （-169）+（-99）=-（169+99）=-268， 240+（-268）=-（268-240）=-28， 也就是说会透支28元. 24. C提示：b是 2的相反数，则b是 -2，若 a＞0，则 a=1，a+b=1+（-2）=-1. 若 a＜0，则 a=-1，a+b=（-1）+（-2）= -（1+2）=-3. 25. C提示：-3+5=2. 26． 1提示： -2+3＝1. 27. -1提示：由数轴得，点 A表示 的数是-3，点 B表示的数是 2，即A， B两点所表示的有理数的和是-3+ 2＝-1． 创新应用/核心素养 28.解：（1）由图 1知：白色表示正数，黑 色表示负数，一列白色和一列黑色结 合为 0，剩下白色即为正的，剩下黑色 即为负的； （2）4+（-2） 2提示：根据题意图 2 表示的过程应是在计算 4+（-2），结 果为 2. 第二课时加法运算律 考点集训/夯实基础 1. C 2. B提示：A.10 +（-12）＝-2，10 +12 = 22，此选项错误；B（. -2）+（+5）+（-2）＝ ［（-2）+（-2）］+（+5），此选项正确；C［. 3+ （-2）］+3＝（3+3）+（-2），此选项错误； D.5 1 3 +（-2）+ -4 1 3 33＝ 5 1 3 + -4 1 3 3 33*+ （-2），此选项错误. 3. - 1 5提示：原式＝ 1 2 + - 1 , 223-+ - 2 3 + 1 33 33-+ 4 5＝0＋（-1）+ 4 5＝- 1 5． 4.解：（１）原式＝（２３＋６）＋［（－１７）＋（－２２）］ ＝２９＋（－３９）＝－１０； （2）原式=－4 1 3３ 3+4 23３ -+［（-0.14）+ 1.14］＝ 1 ３ +1＝1 1 ３ . 5.解：（1）（+10）+（-3）+（+4）+（+2）+（+8）+ （+5）+（-2）+（-8）+（+12）+（-5）+（-7）= 16（km）． 则到晚上 6时，出租车在停车场东边 16 km； （2）出租车行驶的总路程是 10+3+4+ 2+8+5+2+8+12+5+7=66（km），所以 出租车共耗油 0.2×66=13.2（L）． 6． A提示： -2 1 3 4 3+ + 5 36 3+ - 334 3+ +1 1 3 6 3= -2 1 3 4 3+ - 33 34 3-+ 5 6 +1 1 3 6 3＝ -3+2＝-1. 综合检测/巩固排查 7. B提示：A.3+（-2）＝-2+3，本选项 错误；B.4+（-6）+3＝（4+3）+（-6），本选项 正确；C［. 5+（-2）］+4＝［5+（+4）］+（-2）， 本选项错误；D. 1 6 +（-1）+ + 5 36 3＝ 1 6 + 5 3 6 3+（-1），本选项错误． 8. C 9. -6 5 7提示：0.75 + -2 33 4 3+0.125 + - 5 37 3+ -4 1 3 8 3= 0.75+ -2 33 3 4 3-+ 0.125+ -4 1 3 3 8 3-+ - 5 37 3=-2 +（-4）+ - 5 37 3=-6 5 7 . 10.（+16）（+24）（-25）（-32） -17 11. 23提示：小李购进股票时是每股 21元，21+（+2）+（-1.5）+（+4）+（+2.5）+ （-5）=23（元），所以星期五收盘时，每 股的价格是 23元. 12.解：（1）原式＝- 3 8 + 3 4 + 3 4 + 1 8 +1 = - 338 3+ 1 3 8 -+ 3 4 + 33 4 3+1 =- 1 4 + 6 4 +1 = 9 4； （2）原式＝ - 109 3 123+ -15 11 3 3 123-+ 15 3 4 + -3 1 3 3 4 3-+（-22.5） ＝-25+12.5+（-22.5） =-25+［12.5+（-22.5）］ ＝-25+（-10） ＝-35； （3）原式＝ -18 4 5 +18 4 3 5 3+ +53 3 5 3 +（-53.6）-+（-100） ＝0+0+（-100） ＝-100． 13.解：（1）3 1 2 +2 1 3 +2 2 3 +2 1 2 =11 （km）. 答：李亮的行程一共是 11 km； （2）记向东为“+”，向西为“-”，则 3 1 2 + 2 1 3 + -2 23 33+ -2 1 3 23= 2 3 （km）. 答：此时他在家的正东方向，与家的 距离是 2 3 km. 14. B提示：原式= 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +...+ 1 99×100 =1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +...+ 1 99 - 1 100 =1- 1 100 = 99 100 . 15.解：原式＝ -４１ 3３ 3＋４１ ３＋（-０.１４）=-0.14. 创新应用/核心素养 16.解：补充完整如下： -2 9 -1 3 2 1 5 -5 6 1.6有理数的减法 考点集训/夯实基础 1. D 161 162 第3页 2. A提示：减去一个数等于加上这个 数的相反数，1-（-1）=1+1=2. 3. D提示：按照减法计算法则计算即可. 4.解：（1）原式=（-3）+（-7）=-10； （2）原式= 1 ３ + 1 2 = 5 6； （3）原式=4.5-5.75=4.5+（-5.75）=-1.25； （4）原式=5.6+（+4.8）=10.4. 5. D提示：用最高温度减去最低温 度， 10-（-4）=10+4=14（℃）. 6. 91提示：点 B比点 A高 54-（-37）= 54+37=91（m）. 7.解：因为 -734＞ -643，-734＜-643， 所以乙矿工离地平面比较近；（-643）- （-734）=-643+734=91（m），近 91 m. 8. C提示：a-b=-2-（-6）=-2+6=4. 9． D提示：因为 x＝7， y＝3，所以 x＝ ±7，y＝±3，因为 x＞y，所以 x＝7，y＝3或 x＝ 7，y＝-3，所以当 x＝7，y＝3时，y-x＝-4； 当 x＝7，y＝-3时，y-x＝-10，即 y-x=-4 或-10. 综合检测/巩固排查 10. D提示：- 1 2 -1=- 1 2 +（-1）=- 3 2 . 11. C提示：21-28=21+（-28）=-7（℃）． 12. C提示：（-x）-（-y）=（-x）+y． 13. A提示：因为 a＞0，b＜0，-b＞0，所以 a-b=a+（-b）＞0. 14. B提示：减数为负数，相当于加上 一个正数，即差比被减数大． 15. -2提示：因为-2-（-3）=-2+3=1， 所以（-2）*（-3）=-2． 16．π-6提示： 2π-6 -π＝2π-6-π＝π-6. 17． 7提示：根据题意得 a＝3，b＝-4，则 原式＝3-（-4）＝3+4＝7. 18. -2提示：［-2.4］-［-0.6］=-3-（-1）= -3+1=-2. 19.解：（1）由数轴知 A，B两点间的距离 是 4； （2）由数轴知 B，D两点间的距离是 5； （3）数轴上两点间的距离等于这两点 所表示的数的差的绝对值. 20.解：（１）A处比 B处高６.７－（－４.３）＝ ６.７＋４.３＝１１（m）； （２）因为－４.３＞－１４.６，所以Ｂ处高. －４.３－（－１４.６）＝－４.３＋１４.６＝１０.３（m）， 则 B处比 C处高 10.3 m； （３）因为６.７＞－１４.６，所以Ｃ处低， ６.７－（－１４.６）＝６.７＋１４.６＝２１.３（m），则 C 处比 A处低 21.3 m. 21. A 22. A 23. C提示：用最高温度减去最低温度 即每天的温差.星期一的温差是 10- 3=7（℃），星期二的温差是 12 -0 = 12（℃），星期三的温差是 11-（-2）= 13（℃），星期四的温差是 9-（-3）= 12（℃），通过比较可得星期三的温 差最大，为 13℃. 创新应用/核心素养 24.解：（1）第一次操作后增加的新数是 6，-1，则 6+（-1）=5； （2）第二次操作后所得的新数串比第 一次操作后所得的数串增加的所有 新数之和为 3+3+（-10）+9=5； （3）猜想：第一百次操作后得到的新 数串比第九十九次操作后所得的数 串增加的所有新数之和为 5． 1.7有理数的加减混合运算 考点集训/夯实基础 1. B 2. B提示：第一项不能读作减 17. 3. B提示：A，C，D选项正确；B．原式= 3 7 -3- 3 7 +5，本选项错误，符合题意. 4. 7-3+2-5正 7，负 3，正 2，负 5的 和 7减 3加 2减 5 5. C提示：-5+15-（-25）=35. 6. -5提示：2-（-1）+（-5）-3=-5. 7. 67.6 cm提示：根据题意得 62.6- （8-7-9+3）=62.6+5=67.6（cm）. 8.解：（1）10-24+（-15）-（-26）-（+42）+18 =10+（-24）+（-15）+26+（-42）+18 =（10+26+18）+（-24-15-42） =54+（-81） =-27； （2）＋6 2 5 5 '＋－ 1 510 '－11 1 5 ＝＋6 2 5 5 '＋－ 1 510 '＋－11 1 5 5 ' ＝＋6 2 5 5 '＋－ 1 10＋１１ 1 55 5 '$ ＝＋6 2 5 5 '＋－11 3 5 10 ' ＝－４ 9 10 . 9. B 10. -4提示：-5 3 4 + +2 3 5 7 '+ -1 1 5 4 ' - - 4 57 '=-5 3 4 + 17 7 - 5 4 + 4 7 = -5 3 4 - 5 5 4 '+ 17 7 + 4 5 7 ' =-7+3 =-4. 综合检测/巩固排查 11． D提示：计算 1-3+5-7+9＝（1+5+ 9）+（-3-7）是应用了加法交换律与 结合律． 12． A提示：- 1 5 -5- -2 1 5 5 '=- 1 5 -5+ 2 1 5 = - 1 5 +2 1 5 5 '-5=2-5=-3. 13． C提示：原式= 1 3 + - 1 54 '+ - 3 54 '+ + 2 53 '= 1 3 - 1 4 - 3 4 + 2 3 . 14． B提示：原式= 1 8 + - 3 54 '+4 5 8 = 1 8 +4 5 5 8 '+ - 3 54 ' ＝4 3 4 - 3 4 ＝4. 15． B提示：原式＝（-2）+（-3）+（+5）+ （-4）. 16. -9提示：12-18+（-3）＝-6-3＝-9． 17. 105提示：设收入为正，支出为负， -150 +300 -210 +150 -65 +80＝（-150 - 210-65）+（300+150+80）＝-425+530＝ 105（元）. 18. 1，0提示：当输入-1时，输出的结 果为-1+4-（-3）-5＝-1+4+3-5＝1；当输 入-2时，输出的结果为-2+4-（-3）- 5＝-2+4+3-5＝0． 19.解：（1）原式=- 3 2 - 5 4 - 5 2 +3 3 4 + 5 4 + 4= - 3 2 - 5 5 2 '+ 5 4 - 5 5 4 '+3 3 4 +4 =-4+0+3 3 4 +4 =3 3 4； （2）原式=-0.6+0.4-0.08-0.92-2 5 11 + 2 5 11 =-1.2+0 =-1.2. 20.解：（1）因为 a的相反数是 3，所以 a=-3；因为 b＜a，b的绝对值是 6，所 以 b=-6；因为 c+b＝-8，所以 c=-2； 综上所述a＝-3，b＝-6，c＝-2； （2）因为 a＝-3，b＝-6，c＝-2， 所以 8-a+b-c ＝8-（-3）+（-6）-（-2） ＝8+3+（-6）+2 ＝7． 21． B 22. -3提示：晚上的温度是 - 2 + 6 + （-7）=-3（℃）. 创新应用/核心素养 23. 17 085提示：23 125=20 000-3 000+ 100-20+5=17 085. 专题集训二有理数加减法的 运算技巧及实际应用 1.解：（1）原式=［3+（-3）］+［（-7）+4］=0+ （-3）=-3； （2）原式= 1 2 - 1 5 2 '+ 4 5 + - 2 3 - 1 5 3 ' =0+ 4 5 -1=- 1 5 . 2.解：原式=（5.6 +4.4）+（-0.9 -8.1- 0.1）=10+（-9.1）=0.9． ３.解：（１）原式＝－１０＋８１ ５＋－１３１５5５ '&＝ －１０＋（-5）=-（10+5）=-15； （2）原式=（-3.14+2.14）+（4.96-7.96） =-1-3=-4． 4.解：原式= 1 2 3 + 4 5 3 '+ -1 2 5 -3 3 5 5 '－ １=3+（-５）－１=-3． 5.解：（1）原式= 1 3×51- 1 4 + 1 4 - 1 7 + 1 7 - 1 10 +…+ 1 2 017 - 1 2 020 '= 1 3×51- 1 2 020 '= 1 3× 2 019 2 020 = 673 2 020； （2）原式= 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 + 1 5×6 + 1 6×7 + 1 7×8 + 1 8×9 =1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 8 - 1 9 =1- 1 9 = 8 9 . 6.解：（1）（+5）+（-3）+（+10）+（-8）+（-6）+ （+12）+（-10）=（5+10+12）-（3+8+6+ 10）=27-27=0. 答：守门员最后回到了球门线的位置； （2）由观察可知：5-3+10=12（m）． 答：在练习过程中，守门员离开球门 线最远距离是 12 m； （3） +5 + -3 + +10 + -8 + -6 + +12 + -10 =5+3+10+8+6+12+10= 54（m）． 答：守门员全部练习结束后，他共跑了 54 m． 1.8有理数的乘法 第一课时有理数的乘法法则 考点集训/夯实基础 1． B提示：原式＝-（2×3）＝-6. 2． D提示：根据两数相乘，同号得正， 异号得负，任何数同 0相乘，仍得 0， 可知符合条件的只有 D选项. 3.＜提示：两数相乘，异号得负，所以 ab＜0. 4. -18提示：取-3和 6，所得积最小， 最小的积为（-3）×6＝-18． 5.解：（1）原式＝11.1； （2）原式＝-（5.6×1.2）＝-6.72； （3）原式＝+（3.48×0.7）＝2.436； （4）原式=0. 6. C提示：-2 023的倒数是- 1 2 023． 7. C提示：±1的倒数是它本身． 8. 2提示：因为 a，b互为倒数，所以 ab＝1，所以 2ab＝2． 9. -6提示：因为 a与-3互为相反数， b与- 1 2互为倒数，所以 a＝3，b＝-2． 则 ab＝3×（-2）＝-6． 10. D提示：将每天下降 5 cm记为-5 cm， 一共下降了 4天，两数相乘即为水位 变化量，列式为（-5）×4=-20（cm）. 11. 2提示：下午 1点是 13点，从早上 6点到下午 1点经过的时间为 13- 6=7（h），水箱内下降的温度为 5×7= 35（℃），则下午 1点时水箱内的温度 为 37℃-35℃=2℃. 12. D提示：因为 x＝x， -y＝-y，所以 x≥0，y≤0，所以 xy≤0，即 x与 y的 乘积不可能是正数． 13. A提示：算式中两数相乘，异号得 负， - 1 52 '×2=-1. 综合检测/巩固排查 14. A提示：（-6）×（-1）=+（6×1）=6． 15. D提示：点 A表示的数为-3，点B 表示的数为+ 3，两数的和为 0，两 数的乘积为-9，是负数，所以选项 D 正确. 16. A提示：因为 a，b互为倒数，所以 ab＝1，即-4ab＝-4． 17. C提示：根据相反数和倒数的定 义，得-2的相反数 a为 2；2× 1 2＝1， 因此 a的倒数是 1 2． 18. B提示：因为 x＝1， y＝4，所以 x＝±1，y＝±4，因为 xy＜0，所以 x＝1，y＝ -4或 x＝-1，y＝4，当 x＝1，y＝-4时，xy＝1-（-4）＝1+4＝5；当 x＝-1，y＝4时，xy＝-1-4＝-5；综上，x-y的值为-5或 5. 19. D提示：每登高 1 km气温的变化 量为-6℃，则攀登 3 km后气温的变 化量为（-6）×3=-18（℃）. 20.＜提示：若 a，b，c三个数的乘积为 正数，则 a，b，c全部为正数或其中有 两个是负数，另外一个是正数，因为 三个数的和与其中一个数相等，所以 a，b，c中有两个是负数，另外一个是 正数，由数轴可知 a＜b＜c，所以 b＜0. 21. - 1 3提示：x2= 1 1- - 1 53 ' = 3 4，x3= 1 1- 3 4 =4，x4= 1 1-4 =- 1 3，可以发现每 3个数为一个循环周期，2 020÷3 = 673……1，所以 x2 020=x1=- 1 3 . 22.解：总收入为 30×109+6×（+6）+8× （+5）+4×0+3×（+1）+4×（-1）+5×（-2）= 3335（元）；总成本为 89×30=2 670（元）， 利润为 3 335-2 670=665（元）. 答：售完这 30件连衣裙后，赚了 665元. 23. A提示：原式=-（3×9）=-27. -734 -643 163 164 第4页 24. D提示：因为 ab＜0，所以 a，b异 号，因为 a+b＞0，所以正数的绝对值 较大. 创新应用/核心素养 25.解：（1）2+4+6+8+10=5×6=30 2+4+ 6+8+…+2n=n（n+1）； （2）①306提示：原式=17×18=306； ②原式=（2+4+6+8+…+50）-（2+4+6+ …+26）=25×26-13×14=468． 第二课时乘法运算律及多个 有理数相乘 考点集训/夯实基础 1. B提示：本题可逆用乘法分配律， 把原式转化为 3.14×（1 3.5 -15.5）= -6.28. 2. D提示：选项 A漏乘，选项 B符号 变化错误，选项 C结果应为负，选项 D正确. 3. C 4. -100 000乘法交换律和结合律 5.解：（1）原式=（-24）× 23 8 +（-24）× 5 6 = -69-20=-89； （2）原式=（100×0.01）×（14×6）=1×84= 84. 6. C 7. D提示：根据偶数个负因数的积为 正数，奇数个负因数的积为负数，几 个数相乘，如果有一个因数为 0，积 就为 0.选项 A积为负，选项 B积为 负，选项 C积为 0，选项 D中有四个 负因数，所以积为正数. 8. B提示：根据多个有理数的乘法法 则，先确定积的符号，再把绝对值相 乘，正确答案为 B. 9. 0提示：在绝对值小于 2 017的所 有有理数相乘的积中，因为同 0相乘， 所以结果为 0. 10. -1 798提示：99 8 9×（-18）= 100- 19 9 '× （-18）=100×（-18）- 1 9×（-18）=-1 800+ 2=-1 798. 11.解：原式= 1 4×（-12）- 1 2×（-12）+ 2 3× （-12）=-3+6-8=-5. 12. A 综合检测/巩固排查 13. A提示：因为 a，b，c三个因数中 只有1个负因数，所以结果为负数. 14. C提示：根据多个有理数乘法法 则，几个非 0有理数相乘，积的符号 由负因数的个数决定. 15. D提示：选项 A，B漏乘，选项 C符 号变化错误，选项 D中运用的是乘法 分配律. 16. D提示：由于 abc＞0，根据有理数 的乘法法则即可得到负因数的个数 是偶数，然后就可以作出选择．因为 abc＞0，所以负因数有 0个或 2个. 17. B提示：绝对值不大于 3的负整数 是-3，-2，-1，它们的积为（-3）×（-2）× （-1）=-6. 18.乘法分配律 19. - 21 16提示：把 x=2代入程序式得 2× - 7 98 '× 3 4 =- 21 16 . 20. 7５ -３０提示：最大的积是（-５）× （-３）×５＝７５，最小的积是（-５）×（-３）× （-２）＝-３０. 21.解：（1）原式=-3.7×（0.125×8）=-3.7× 1=-3.7； （2）原式= 3 2×（-12）+ 5 4×（-12）- 17 6× （-12）=（-18）+（-15）-（-34）=1. 22.解：（1）小杨的解法较好； （2）19 17 18×（-9）= 20- 19 18 '×（-9）= 20×（-9）- 1 18×（-9）=-180 + 1 2 = -179 1 2 . 23． D提示：原式= 3 2× 13 4× 2 3 = 13 4． 24. 4提示：因为 P! =P（P-1）（P-2）×…× 2×1=1×2×3×4×…×（P-2）（P-1）P， 所以 m! =1×2×3×4×…×（m-1）m= 24，因为 1×2×3×4=24，所以 m=4． 创新应用/核心素养 25. 256提示：观察图可知，这 7个数， 有的被乘了1次，2次，3次．要使得每 个圆内部的 4个数之积相等且最大， 所以-8，-8必须放在被乘两次的位 置．与-8，-8同圆的只能为-1，-4，其 中-4放在中心位置，如图： -2 -8 -4 -4 -1 -8 -2 即 m最大值为（-8）×（-8）×（-1）×（-4）＝ 256. 阶段小测（1.5、1.6、1.7、1.8） 1. A提示：-3-（-2）=-3+2=-1. 2. A提示：-5+8=3（℃）. 3 . D提示：原式=- 100+ 19 5 '×（-5）= 100+ 19 5 '×5 =100×5 + 1 5×5 =500 +1 = 501. 4. D提示：0的相反数是 0，0×0=0．非零 的数与它的相反数相乘，结果一定 是负数.故 D选项错误. 5. B提示：A.原式=-3 1 2 + 1 2 =-3，错 误；B.原式=-2，正确；C.原式=-1，错 误；D.原式=8，错误. 6. C提示：多个非零有理数相乘，积的 符号由负因数的个数决定，负因数 有奇数个时，积为负；负因数有偶数 个时，积为正.乘法中因数有 0时结 果为 0. 7. A提示：A.（-9）+（+5） = -4 =4， 此选项正确；B．（+9）-（-5） = 9+5 = 14，此选项错误；C． -9 + +5 =9+5= 14，此选项错误；D． +9 + -5 =9+ 5=14，此选项错误. 8. C提示：运算中用到了乘法结合律 和乘法交换律，没有用到分配律. 9. -7 10. 3 11. 3+6-7-8 12. 2 7 13. 1提示：最大的负整数为-1，即 a 的相反数为-1，即 a为 1；绝对值最 小的正整数是 1，即 b为 1，所以 ab=1. 14.解：（1）原式= 1 3 4 + 2 9 4 '+ - 5 6 -1 19 6 '= 2 1 4 -2= 1 4； （2）原式=1- -1+ 3 7 -5+ 4 9 7 '+4=1+5+4= 10； （3）原式=-23 +63 +37 -77 =63 +37 + （-23-77）=100-100=0． 15.解：（1）原式=（-8）×（-0.125）×3.67= 3.67； （2）原式= 2 3×（-54）- 7 6×（-54）- 2 9× （-54）=-36+63+12=39； （3）原式=-4× 25+ 3 9 4 '=-100-3=-103； （4）原式=-6×（45+55）=-6×100=-600． 16.解：根据题意 a =5， b =8，得 a=±5， b=±8；由 ab＜0，知 ab异号． 即当 a=5，b=-8时，a+b=5+（-8）=-3； 当 a=-5，b=8时，a+b=-5+8=3． 故 a+b的值为 3或-3． 17.解：（1）3*（-4）=4×3×（-4）=-48； （2）（-2）*（6*3） =（-2）*（4×6×3） =（-2）*72 =4×（-2）×72 =-576. 18.解：（1）五提示：由题意得，第一次 距 A地： -3 =3（km）；第二次距 A 地：-3+8=5（km）；第三次距 A地： -3+8-9 =4（km）；第四次距 A地： -3+8-9+10 =6（km）；第五次距 A 地： -3+8-9+10+4 =10（km）；而第六 次，第七次是向相反的方向又行驶了 共 8 km，所以在第五次记录时距 A地 最远； （2）根据题意，得-3+8-9+10+4-6-2= 2（km）. 答：收工时距 A地 2 km； （3）根据题意得，检修小组走过的路 程为： -3 + +8 + -9 + +10 + +4 + -6 + -2 =42（km），42×0.3×7.2=90.72（元）. 答：检修小组工作一天需汽油费 90.72元. 19.解：（1）如下图，点 O表示超市，点 A 表示小李家，点 B表示小张家，点 C 表示小陈家； C O A B -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 （2）从图中可看出小陈家距小李家8 km． 答：小陈家距小李家 8 km； （3）0.5×（ +3 + +1.5 + -9.5 + -5）=0.5×19=9.5（L）． 答：这辆货车共耗油 9.5 L． 1.9有理数的除法 考点集训/夯实基础 1. A 2. C提示：根据两数相除，同号得正， 所以两数同为正或同为负，又因为两 数之和为负，所以这两个数都是负数. 3. B提示：被除数÷商=除数，（-4）÷ 2=-（4÷2）=-2. 4. C提示：A.2÷（-1）=-2，此选项错 误；B（. -3）÷（-6）= 1 2，此选项错误； D（. -1）÷2=- 1 2，此选项错误；C.1÷ - 2 99 '=- 1× 9 9 2 '=-4.5，此选项正确. 5. 11 108提示：原式＝ 4 12 + 9 12 - 2 9 12 '÷ 9= 11 12÷9= 11 12× 1 9 = 11 108 . 6.解：（1）原式=+ 20÷ 10 9 3 '=20× 3 10 =6； （2）原式=0； （3）原式=-（15÷5）÷ -1１ 9 5 '=（-3）÷ - 6 95 '=（-3）× - 5 96 '= 5 2； （4）原式=5１ 3÷ -3 3 9 4 '=１6 3× - 4 915 '= - 64 45 . 7. 10 30提示：60÷2=30（mg）， 30÷3=10（mg）. 8. 95.1提示：平均成绩为（-2+3+0+1+ 5-3+4+0-1+4）÷10+94=95.1（分）. 9. C提示：原式=-1×2=-2. 10. 14 9提示：原式= - 7 92 '÷ - 3 92 '× 2 3 = - 7 92 '× - 2 93 '× 2 3 = 14 9 . 综合检测/巩固排查 11. B提示：6÷（-3）=-（6÷3）=-2． 12.Ａ提示：两数相乘大于０，则两数 同号，同号两数相除大于 0. 13.Ｄ提示：两个不为０的有理数相 除，交换它们的位置商不变，则两数 绝对值相等，则这两个数相等或互为 相反数. 14. C提示：分别进行计算即可，正确 的是 C. 15.＜提示：因为ｂ＞０，－ａ＜０，所以 ｂ －ａ＜０. １6.－１９ ６提示：１ ３６－（－６）$÷ １ ３６ ×（－６）&＝ － 19 6 . １7.－2提示：根据绝对值的意义可知， ｘ＋６＝０，３－ｙ＝０，则ｘ＝－6，ｙ＝３， x y = -6 3 = －2. 18.解：（1）原式＝0.33×3× 1 9 =0.11； （2）原式= 7 24÷ - 7 98 '= 7 24× - 8 97 '= - 1 3 . 19.解：（2塄7）塄7= - 192 '÷ 7６ 2 &塄7= - 197 '塄 7=7÷ 7 2 =2. 20.解：根据题意，从２０19年初到２０22 年底，共４年时间. 每年用去天然气４０÷４＝１０（亿立方米）， 共可节约煤３００×４＝１２００（万吨）. 平均每年用去１０亿立方米天然气， 少燃煤１２００万吨. 21. B 22. D 创新应用/核心素养 23.解：小彩灯的排列方式是 4个一循环， 126除以 4的余数是 2，所以 126号 的位置与2号的位置一样；色彩模 式是 3个一循环，126÷3＝42，能整除， 所以 126号的色彩与0号的色彩一 样．如图所示． 126R 127G 128B 1.10有理数的乘方 考点集训/夯实基础 1.（1）-4 5负 4的 5次幂（或负 4的 5次方）（2）4 5负的 4的 5次 幂（或负的 4的 5次方） ２.Ｂ ３.Ｂ提示：本题中底数为２，指数为４， 165 166 第5页 表示４个２相乘，负号是幂的符号. ４.（-1）5５－１ ５.１００个－５相乘 6. 1 -1提示：（-1）10是-1的 10次 方，10个-1相乘等于 1，-110是 1的 10次方的相反数，10个 1相乘的相反 数等于-1. 7. D提示：负数的偶次幂是正数. 8. D提示：②③⑤⑥正确，正确的有 4个. 9. A提示：A选项中，（-3）2 =9，-32 =-9， 故 A中两式不相等；B选项中，（-3）2 = 9，32 =9，故 B中两式相等；C选项中， （-2）3 =-8，-23 =-8，故 C中两式相等； D选项中， -2 3 =8， -23 =8，故 D中 两式相等. 10. B提示： -２２ ，（-1）5的结果都是负 数，共 2个. 11.解：（１） - 122 '3 =- 1 8；（２）-22 3 =- 4 3； （３）（-1）2 022 =1. 12. C提示：-22的底数为 2. 综合检测/巩固排查 13. C提示：选项 A，23表示 3个 2相 乘，故 A错误；选项 B，任何一个非 0 有理数的偶次幂是正数，故 B错误； 选项Ｃ，－３２ ＝－９，（－３）２＝９，9与-9互 为相反数，正确；选项 D，- 1 2的立方 代表 3个- 1 2相乘，负数的奇次幂是 负数，故 D错误. 14. A提示：根据有理数的乘方法则， 可知（-1）2 023 =-1，所以-（-1）2 023 =1． 15. A提示：22 +22 +22 +22 =4×22 =2×2×2× 2=24 . 16. B提示：（－０.４）２＝０.１６；（－０.４）３＝ －０.０６４；（－０.４）４＝０.０２５６，则（－０.４）２ ， （－０.４）３ ，（－０.４）４的大小顺序是（－０.４）２ ＞ （－０.４）４ ＞（－０.４）３ . 17. B提示：根据题意得，a-1=0，b-2= 0，解得 a=1，b=2，所以，（a-b）2 018 =（1- 2）2 018 =1． 18. -1提示： x，y互为倒数，则 xy= 1，故（-xy）2 017 =（-1）2 017 =-1. 19. 1 -1 -1提示 : m为正整数，则 2m为偶数，2m+1为奇数，根据有理数 乘方的运算法则，即可判断它们的值. 20.４９或９提示：因为ｍ－ｎ＝ｎ－ｍ，所 以ｍ－ｎ≤０，ｍ≤ｎ，又因为ｍ＝５，ｎ＝ ２，所以ｍ=-5，n=2或-2，当 m=-5，n=2 时，（m-n）2=49，当 m=-5，n=-2时， （m-n）2 =9. 21.解：（1）（－４）３ ＝－６４；（２）－ 3 4２＝－ 3 16； （３）１ 125'２ ＝ 36 ２５；（４）（－５＋４）２０21 ＝－１. 22.解：５个小时共有１０个３０ min，这 种细胞共分裂１０次，第１个３０ min 分裂成２１ ＝２（个），第２个３０ min分 裂成２２ ＝４（个），第３个３０ min分裂 成２３ ＝８（个）……则第１０个３０ min 分裂成２１０ ＝１０２４（个），即经过５ h这 种细胞由 1个分裂成１０２４个. 23.解：第 1次剩下原长的 1 2， 第 2次剩下原长的 1 22 '2 ，…， 第 6次剩下原长的 1 22 '6 = 1 64， 所以剩下的木条长度为 3× 1 64 = 3 64 （m）． 24. B提示：（-1）2 =1. 25. C提示：根据题意得 a=±1，b=-2； 当 a=1时，a+b=1+（-2）=-1；当 a=-1 时，a+b=-1+（-2）=-3. 创新应用/核心素养 26. A提示：①在 25的“分解”中，最大 的数是 25-1 +1=17，最小的数是 15，所 以此叙述正确； ②在 42的“分解”中最小的数是 1，则 其他三个数为 3，5，7，四数的和为 16，恰好为 42 ，所以此叙述不正确； ③若 m等于 5，由 5“3分解”的数是 21， 23，25，27，29，最小的数是 21，所以 此叙述错误. 故正确的有①，有 1个． 1.11有理数的混合运算 考点集训/夯实基础 1. B提示：3-（-2）3 =3-（-8）=11. 2. C提示：若 n为奇数，则 n+1为偶数， （-1）n +（-1）n+1 =（-1）+1=0；若 n为偶 数，则 n+1为奇数，（-1）n +（-1）n+1 =1+ （-1）=0. 3. - 5 4提示：原式=0- 5 4 =- 5 4 . 4. -36 -１提示：当 x+1 -62的值最 小时， x+1 =0，x=-1， x+1 -62 =-36， 此时 x101 =（-1）101 =-1. 5. 82提示：根据题意得原式=（-8）2 + 17+1=64+18=82. 6.解：（1）原式=18+32÷（-8）-16×5=18- 4-80=-66； （2）原式=-2× 1 4 -23 + 1 2 =-2× 1 4 -8+ 1 2 =- 1 2 -8+ 1 2 =-8. 7.解：根据题意得 25+［（-2）×3+（-1.5）× 4+（-1）×2+0×2+2×2+2.5×6+3×1］÷ 20=25+0.4=25.4（kg）. 答：这 20筐白菜的平均质量是 25.4 kg. 8. C提示：原式=4×44 =4×4×4×4×4=45 . 9.解：原式=4× 1 4 =1. 综合检测/巩固排查 10. B提示：原式＝（－９）５ ＝－95 . 11. C提示：选项 A结果为负，选项 B 结果为负，选项 C结果为正，选项 D 结果为负. 12. D提示：原式=０-210 =-210 . 13. D提示：先算乘除后算加减，12-7× （-32）+16÷（-4）=12+7×32-16÷4=12+ 224-4=232． 14.Ｂ提示：［２１－（－３９）］÷６×１＝１０（km）. 15. 2 5提示：根据偶次幂的意义，（ａ－ ２）２ ≥0，所以当 a-2=0时，即 a=2时， 原式的值最小，最小值是 5. 16.０提示：（-１）２m =1，原式= 3 4×（1-1）× 100= 3 4×0×100=0. 17. 12提示：根据题意，得（-3）2 -（-2）+ 1=9+2+1=12. 18.解：（1）原式=-1- 1 6 ×（２－９） ＝-1- 1 6 ×（-7）=-1+ 7 6 = 1 6； （2）原式=5×（-4）-5× - 2 25'+2×4=-20+ 2+8=-10； （3）原式= 7 9 - 5 6 + 7 2 36 '×36= 7 9 ×36- 5 6 ×36+ 7 36 ×36=28-30+7=5. 19.解：根据题意列式得 ２３ ×５００＋（＋１.５）×１０００＋（－３）×１０００+ ［-（－２）×５００］ ＝４０００＋１５００－３０００＋１０００ ＝３５００（元）. 所以投资者赚了，赚了 3 500元. 20. - 2 3提示：原式= - 2 6 - 3 2 6 '× 4 5 = - 5 6 × 4 5 =- 2 3 . 21. A 22. B提示：2019年全年国内生产总 值为：90.3×（1 +6.6%）=96.259 8（万 亿），2020年全年国内生产总值为 96.259 8×（1+6.6%）≈102.6（万亿）. 创新应用/核心素养 23.解：根据题意，得 ①2×（3+4+5）=24；②4×（3+5-2）=24； ③52 +3-4=24；④42 +3+5=24；⑤24 +3+ 5=24；⑥25 ÷4×3=24（任取四个即可）． 专题集训三有理数的混合运算 1. B提示：原式=1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 2 016 - 1 2 017 =1- 1 2 017 = 2 016 2 017． 2. B提示：1+ + 425'- + 2 23 '- - 125'- +1 12 3 '＝１＋ 4 5－ 2 3＋ 1 5－1 1 3＝ 14 5 + 12 5'+ - 2 3 -1 12 3 '． 3.Ｄ提示：设“☆”表示的数是ｘ，根据 题意得－２＋ｘ－（－６）＝１０，整理得 ｘ－２＝４，即ｘ－２＝４或－４，解得ｘ＝６ 或－２． 4.解：原式＝-14 2 3 +11 2 5 -14+12 2 3 -11 2 5 = -14 2 3 +12 2 2 3 '＋ 11 2 5 -11 2 2 5'-14＝ －2-14＝－16. 5.Ｃ 6.Ｄ提示：因为ａｂｃ＜０，所以ａ，ｂ，ｃ 同时小于０，或者有一个小于０，另外 两个大于０，当ａ，ｂ，ｃ同时小于０时， ａ ａ＋ b b＋ c c＋ａbc ａbc＝-1+（-1）+ （-1）+（-1）=－４； 当ａ，ｂ，ｃ有一个小于０，另外两个大 于０时，ａ ａ＋ b b＋ c c＋ａbc ａbc＝０. 7.２提示：根据题意得－３☆２＝（-3）2 + 2×（-3）=９－６＝３，则（－３☆２）★（－１）＝ ３★（－１）＝（-1）3 -3×（-1）=－１＋３＝２． 8.解：（１）原式＝ 1 4÷ - 128 '－１ 1 8×２４＋ ３ 3 4×２４－１ 1 3×２４＝－２－2７＋９０－３２＝ 2９； （２）原式＝－２５－［－８＋（１－０.６）÷２］＝－２５－ （－８＋０.４÷２）＝－２５－（－８＋０.２）＝－２５＋ ７.８＝－１７.２. 9.解：（１）因为 2，－４，８，－１６，３２，－６４……① 所以２＝２１ ，－４＝－２２ ，８＝２３ ，－１６＝－２４ …… 所以第①行第８个数为－２８ ＝－２５６； （2）因为４，－２，１０，－１４，３４，－６２…都比 第①行对应的数大２， 所以第②行第８个数为-256+2=－２５４； （3）因为１，－２，４，－８，１６，－３２……③ 第③行是第①行对应数的 1 2， 所以第③行第８个数为-256× 1 2 =－１２８. 阶段小测（1.9、1.10、1.11） 1. C提示：22 =4，故原式=-4+3=-1. 2. B 3. A提示：因为两个有理数的和除以 它们的积，所得的商为零，所以这两 个有理数的和为 0，且它们的积不为 0，所以这两个有理数互为相反数但 不等于零. 4. D提示： - 3 24'÷（-2）= - 3 24'× - 122 '= 3 8 . 5. B提示：由 a＜3，且3-a = -5，可 得 3-a=5，所以 a=-2，所以 a3 =（-2）3 = -8，-8的倒数为- 1 8 . 6. C提示：依题意知，刀鞘数为 7×7× 7×7×7×7=76 ． 7. D提示：根据 a（b+c）=ab+ac可知 该式的计算运用了分配律. 8. A提示：若 a1=2，则 a2=1- 1 2 = 1 2， a3=1-2=-1，a4=1-（-1）=2……这列数 的周期为 3，因为 2 017=3×672+1，所 以 a2 017=2. 9. 6 -4提示：（-2）÷ - 123 '=-2×（-3）= 6；-（-2）2 =-4. 10. 1 4提示：原式=- 1 12 + 1+ 12 3 '÷ 4 = - 1 12 + 4 3× 1 4 =- 1 12 + 1 3 = 1 4． 11. - 1 6提示：由 x与 y互为倒数，得 xy=1，所以- xy 6 =- 1 6 . 12. 0.7提示：因为被除数是-3 1 2，除 数比被除数小 1 1 2，所以除数为-3 1 2 - 1 1 2 =-5，所以商为-3 1 2÷（-5）=0.7． 13. 2提示：由题意可知，输出的结果 为［2×3+（-2）2 ］÷5=（6+4）÷5=10÷5=2. 14. - 4 3提示：依题意得 p=- 4 3，m+n= 0，所以 p+m+n=- 4 3． 15.解：（1）原式=-8-2=-10； （2）原式= 1 2 + - 122 '+ - 2 23 '=- 2 3； （3）原式= - 6 25'× - 2 3 + 17 2 3 '=- 6 5× 5=-6； （4）原式=24+18-24=18； （5）原式=-4+4+1× - 126 '× 1 6 -1=- 1 36 - 1=- 37 36 . 16.解：由题意得，a+b=0，cd=1，m=-1， 则原式=-1+1+02 =0. 17.解：（-2）☆5=（-2）×52 -2×（-2）×5+ （-2）=-50+20-2=-32. 18.解：根据题意得［-2-（-28）］÷4=（-2+ 28）÷4=26÷4=6.5（h）. 需要 6.5 h才能降到所需温度． 19.解：（1）星期三小明跑了： 1 000-100=900（m）； （2）最少的一天跑了： 167 168 第6页 1 000-330=670（m）， 跑得最多的一天比最少的一天多跑 了 460-（-330）=790（m）； （3）本周内小明用于跑步的时间： ［（420 + 460 - 100 - 210 - 330 + 200）+ 1 000×7］÷100=74.4（min）． 1.12计算器的使用 考点集训/夯实基础 1. A 2.平方运算 6 x2 = 3. D提示：根据按键顺序可知，对应的 算式为-24 +1. 4.解：按键顺序是（ 2 ab /c 5 - 1 ab /c 5） × 5 =，显 示结果为 1，所以 2 5 - 1 5 5 '×5=1. 综合检测/巩固排查 5. A提示：根据题意可知计算 92 +33 ， 结果为 108. 6. D提示：A.用计算器进行运算时的 按键顺序一般与书写的顺序相同或 类似，故本选项错误；B.选项中的按 键顺序能计算出 32 ×2-（-2）+（-2）× 3的值，故本选项错误；C.输入 0.23 的按键顺序是 0· 2 3，故本选 项错误；D.正确. 7. 10提示：用计算器计算 3 x2 =结 果为 9，把 9输入题图的程序中，则 为 9÷3-1=2，结果大于 1，所以原式= 2×（3+2）=10. 8. 7提示：从最大的 1 10开始，从大到 小逐个求和，即 1 10 + 1 11 +…，当它们 的和大于 0.5时，停止.统计一下，用 了 7个数. 9. B 创新应用/核心素养 10.解：答案不唯一，操作步骤如下：21 黄键↓去尾数 2红键↓加倍 4 红键↓加倍 8红键↓加倍 16 红键↓加倍 32黄键↓去尾数 3 提示：先理解题意，起始的数字是21， 对它进行乘 2，或去尾处理若干次（不 超过 6次）后变成 3，因为 3是奇数， 所以最后一步无法通过乘 2来获得， 只能去尾数得出 3. 第二章几何图形的初步认识 2.1从生活中认识几何图形 考点集训/夯实基础 1. C 2. A 3. D 4. A提示：正方体、圆柱、圆锥的各部 分不都在同一平面内，它们是立体图形. 5.圆柱圆锥球正方体长方体 六棱柱 6. D提示：A.圆锥、球是立体图形，不是 平面图形，故 A错误；B.圆柱是立体 图形，不是平面图形，故 B错误；C.长 方体、圆柱、棱锥、球都是立体图形， 故 C错误；D.角、三角形、正方形、圆 都是平面图形，故 D正确. 7. A提示：根据图形可得组成这个标志 的几何图形有长方形、圆． 8.①②④⑤⑥⑧③⑦⑨ 9. C提示：A.圆柱由上下两个平面和 侧面一个曲面围成；B.圆锥由侧面一 个曲面和底面一个平面围成；C.球 由一个曲面围成；D.正方体由六个 平面围成． 10.（1）6 12直8 （2）3 2 1 2曲 11.解：第一个图由9个面组成，都是平 面，面与面形成的线有 17条，线与 线相交形成的点有 10个；第二个图 由3个面组成，底面是平面，上下两 个侧面是曲面，面与面形成的线有 2 条，线与线相交形成的点有 1个. 12. D 综合检测/巩固排查 13. C 14. C 15. A提示：要明确棱柱和棱锥的组成情 况，棱柱有两个底面，棱锥有一个底面． 四棱锥由一个底面，四个侧面组成. 16. A提示：B项，圆柱由三个面围成； C项，长方体的面可以有两个相对的 面是正方形；D项，球是由一个面围 成的立体图形. 17. C提示：仔细观察认真分析可知 立体图形有上下两个平面，侧面是一 个平面和一个曲面，共有 4个面；面 与面相交的地方形成线．上面是一条 曲线，一条直线，侧面是两条直线，下 面是一条曲线一条直线，共有 6条线． 18. C提示：长方形绕它的一条边旋转 一周形成一个圆柱体. 19.③⑤⑥提示：根据立体图形的概 念和定义对各选项进行分析可得① ②④属于平面图形，③⑤⑥属于立体 图形． 20.点动成线线动成面面动成体 提示：雨点可以看作点，所以可以解 释为点动成线；折扇的边可以看作线， 所以可以解释为线动成面；一个圆面 是面，所以可以解释为面动成体. 21.四棱柱圆柱长方体圆锥 22.（2）（6）提示：根据立体图形的 概念和定义可知（1）和（3）有 6个面， （2）有 3个面，（４）有一个面，（5）有 2 个面，（6）有 4个面. 23. 2n n n+2 3n n提示：棱柱有 两个底面，所以底面边数为 n时，那 么这个棱柱的顶点有 2n个，侧面有 n 个，面有（n+2）个，棱有 3n条，侧棱有 n条． 24. a d e c b 25.解： 铅球易拉罐鞋盒一堆沙子 圆柱长方体圆锥球 26.解：（1）②6 9 5③8 12 6 ④8 13 7⑤10 15 7 （2）顶点数-棱数+面数=2； （３）10 15 7相符提示：画图如 下，答案不唯一，下图顶点数是１０，棱 数是１５，面数是７，１０-１５+７＝２，与 （２）中数量关系相符. 27. C 28. 16提示：若新几何体与原正方体的 表面积相等，最多可以取走 16个小 立方块，只需留 11个，分别是正中心 的 3个和四角上各2个，如下图所示. 创新应用/核心素养 29.（1）8 12 1 （2）8（n-2）3提示：根据正方体的 棱三等分时三面涂色的有 8个，有 1 个是各个面都没有涂色的；正方体的 棱四等分时三面涂色的有 8个，有 8 个是各个面都没有涂色的；所以正 方体的棱n等分时，三面涂色的有 8个，有（n-2）3个是各个面都没有涂 色的. 2.2点和线 考点集训/夯实基础 1. C 2. D提示：A项，射线AB以点 A为端 点，射线BA以点 B为端点，因此它 们不是同一条射线；B项，直线没有 端点，本身就向两边无限延伸，因此 不存在延长一说；C项，一条直线可 以用一个字母表示，也可以用两个字 母表示. 3.两一没有 4.直线l直线AB直线BA 5. 3线段 AB，AC，BC 4射线AB 和射线BA 6. A 7．两两点确定一条直线 8.解：（1）如下图： l C （2）如下图： Q A B D C （3）如下图： b A a c B （4）如下图： A B C D P 9. B提示：线段有 AD，AE，DE，AB，AC， BD，EC，BC，共 8条. 10. D提示：线段可以向两边延长，故 D 错误. 综合检测/巩固排查 11. B提示：数轴是一条直线. 12． B提示：选项 A，C，D正确，选项 B，射线与直线的长度不可测量,故 B 错误. 13． A提示：根据射线的表示方法可 知射线ＡＢ和射线ＢＡ表示的不是同 一条射线，故 A错误；选项 B，C，D 正确. 14． D提示：A中射线的延伸方向不 会与线段相交；B中直线的延伸方 向不会与线段相交；C中射线的延 伸方向不会与直线相交. 15. 4提示：平面内三条直线两两相交， 最多有 3个交点，最少有 1个交点， 故和为 4. 16. 0或1提示：当三点在同一条直 线上时，经过这三点可以画一条直 线；当三点不在同一条直线上时，经 过这三点不能画出直线. 17. 6提示：画出图形，根据线段的定 义：直线上两个点和它们之间的部分 叫做线段得出结果．如图所示：任意找 到两点，即可得出线段：AC，AB，BC， PA，PB，PC，共 6条． A C B P 18.（1）外 （2）上AC BD （3） 4线段 AB，BC，BO，BD 19.解：如图： A C B P l 20.解：（1）图中共有线段 4+3+2+1= 10（条）； （2）五个人相当于一条直线上的五个 点，由题（1）可知共握手 10次； （3）在每两个站点之间往返需要两种 车票，故需要准备车票 2×10=20（种）. 21. C提示：利用线段的定义进行判 断，图中有线段 AB，BC，AC，共 3条. 创新应用/核心素养 22.解：直线的交点最多时，每两条直线 都相交，有 n条直线时，和每条直线 相交的交点一定是（n-1）个，所以 n 条直线相交最多有交点 1 2 n（n-1） 个，8条直线相交最多有交点 1 2×8× 7=28（个）. 2.3线段的长短 考点集训/夯实基础 1. A 2.③④③＞②＞①＞④提示：可用度 量法比较. 3.（1）＜（2）＜（3）AB＜AC＜BC 4.解：作图如下： ）） A B O a a 线段 AB即为所求. 5. D提示：两点之间的距离是指连接 两点的线段的长度. 6. C提示：因为两点之间线段最短，把 弯曲的河道改直，能够缩短航程. 7.（2） 8. 6或12提示：当点 C在线段 AB上 时，AC=AB-BC=9-3=6（cm）；当点 C 在 AB的延长线上时，有 AC=AB+BC= 9+3=12（cm）. 综合检测/巩固排查 9.Ｂ 10. C提示：由图可知，a，b路线长度 相等，由两点之间线段最短定理可知 c最短. 11.点 D在线段 AB上 12. AC BC AB BC 13. =＜ 14.＞＞＜两点之间，线段最短 提示：AB+BC＞AC，AC+BC＞AB，BC＜ AB+AC；在两点之间的所有连线中， 线段最短. 15.解：如图，作法如下： （1）在直线l上任取一点 A； （2）以点 A为圆心，a为半径画弧，交 直线l于点 B；以点 B为圆心，b为半 169 170 第7页 径画弧，交直线 l于点 C（或 C′）.线段 AB，BC（或BC′）即为所求. a b l b A C′ B C 16.解：如图所示，连接 AC，BD，两条线 段交于点 E，点 E即为所求. C B D A E 创新应用/核心素养 17.解：从 A到 B的最短路线如下图： C B A 从 A到 C的最短路线如下图（答案不唯 一）： C B A 在画点Ａ到点Ｃ的最短距离时可运 用空间想象力把前面和右面两个面 展开成一个平面，如图，此时，连接 ＡＣ，可求得最短路线ＡＣ. C A 2.4线段的和与差 考点集训/夯实基础 1. B提示：A.因为 AC+CD=AD，ABBD=AD，所以 AC + CD=AB - BD，正 确；C.AB-CD=AC+BD，正确；D.ADAC=CD，CB-DB=CD，所以 AD-AC= CB-DB，正确；B.AB-CB=AC，AD-BC 不一定等于 AC，错误. 2.解：（1）a+b画图如下： B A C a b （2）a-b画图如下： A C B a b 3. D提示：根据中点的定义可以得出 相应的答案，①②③正确，④错误. 4. 3 2 3 5. 7.5提示：因为点 O为线段 AB的中 点，所以ＯＡ＝ 1 2ＡＢ＝７.５ cm. 6. D提示：根据题意可知 D是线段BC 上一点，不一定是中点，故 CD= 1 2 BC 错误. 7. B提示：OP=AP+OB-AB=5+6-8=3. 8. A提示：AB=AC+BC，可知点 C在 线段 AB上. 9.（1）4 cm提示：ＭＮ＝ＭＣ＋ＣＮ＝１ ２ＡＣ＋ １ ２ＣＢ＝１ ２ （ＡＣ＋ＣＢ）＝１ ２×（５＋３）＝４（ｃｍ）. （2）1０ cm提示：AB=AC+BC=2AM+ 2NB=1０ cm. 10. 12 cm提示：AC =AB +BC =3AB = 3×4=12（cm）. 11. 1或 11提示：①当点 C在线段 AB上时，如图. l A C M N B 因为 M，N分别是 AB，BC的中点， 所以 BM=１ ２ AB =6，BN=１ ２ BC =5， 所以 MN=BM-BN=1. ②当点 C在线段 AB的延长线上时， 如图. l A M B N C 因为 BM=１ ２ AB =6，BN=１ ２ B C=5， 所以 MN=BM+BN=11. 故线段 MN的长为 1或 11. 综合检测/巩固排查 12. A提示：因为 AB=CD，所以 AB+ BC=BC+CD，即 AC＝BD. 13. B提示：可以量出的长度有 2 cm， 7 cm，10 cm，7-2=5（cm），10-2=8（cm）， 10-7=3（cm），共 6个长度. 14. B提示：AD =AB +BＣ＋ＣＤ＝２ＭＢ＋ ＢＣ＋２ＣＮ＝ＭＢ＋（ＭＢ＋ＢＣ＋ＣＮ）＋ＣＮ＝ （ＭＢ＋ＣＮ）＋ＭＮ＝（ＭＮ－ＢＣ）＋ＭＮ＝ａ-ｂ+ a=2a-b. 15. 3提示：AC=AB+BC=9 cm，AC是 BC的 9÷3=3倍. 16. AB CD AD 17. 5或 11提示：根据题意，点 C可能 在线段 AB上，也可能在 AB的延长线 上.若点 C在线段 AB上，则 AC=ABBC=8-3=5（cm）；若点 C在 AB的延长 线上，则 AC=AB+BC=8+3=11（cm）. 18.解：情况一：如图所示： A M B（C） N D 因为 M，N分别为 AB，CD的中点， 所以 MB= 1 2 AB，CN= 1 2 CD， 因为 AB=10 cm，CD=4 cm， 所以 MB=5 cm，CN=2 cm， 所以 MN=MB+CN=7 cm. 情况二：如图所示： A M D N B（C） 因为 M，N分别为 AB，CD的中点， 所以 MB= 1 2 AB，CN= 1 2 CD， 因为 AB=10 cm，CD=4 cm， 所以 MB=5 cm，CN=2 cm 所以 MN=MB-CN=3 cm. 综上所述，MN的长度为 7 cm或 3 cm. 19. 4提示：因为点 D是线段 AB的中 点，点 C是线段 AD的中点，所以 AD=2CD，AB=2AD，故 AB＝4ＣＤ=4. 创新应用/核心素养 20.解：不发生变化. 如图所示： A C B D O 因为 C，D分别为 AO与 BO的中点， 所以 CO= 1 2 AO，DO= 1 2 BO， 所以 CD=CO-DO= 1 2 （AO-BO）= 1 2 AB， 所以 CD=3 cm， 所以 CD的长度不发生变化. 专题集训一线段的计算 1.解：因为 O是 AB的中点， 所以 AO= 1 2 AB=11 cm， 所以 OC=AC-AO=14-11=3（cm）. 2.解：（1）如图， A B D C （2）因为 BC=2AB，AB=4，所以 BC=8． 所以 AC=AB+BC = 4 + 8 = 12．因为 D 为 AC中点，所以 AD= 1 2 AC=6，所以 BD=AD-AB=6-4=2． 3.解：（1）6提示：图中有线段 AC， AD，AB，CD，CB，DB，共 6条线段； （2）①BC=CD+DB；②AD=AB-DB； （答案不唯一） （3）因为 C为线段 AB的中点，AB=8， 所以 CB= 1 2 AB=4，所以 CD=CB-DB= 2.5． 4. C提示：有两种情况： （1）当点 C在线段 AB上时，如图 1，AC= AB-BC，又因为 AB=18 cm，BC=8 cm， 所以 AC=18-8=10（cm），因为点 D为 AC的中点，所以 AD= 1 2 AC=5 cm； A D C B 图 1 （2）当点 C在线段 AB的延长线上 时，如图 2，AC=AB+BC，又因为 AB= 18 cm，BC=8 cm，所以 AC =18 +8 = 26（cm），因为点 D为 AC的中点，所 以 AD= 1 2 AC=13 cm． A D B C 图 2 故 AD的长为 5 cm或 13 cm． 5.解：①当点 M为靠近点 A的三等分点 时，AM= 1 3 AB，所以 AB=3AM=18； ②当点 M为靠近点 B的三等分点 时，AM= 2 3 AB，所以 AB= 3 2 AM=9. 所以线段 AB的长为 18或 9. 6.解：设 AC，BC的中点分别为 E，F，因 为 AC=8 cm，BC=3 cm， 所以 CE= 1 2 AC=4 cm，CF = 1 2 BC= 1.5 cm， 如图 1，点 B不在线段 AC上时，EF= CE+CF=4+1.5=5.5（cm）； A E C F B 图 1 如图 2，点 B在线段 AC上时，EF=CECF=4-1.5=2.5（cm）. A E B F C 图 2 综上所述，AC和 BC中点间的距离为 5.5 cm或 2.5 cm． 7.解：①如图 1，当点 C在线段 AB上时， 因为 AB=8，AC∶BC=3∶1，所以 AC= 3 3+1 AB=6； A C B 图 1 ②如图 2，当点 B在线段 AC上时， 因为 AB=8，AC∶BC=3∶1，所以 BC= 1 3-1 AB=4，所以 AC=AB+BC=12； A B C 图 2 所以线段 AC的长为 6或 12. 阶段小测（2.1、2.2、2.3、2.4） 1. D 2. D 3. D提示：点 A在线段 OB的延长线 上，故 A，C错误；点 A在射线 OB上，故 B错误；点 A在线段 BO的反向延长 线上，故 D正确． 4. C 5. C提示：正确的有（1）（2）（3），共 3个. （4）因为 A，B，C三点不一定在同一直 线上，故错误；（5）射线与直线不能比 较长短，故错误. 6. D 7. B提示：因为 AB=10 cm，BC=4 cm， 所以 AC=AB-BC=6 cm，又因为点 D 是 AC的中点，所以 AD= 1 2 AC=3 cm． 8. B提示：因为 AD=BD，C为 AD的 中点，所以 2AC=2CD=AD=BD．A.因 为 3CD=CD+BD=BC，所以 CD= 1 3 CB， 故 A正确；B.因为 4CD=AB，所以CD= 1 4 AB，故 B错误；C.BC=CD+BD=3CD， AD=2CD，AD∶BC=2∶3， AD = 2 3 BC， 故 C正确；D.3CD =AC +CD +AC = AD+AC，所以 CD= 1 3 （AD+AC），故 D 正确． 9. 4提示：平面图形有圆、扇形、等腰 三角形、直角，共 4个． 10. 4提示：根据题意画出图形，如图 所示： D A B C 因为 AC=2BC，所以 B为 AC中点，即 AB=BC，所以 DA=2AB，CD=DA+AB+ BC=4AB. 11. =提示：因为 AD=BC，所以 ADCD=BC-CD，所以 AC=BD，因为 E是 线段 AB的中点，所以 AE=BE，所以 AE-AC=BE-BD，即 CE=DE. 12. -1或 3提示：（1）当点 B在点 A的 左边时，点 B在数轴上对应的数为 2- 4=-2，因为 C为 OB的中点，所以点 C在数轴上对应的数为（-2+0）÷2=-1； （2）当点 B在点 A的右边时，点 B在 数轴上对应的数为 4+2=6，因为 C为 OB的中点，所以点 C在数轴上对应 的数为（6+0）÷2=3. 综上所述，点 C在数轴上对应的数为 -1或 3． 13. 7提示：因为 AB=BC，AB=2 cm， 所以 BC=2 cm， 所以 AC=AB+BC=2+2=4（cm）. 因为 AD=2AC，所以 AD=2×4=8（cm）. 因为 M是线段 BC的中点，N是线段 AD的中点，所以 BM= 1 2 BC= 1 2×2= 1（cm），AN= 1 2 AD= 1 2×8=4（cm）. 所以 MN=NA+AB+BM=4+2+1=7（cm）. 14. 42 5 cm提示：因为 AP∶PB=5∶2， 所以 PB= 2 5 AP = 2 5×28 = 56 5（cm）， 所以AB=AP+PB=28+ 56 5 = 196 5（cm）， 因为点 O是 AB中点，所以 AO= 1 2 AB= 98 5（cm），所以 OP=AP-AO=28- 98 5 = 42 5（cm）． 15.解：（1）这个八棱柱一共有 10个面， 其中两个底面，8个侧面；底面是八 边形，侧面都是长方形；底面的形状、 面积完全相同，侧面的形状、面积完 全相同； （2）这个八棱柱一共有 24条棱，其中 侧棱的长度都是 6 cm，其他棱长都 是 5 cm. 171 172 第8页 173 174 16.解：如图所示. A B E D F C G 17.解：（1）如图，先作射线 AM，然后依 次截取 AN=a，NB=b，则 AB为所作 线段； A N B M a b （2）如图，先作射线 CG，再依次截取 CE=EF=b，接着截取 DF=a，则 CD为 所作线段． C ED F G 18.解：因为 AD=8 cm，AC=BD=6 cm，所以 AB=AD-BD=2 cm，CD=AD-AC=2 cm， 因为 E，F分别是线段 AB，CD的中 点，所以 EA= 1 2 AB=1 cm，DF= 1 2 CD= 1 cm，EF=AD-AE-DF=6 cm． 19.解：因为点 E为 AC的中点，则 AE= EC= 1 2 AC，所以 CD+EC=DB+AE， 因为 ED=EC+CD=15 cm，所以 DB+ AE = EC + CD = ED = 15 cm，则 AB = 2ED=30 cm． 2.5角以及角的度量 考点集训/夯实基础 1. D 2． D提示：当用三个大写字母表示一个 角时，顶点字母必须放在中间位置. 3. B提示：放大镜不能改变角两边张开 的幅度，所以这个角仍然为 1°． 4. C提示：∠AOB的顶点是点 O，它 的两边是射线 OA和射线 OB，并且 它和∠BOA表示同一个角，故 A，B， D选项正确；射线 BO、射线 AO的端 点分别是 B，A，不是∠AOB的边，故 C选项错误. 5.∠AOB或∠BOA或∠O∠O∠α ∠1 6. A提示：2.36°=2°+0.36×60′=2°21′+ 0.6×60″=2°21′36″. 7. A提示：A.10.6° =10° 36′，错误； B.900″=0.25°，正确；C.1.5°=90′，正确； D.54°16′12″=54.27°，正确. 8. 87.715°提示：87° 42′ 54″ =87° 42′ + （54 ÷60）′=87°+42′+0.9′=87°+（42.9÷ 60）°=87°+0.715°=87.715°. 9.解：三个针表上时针与分针所成的角 的度数分别为 30°，0°，120°. 10. 30.16°提示：30°9′36″=30°9′+（36÷ 60）′ =30° +9′ +0.6′ =30° +（9.6÷60）° = 30°+0.16°=30.16°. 综合检测/巩固排查 11． B 12． B 13. B 14. D提示：A.83.5°=83°30′，错误； B.37°12′36″=37.21°，错误； C.24°24′24″≈24.41°，错误； D.41.25°=41°15′，正确． 15. 2 3提示：能用一个大写字母表 示的角有 2个：∠B，∠C；以 A为顶 点的角有 3个：∠BAD，∠BAC，∠DAC. 16.∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC， ∠BOD，∠COD 17.下午 3：00提示：下午时针和分针 成 90°的整点时刻是 3：00. 18.解：（1）24″=0.4′，32′+0.4′=0.54°， 则 27°32′24″=27.54°； （2）96″=1.6′，59′+1.6′=1.01°， 则 98°59′96″=99.01°. 19.解：（1）因为 0.41×60′=24.6′，0.6×60″= 36″， 所以 32.41°=32°24′36″； （2）因为 0.5×60′=30′， 所以 75.5°=75°30′； （3）因为 1 12 ×60′=5′，所以 1212 $°=5′． 20.解：以 A为顶点的角有 1个，以 B为 顶点的角有 3个，以 C为顶点的角有 3个，以 D为顶点的角有 1个．共有 8个角．它们分别是∠A，∠1，∠2，∠ABC， ∠α，∠β，∠ACB，∠BDC． 21.解：同意丽丽的观点，因为5：30时的 时针和分针的夹角为360°÷12÷2=15°， 6：30时的时针和分针的夹角也为 15°，所以丽丽的观点是正确的. 创新应用/核心素养 22.解：在∠AOB的内部引一条射线，即 3条射线能组成 3×（３-１） 2 =3（个）角；引 两条射线即 4条射线能组成 4×（4-１） 2 = 6（个）角；引三条射线即 5条射线能组 成 5×（5-１） 2 =10（个）角；引五条射线 即 7条射线组成 7×（7-１） 2 =21（个） 角；引 n条射线即（n + 2）条射线能 组成（ｎ＋２）（ｎ＋１） 2（个）角． 2.6角的大小 考点集训/夯实基础 1. D提示：叠合法比较两个角的大小， 把两角顶点和两角任意一边分别重 合，另一边都在重合边的同侧，故 D 错误. 2. C 3. A提示：因为∠A=20°18′， ∠B=20°15′30″，∠C=20.25°=20°15′， 所以∠A＞∠B＞∠C. 4. A提示：因为射线ＯＣ在∠ＡＯＢ的 内部，所以一定存在∠ＡＯＢ>∠AOC. 5.（1）=（2）＜提示：（2）因为∠1+∠2= 70°，所以∠2 =70° -∠1，所以∠3 + ∠2=∠3+（70°-∠1）=100°，所以∠3- ∠1=30°，所以∠1＜∠3. 6.解：如图所示. M N O Ａ Ｂ M′ N′ O′Ｃ 提示：①以∠MON的顶点 O为圆心， 任意长为半径画弧，交 OM，ON于点 A、点 B； ②画射线 O′M′，以点 O′为圆心，以 OA长为半径画弧，交 O′M′于点 C； ③以点C为圆心，以 AB长为半径画 弧，与已画的弧交于点 N′； ④作射线 O′N′，∠M′O′N′即为所求. 7. OP在∠MON的内部 综合检测/巩固排查 8. D提示：没有说明 BC是否与边 DE 或 EF重合. 9. B提示：48° 18′＞42° 17′ 30″，因此 ∠ M＞∠N；∠P=42.5°=42°30′，因此 ∠M＞∠P＞∠N. 10. A提示：由于∠AOB＜∠AOC，且边 OB与边 OC在边 OA同侧，因此画出 图形可知射线 OB在∠AOC内. 11.＜ = 12.∠BAC＜∠B＜∠C＜∠BAD 13. =＞ 14.解：用量角器测量知∠2>∠1，∠3＜ ∠4. 15.解：由叠合法可知∠2＞∠1，∠2＞ ∠3；由度量法可知∠3＞∠1，因此∠2＞ ∠3＞∠1. 16.解：从CD面上山.因为∠DCB＜∠ABC， 因此CD面比 AB面平缓一些. 17.解：用度量法比较可知∠A＜∠C＜ ∠B. 如图： B C A 18. C提示：如图，连接 BC，AC，BD，AD， AE，BE，在 DE上取一点 F，连接BF， AF，通过测量可知∠ACB＜∠ADB= ∠AEB＜∠AFB，因而射门点在 DE （异于端点）上时角最大，射门点在点 D右上方或点 E左下方时角度则会 更小. C D E A B F 2.7角的和与差 考点集训/夯实基础 1.（1）∠BOC∠COD （2）∠AOB∠COD∠AOB∠COD 2. 1 2∠AOB 2 2 3.解：原式=（55°+16°）+（23′+35′）=71°58′. 4.解：原式=107°87′75″-54°35′30″=（107°- 54°）+（87′-35′）+（75″-30″）=53°52′45″. 5.（1）∠CDB和∠BDF （2）∠BDF和∠BDE，∠CDF和∠CDE 6. 50 7.∠3∠2提示：∠2＋∠3＝90°，∠4＋ ∠2＝180°，故∠2是∠3的余角，∠4的 补角是∠2. 8． C 9． C提示：根据等角的补角相等可 得，∠B＝∠D. 10． 40 11. D提示：①②③正确. 12. D提示：因为∠1与∠2互补，∠1= 54°，所以∠2=180°-54°=126°. 综合检测/巩固排查 13. C提示：当射线 OC在∠AOB的外 部时，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝105°；当 射线 OC在∠AOB的内部时，∠AOC＝ ∠AOB－∠BOC＝15°. 14. B提示：先分清一副三角尺，各个 角的度数分别为多少，然后将各个角 相加或相减.利用一副三角尺可以画 出75°角，用 45°和 30°的组合即可. 15. D提示：70°角的补角=180°-70°= 110°，是钝角，结合各选项，只有 D选 项是钝角，所以，最有可能与 70°角互 补的是 D选项中的角． 16. A提示：∠AOB的补角为 180° - 165°=15°，15°的余角为 90° -15° = 75°，因此，∠AOB的补角的余角为 75°. 17. C提示：根据互余两角之和为90°， 互补两角之和为 180°，结合题意即可 得，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=90°，两 式相减可得：∠β-∠γ=90°． 18. 15提示：因为∠ABC=30°，BD是 ∠ABC的平分线， 所以∠ABD = 1 2∠ABC = 1 2 ×30° = 15°． 19. 2提示：∠EOC，∠AOE为∠COD的 余角. 20. 135提示：因为∠DOE＝90°， 所以∠AOD＋∠BOE＝90°， 又因为 OC，OF分别平分∠AOD与 ∠EOB，所以∠DOC＋∠EOF＝45°， 所以∠COF＝45°+90°=135°． 21.解：原式＝５５°５８′１１３″-１３°５′９″ ＝55°59′53″-13°5′9″=４２°５４′４４″. 22.解：因为 BE将∠ABD分成 2∶5两部 分，所以∠ABD＝ 7 2∠DBE. 又因为∠DBE=20°，所以∠ABD＝70°. 又因为 BD平分∠ABC， 所以∠ABC＝2∠ABD=140°. 23. B提示：根据互余两角之和为 90°， 可得α的余角=90°-29°45′=60°15′. 24. 110°提示：因为射线 OC平分∠DOB， 所以∠DOB=2∠COB，因为∠COB= 35°，所以∠DOB=70°，所以∠AOD= 180°-70°=110°. 创新应用/核心素养 25.解：（1）∠AOD与∠BOC互补.理由 如下：因为∠AOB，∠COD都是直角，所 以∠AOB=∠COD=90°，所以∠BOD= ∠AOD-∠AOB=∠AOD-90°，∠BOD= ∠COD-∠BOC=90° -∠BOC，所以 ∠AOD-90°=90°-∠BOC，即∠AOD+ ∠BOC=180°，所以∠AOD与∠BOC 互补； （2）∠AOD与∠BOC互补仍然成立. 理由如下：因为∠AOB，∠COD都是 直角，所以∠AOB =∠COD = 90°.因 为∠AOB +∠BOC+∠COD+∠AOD= 360°，所以∠AOD+∠COB=180°，所以 ∠AOD与∠BOC互补. 专题集训二角的计算 1. D提示：由题意知∠BOC=∠AOB+ ∠COD-∠AOD=90°+90°-170°=10°． 2.解：因为∠AOC=75°，∠BOC=30°， 所以∠AOB=∠AOC-∠BOC=75°-30°= 45°，又因为∠BOD=75°，所以∠AOD = ∠AOB+∠BOD=45°+75°=120°． 3.解：因为点O是直线AB上一点，∠AOE= 130°，所以∠BOE=180°-∠AOE=180°- 130°=50°；因为∠EOF=90°， 所以∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-50°= 40°； 又因为 OP平分∠AOE，OQ平分 ∠BOF， 所以∠POE= 1 2∠AOE=65°， ∠BOQ= 1 2∠BOF=20°， 所以∠POQ=∠POE+∠EOB+∠BOQ= 65°+50°+20°=135°． 4.解：因为∠BOC=30°，∠AOB=3∠BOC， 第9页 175 176 所以∠AOB=3×30°=90°. （1）当 OC在∠AOB的外部时， ∠AOC =∠AOB +∠BOC =90° +30° = 120°； （2）当 OC在∠AOB的内部时， ∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-30°=60°． 5.解：如图 1，OA在∠BOC外部时， 因为∠AOB=45°，ＯＤ平分∠ＡＯＢ，所 以∠BOD= 1 2∠AOB=22 . 5°，因为 ∠ BOC = 75°，ＯＥ平分∠ＢＯＣ，所以 ∠BOE= 1 2∠BOC=37.5°，所以∠DOE= ∠BOD+∠BOE=22.5°+37.5°=60°； 如图 2，当 OA在∠BOC内部时，因为 ∠AOB=45°，ＯＤ平分∠ＡＯＢ，所以 ∠BOD=22.5°，因为∠BOC=75°，ＯＥ 平分∠ＢＯＣ，所以∠BOE=37.5°，所以 ∠DOE=∠BOE-∠BOD=37.5°-22.5°= 15°． B A E C D O B A E C D O 图 1图 2 6.解：（1）因为 OC是∠AOB的平分线， 所以∠AOC = 1 2∠AOB = 1 2×60° = 30°； （2）如图所示，有两种情况： ①如图 1， E B C O A 图 1 ∠AOE =∠COE +∠AOC =90° +30° = 120°； ②如图 2， B C O A E 图 2 ∠AOE =∠COE -∠COA =90° -30° = 60°，所以∠AOE的度数为 120°或 60°； （3）∠AOE=90°+ 1 2α或∠AOE=90°- 1 2α． 阶段小测（2.5、2.6、2.7） 1. C 2. D提示：21.54°=21°32.4′=21°32′24″. 3. B提示：90°-35°=55°． 4. C提示：18°36′=18°+0.6°=18.6°，所以 ∠α=∠γ． 5. B提示：以 OA为始边的角有∠AOD， ∠AOC，∠AOE，∠AOB，以 OD为始 边的角有∠DOB，∠DOE，∠DOC，以 OC为始边的角有∠COE，∠COB，以 OE为始边的角有∠BOE，共有 4+3+ 2+1=10（个）角． 6. C提示：因为 OD是∠AOC的平分 线，OC是∠AOB的平分线，∠COD= 25°，所以∠AOC=2∠COD=50°，∠AOB= 2∠AOC=100°． 7. B提示：由射线 OM平分∠AOC，得 ∠COM=∠AOM=30°，由 ON⊥OM，得 ∠MON=90°．所以∠CON=∠MON- ∠MOC=90°-30°=60°． 8. A提示：因为∠AOC=∠BOC=∠DOE= 90°，所以∠AOD+∠COD=90°，∠DOC+ ∠COE=90°，∠COE+∠BOE=90°，所以 ∠AOD=∠COE，∠COD=∠BOE，所以 有两对相等的锐角. 9.④提示：125.45°=125°27′. 10. 55° 145° 11. = 12. 120°提示：4：00这一时刻，时钟上 分针与时针相距 4个大格，30°×4= 120°． 13. 162°提示：∠COA=∠BOD=90° - 18°=72°，∠BOC=∠COA+∠AOB=72°+ 90°=162°． 14. 65°提示：由折叠的性质可知， ∠AED=∠AED′，所以∠AED=（180°- ∠CED′）÷2=65°. 15.解：（1）因为∠BOD=28°，∠DOE= ∠BOD， 所以∠BOE=2∠BOD=56°， 所以∠AOE=180°-∠BOE=180°-56°= 124°， 因为 OF平分∠AOE， 所以∠EOF = 1 2∠AOE = 1 2×124° = 62°； （2）∠COF =180° -∠DOE -∠EOF = 180°-28°-62°=90°． 16.解：（1）∠A+2∠B =132°15′18″+2×85°30′13″ =132°15′18″+171°26″ =303°15′44″； （2）3×［（90°-∠B）+（180°-∠A）］ =3×［（90°-85°30′13″）+（180°- 132°15′18″）］ =3×（4°29′47″+47°44′42″） =3×52°14′29″ =156°43′27″， 所以∠B的余角与∠A的补角的和 的 3倍是 156°43′27″． 17.解：（1）因为∠AOC=50°，OD平分 ∠AOC，所以∠DOC= 1 2∠AOC=25°， ∠BOC=180°-∠AOC=130°，所以∠BOD= ∠DOC+∠BOC=155°； （2）OE平分∠BOC．理由如下： 因为∠DOE=90°，所以∠COD+∠COE= 90°，∠AOD+∠BOE=180°-90°=90°， 又因为∠AOD=∠COD，所以∠COE= ∠BOE，所以 OE平分∠BOC． 18.解：（1） 45+ 30 60 ××5 $-30=17.5（个）小 格，所以晚上 9时 30分，时针与分 针之间有 17.5个小格，中间有 17个 分钟刻度，而每一分钟刻度处装有一 只小彩灯，连同分针处的彩灯，有 18 只小彩灯； （2） 45+35 20 60 ×÷60×5 &-35 20 60 =12 11 18 （个）小格，所以晚上 9时 35分 20秒， 时针与分针之间有 12 11 18个小格， 中间有 12个分钟刻度，所以 9时 35 分 20秒时，时针与分针所夹的角内 装有的小彩灯个数为 12． 19.解：（1）∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°， 因为 OE，OF分别是∠AOC和∠COB 的角平分线，所以∠FOC= 1 2∠BOC= 1 2×70°=35°，∠EOC= 1 2∠AOC= 1 2× 30°=15°，所以∠EOF=∠EOC+∠FOC= 15°+35°=50°； （2）A．因为 OE，OF分别是∠AOC和 ∠COB的角平分线，所以∠EOC = 1 2∠AOC，∠FOC= 1 2∠BOC，所以 ∠EOF=∠EOC+∠FOC= 1 2∠AOC+ 1 2∠BOC= 1 2∠AOB= 1 2×100°=50°； B．∠EOF=50°或 130°提示：①射线 OE，OF只有 1个在∠AOB外面，如 图 1， A E C F O B 图 1 ∠EOF=∠FOC-∠COE= 1 2∠BOC - 1 2∠AOC= 1 2∠AOB= 1 2×100°=50°； ②射线 OE，OF都在∠AOB外面，如 图 2， E O C F B A 图 2 ∠EOF=∠EOC+∠COF= 1 2∠AOC + 1 2∠ BOC = 1 2 （360°-∠AOB）= 1 2× （360°-100°）=130°． 故∠EOF的度数是 50°或 130°． 2.8平面图形的旋转 考点集训/夯实基础 １.Ｃ提示：旋转运动的特点：绕一个定 点沿某个方向转过一个角度，可知③ ④⑤⑥属于旋转运动. 2. C提示：根据题意，因为旋转后最大 角为 60°+15°=75°，所以重叠部分的角 的大小是 75°-15°-15°=45°. 3.Ｂ′ＯＢ′Ａ′Ｂ′∠Ａ′∠Ｂ′Ｏ ∠ＡＯＡ′或∠ＢＯＢ′ 4.相等提示：根据旋转的性质可知，绕 点Ｏ旋转得到的两个图形的对应点 点Ｍ与点Ｎ到旋转中心Ｏ的距离相等． 5.ＡＯＡ′ＢＯＢ′ＣＯC′３ 6.６９０提示：旋转角∠EBF=∠ABC= 90°. 7. D 8.解：如图所示，（1）连接ＯＡ； （2）画∠ＡＯＣ＝１００°，在ＯＣ上截取ＯＡ′＝ ＯＡ； （3）连接ＯＢ； （4）画∠ＢＯＤ＝１００°，在ＯＤ上截取ＯＢ′＝ ＯＢ； （5）连接Ａ′Ｂ′，线段Ａ′Ｂ′即线段ＡＢ 绕点Ｏ按逆时针方向旋转１００°后的 对应线段. A B O C B′ A′ D 100° 9.解：（1）顺时针旋转 45°可得到三角形 AB′C′，如图 1； B A C B′ C′ 图 1 （2）逆时针旋转 45°可得到三角形 AB″C″，如图 2. A B C C″ B″ 图 2 综合检测/巩固排查 10.Ｄ 11.Ｄ提示：Ａ．三角形ＡＢＣ通过旋转得 到三角形ＤＥＣ，它的旋转中心是点Ｃ， 正确；Ｂ．ＡＣ⊥ＣＤ即顺时针旋转的旋 转角∠ＡＣＤ为９０°，正确；Ｃ．既可看成 是顺时针旋转又可看成是逆时针旋 转，正确；Ｄ．旋转中心是点 C，旋转角 是∠ＡＣＤ或者是３６０°－∠ＡＣＤ，错误. 12.Ｂ提示：根据旋转的性质可得： ∠Ａ′＝∠Ａ，∠Ａ′ＣＢ′＝∠ＡＣＢ， 因为∠Ａ＝４０°，所以∠Ａ′＝４０°，因为 ∠Ｂ′＝１１０°，所以∠Ａ′ＣＢ′＝１８０°－１１０°－ ４０°＝３０°， 所以∠ＡＣＢ＝３０°， 因为将三角形ＡＢＣ绕着点Ｃ顺时针 旋转５０°后得到三角形Ａ′Ｂ′Ｃ，所以 ∠ＡＣＡ′＝５０°，所以∠ＢＣＡ′＝∠BCA+ ∠ACA′=３０°＋５０°＝８０°. 13.６０提示：根据等边三角形的性质 得到ＡＣ＝ＡＢ，∠ＣＡＢ＝６０°，而三角形 ＡＢＤ绕点Ａ逆时针旋转后能与三角 形ＡＣＥ重合，则ＡＢ绕点Ａ逆时针旋 转了∠ＢＡＣ到ＡＣ的位置，根据旋转 的性质得到旋转角为６０°. 14.Ｂ提示：根据“对应点到旋转中心 的距离相等”，知旋转中心为点Ｂ. 15.１５０提示：因为三角尺旋转的度数 即为一条边旋转后与原边组成的角， 所以三角尺的斜边ＡＢ旋转到ＥＢ后 ＡＢ与ＢＥ所组成的角∠ＡＢＥ＝１８０°－ ∠ＡＢＣ＝１８０°－３０°＝１５０°，即为三角尺 旋转的角度. 16. D提示：因为三角形 OAB绕点 O 逆时针旋转 70°到三角形 OCD的位 置，所以∠BOD=70°，而∠AOB=40°， 所以∠AOD=70°-40°=30°. 创新应用/核心素养 17.π提示：S阴影= 1 4π× 4 ×2 &2 =π（cm2 ）. 期中复习专题集训 专题集训一有理数的基本概念 1. C提示：-1.9=- 19 10，- 19 10的倒数为 - 10 19 . 2. D提示：A.- -4 =-4，-4＜0，是负数； B（. -4）5 ，负数的奇次幂是负数； C.-（-4）4 =-256，-256＜0，是负数； 第10页 D.-（-4）=4，4＞0，是正数． 3. D提示：A.非负数包括零和正数，错 误；B.正整数指大于 0的整数，错误； C.没有最小的整数，错误；D.整数和分 数统称为有理数，正确. 4. C提示：①②④正确，共 3对. 5. C提示：-2 1 2的相反数为 2 1 2，在 -2 1 2和 2 1 2之间的整数有-2， -1， 0，1，2，共 5个． 6. C提示：因为- a =-3.2，所以 a = 3.2，所以 a=±3.2. 7. A提示：因为 a，b，c均小于 0，且 a < b < c，所以 a>b>c. 8. A提示：由数轴可知，a是大于 1的 数，b是负数，且 b＞ a，把 b和-a 标在数轴上，则数轴上从右往左的顺 序就是它们从大到小的顺序． 9. D提示：②③⑦⑧数值相等，有 4个. 10. +4.3， -0.5，21% - 3 8 -（+2），-62 13，（-3）6 ，-（-2）5 ，0 11. -1提示：点A表示的数为-1，点B 表示的数是 2，则和为-1+2=1，1的相 反数是-1． 12. 3 ５ 3 ５ -５ ３ 13. <提示：因为 xy＞0，z＜0，所以 xyz＜0． 14. - 2 7 4 16 2 401 专题集训二有理数的综合运算 1.解：（1）原式=（-3-9）+2=-12+2=-10； （2）原式=1+（-5-8）-4-（5-20）=1- 13-4+15=-1； （3）原式=- 3 4× 3 2× 4 9 =- 1 2； （4）原式=-15÷ - 25 6 6 '×6=15× 6 25×6= 108 5； （5）原式=-8×8-8× 1 8 +8×8=-64-1+ 64=-1. 2.解：因为 x-1 + y+2 + z-3 =0，所以 x-1=0，y+2=0，z-3=0，所以 x=1，y=-2， z=3. 原式=（1+1）×（-2-2）×（3+3）=2×（-4）× 6=-48. 3.解：因为 xy2 ＜0，所以 x＜0，又因为 x = 3，所以 x=-3，因为 x+y＜0， y =1，所 以 y=±1， 所以当 x=-3，y=-1时，原式= -3-4 + （-1+3）2 =7+4=11； 当 x=-3，y=1时，原式= -3-4 +（1+ 3）2 =7+16=23. 4.解：（1）-2b提示：由数轴可知，a＞0， b＜0， b＞ a， b-（-b） = 2b，因为 b＜0，所以 2b＜0，所以 2b =-2b； （2）因为 a＞0，b＜0， b＞ a，所以 a+ b＜0，所以 b + a+b + a =-b-（a+b）+ a=-b-a-b+a=-2b. 5.解：因为 a，b互为相反数，c，d互为 倒数，所以 a+b=0，cd=1，因为 m =2， 所以 m=±2，所以原式=0+2×（±2）2 -3= 2×4-3=5. 专题集训三有理数的应用 1. 40 1提示：当 n=13时， 第 1次“F”运算为 3×13+1=40， 第 2次“F”运算为 40 23 =5， 第 3次“F”运算为 3×5+1=16， 第 4次“F”运算为 16 24 =1， 第 5次“F”运算为 1×3+1=4， 第 6次“F”运算为 4 22 =1…… 由此可知从第 4次开始结果按 1，4 开始循环，偶数次时为 1，奇数次时 为 4，因为 2 022为偶数，所以第 2 022 次“F”运算的结果是 1. 2. 0.8提示：根据题意和表格可得， 第五年小慧家应还款为 0.5+（9-0.5× 3）×4%=0.5+7.5×4%=0.8（万元）． 即第五年小慧家应还款 0.8万元. 3.解：（1）该班的最高分与最低分相 差：15-（-26）=41（分）； （2）该班成绩低于 90分的同学共有 4+8+12=24（人）， 24 60×100%=40%. 4.解：（1）由表格可知，最重的一筐比最 轻的一筐重：2.5-（-3）=5.5（kg）； （2）由表格可得，（-3）×1+（-2）×4+（-1.5）× 2+0×3+2×1+2.5×8 =（-3）+（-8）+（-3）+0+2+20 =8（kg）. 与标准质量比较，20筐苹果总计超 过 8 kg； （3）（20×25+8）×8.5=4 318（元）. 出售这20筐苹果可卖 4 318元． 5.解：（1）根据题意得：150-32-43+205- 30+25-20-5+30-25+75=330（m）， 500-330=170（m）； 他们最终没有登上顶峰，离顶峰还差 170 m； （2）根据题意得：150+ -32 + -43 + 205 + -30 +25 + -20 + -5 +30 + -25 +75 =640（m），640×0.04×5 = 128（L）． 他们共使用了 128 L氧气. 专题集训四线段与角的动态问题 1.解：（1）6提示：当点D与点B重合 时，点C在线段AB上，所以 AC = AB-CD=6； （2）因为 AB =12，CD =6，所以 CD = 1 2 AB.因为点P是线段AB延长线上 任意一点， 所以 PA+PB =AB +PB +PB，PC =CD+ PB = 1 2 AB+PB，所以 PA+PB-2PC= AB+PB+PB-2 1 26 AB+PB '=0； （3）①点C在点B右边时，如图 1. 因为 M，N分别为线段AC，BD的中点， 所以 AM= 1 2 AC= 1 2 （AB+BC）= 1 2× （12+4）=8，DN= 1 2 BD= 1 2 （CD+BC）= 1 2×（6+4）=5， 所以 MN =AD -AM -DN =（AB +BC + CD）-AM-DN=（12+4+6）-8-5=9； ②点C在点B左边时，如图 2. 因为 M，N分别为线段AC，BD的中点， 所以 AM= 1 2 AC= 1 2（AB-BC）= 1 2× （12-4）=4，DN= 1 2 BD= 1 2 （CD-BC）= 1 2×（6-4）=1，所以 MN=AD-AM-DN= （AB+CD-BC）-AM-DN=（12+6-4）- 4-1=9． 综上，MN的长为 9. 图 1 A M B C N D 图 2 A M C B N D 2.解：（1）AB=3AP提示：根据点C，D 的运动速度可知：BD=2PC.因为 PD= 2AC，所以 BD +PD =2（PC +AC），即 PB=2AP， 所以 PB+AP=3AP，即 AB=3AP； （2）AP=PQ成立，理由：因为 AQ-BQ= PQ，所以 AQ＞BQ，AQ=BQ+PQ. 如图，则 AQ=AP+PQ，所以 AP=BQ． 由（1）得，AP= 1 3 AB， 所以 PQ=AB -AP -BQ=AB - 1 3 AB - 1 3 AB= 1 3 AB，所以 AP=PQ. A P Q B 3.解：（1）互余∠COF= 1 2∠DOE 提示：因为∠ COE = 90°，∠ COE + ∠AOC +∠DOE=180°，所以∠AOC+ ∠DOE=90°， 所以∠AOC与∠DOE互余，∠AOC= 90°-∠DOE.因为 OF平分∠AOE， 所以∠AOF=∠EOF= 1 2∠AOE， 所以∠COF=∠AOF-∠AOC= 1 2∠AOE- （90°-∠DOE）= 1 2（180°-∠DOE）- 90° +∠DOE= 1 2∠DOE，即∠COF = 1 2∠DOE； （2）∠COF= 1 2∠DOE. 理由：因为 OF平分∠AOE，所以 ∠AOF = 1 2∠AOE，因为∠COE=90°= ∠AOC+∠AOE，所以∠AOC = 90° - ∠AOE， 所以∠COF =∠AOC +∠AOF =90° - ∠AOE+ 1 2∠AOE =90° - 1 2∠AOE， 因为∠AOE=180°-∠DOE，所以∠COF= 90°- 1 2 （180°-∠DOE）= 1 2∠DOE，即 ∠COF= 1 2∠DOE； （3）∠COF=180°- 1 2∠DOE. 提示：因为 OF平分∠AOE，所以∠EOF= 1 2∠ AOE，所以∠ COF =∠ COE + ∠EOF=90°+ 1 2∠AOE=90°+ 1 2 （180°- ∠DOE）=180°- 1 2∠DOE，即∠COF= 180°- 1 2∠DOE． 4.解：（1）50 20提示：因为∠AOE= ∠AOB -∠EOB =140° -40° =100°，OF 平分∠AOE，所以∠AOF= 1 2∠AOE= 1 2×100°=50°，所以∠COF=∠AOF- ∠AOC=50°-30°=20°； （2）当∠COF=35°时，如图 1所示. 因为∠AOF=∠AOC+∠COF=30°+35°= 65°，OF平分∠AOE，所以∠AOE = 2∠AOF=2×65°=130°，所以∠BOE= ∠AOB-∠AOE=140-130°=10°． A C F E O B 图 1 ①当∠COF =10°，OF在 OC的左侧 时，如图 2所示. 因为∠AOF =∠AOC -∠COF =30° - 10°=20°，OF平分∠AOE，所以∠AOE= 2∠AOF =40°．所以∠BOE=∠AOB- ∠AOE=140°-40°=100°； ②当∠COF =10°，OF在 OC的右侧 时，如图 3所示. 因为∠AOC=30°，∠COF=10°， 所以∠AOF=∠AOC+∠COF =30°+10°= 40°． 因为 OF平分∠AOE，所以∠AOE= 2∠AOF=80°．所以∠BOE=∠AOB- ∠AOE=140°-80°=60°．所以当∠COF= 10°时，∠BOE的度数为 100°或60°. A F C E O 图 2 O B A C E F B 图 3 第三章代数式 3.1用字母表示数 考点集训/夯实基础 1.（1）a+b=b+a （2）ab=ba 2. S= （a+b）h 2 3. ah 2 4. C提示：a为奇数，则 a+1为偶数， a+2为奇数，a+3为偶数，a+4为奇数. 5. 100z+10y+x 6.（1）-a（2）1 a（3）a2（4） a 7. 300 t 8. 1７５ａ 25ａ 9.（１）七（１）班每人订阅一本该杂志一 共需要的钱数 （２）张师傅比朱师傅每小时多加工 的零件数 张师傅５小时加工的零件数 张师傅比朱师傅３小时多加工的零 件数 10. C ２6 -a ' 综合检测/巩固排查 11. A 12. B提示：n为自然数，则 2n为偶 数，2n+1为奇数. 13. D提示：小刚身高为（a+18） cm，小 强身高为 a+18+12=（a+30） cm. 14. A提示：去年的电视作品增加４０％ 后为ａ，则去年的电视作品数ｂ＝ａ １＋４０％ . 15. 7２０７７ 16 1６. 2（a+b） 1７. 40a提示：总加工零件数=每小时加 工零件数×加工的小时数. 1８. x 8０％ 1９.（1）前 3天已经修了的米数 （2）修了 3天后还剩下没修的米数 （3）修完这条路总共需要的天数 （4）修整条路平均每天所修的米数 177 178 |
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