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通常，一场科学革命不单是需要一位奠基的天才。它往往也需要一位组织天才，去确立科学中的核心思想，对它的产物去粗取精，去伪存真，并使之能为大众理解。 一位卓越的建筑设计师可以设计出一幅宏伟的蓝图，但是这份蓝图终究需要一支建筑队伍将其变成一座大厦。 如果说牛顿和莱布尼茨是微积分的建筑设计师，那么正是雅各布·伯努利和约翰·伯努利所做的大量工作，才把微积分建立成今天我们所知的这门学科。这兄弟二人阅读了莱布尼茨从1684年到1686年发表的最早论文，他们发现自己如临决斗前那样兴 奋。他们抓住云山雾罩般的阐述，充实它的细节，然后通过与莱布尼茨的交流以及兄弟彼此之间的交流，完善了统一性、条理性和术语。例如，“积分”一词正是雅各布给出的。在他们手中，微积分变成当今学生易于接受的形式，即具有基本的求导法则、积分方法和初等微分方程的解法。 虽然同属优秀的数学家，但是伯努利兄弟二人的个人表现完全可以用“不得体”来形容。尤其是约翰，在莱布尼茨与牛顿关于微积分发明权之争中充当了好斗的角色，像莱布尼茨的牛头犬一样，忠实地站在他所尊奉为英雄的“大名鼎鼎的莱布尼茨”一边，甚至声称牛顿不仅没有发明微积分，而且从来没有完全理解它。这当然是对历史上最杰出的一个数学家的粗野无端的攻击。 非常不幸，由于家庭不和睦，雅各布和约翰也以相互争斗为乐。例如，哥哥雅各布称弟弟约翰为“我的学生”，即使是在这个学生的才干已经明显和他相当的时候也是这样。同样，约翰在事隔多年后还在津津乐道地谈论如何在一个晚上解决了困扰雅各布将近一年的一个问题。 尽管他们具有难以相处的执拗天性，但是，伯努利兄弟还是在数学史上写下了浓墨重彩的篇章。雅各布除了在微积分上的贡献以外，还著有《猜度术》一书，在1713 年（他去世后）出版。这本书是概率论的经典之作，书中给出大数定律的证明，为了纪念他，人们往往把这个基本结果称为“伯努利定理”。至于约翰，他是世界上第一本微积分教科书的捉刀人。这件事情起于一项协议，按照协议约翰给法国贵族马奎斯·德·洛必达（1661—1704）提供微积分课材料，获取报酬。洛必达随后在 1696年整理出版了这些材料，书名为《用于了解曲线的无穷小分析》。在这本书里首次出现“洛必达法则”，虽然同这本书一样，这个法则实际上是约翰·伯努利发现的，但是这个名称在微分学中从此就固定下来。在书的前言里，洛必达表达了对伯努利和莱布尼茨的感谢，他写道：“我无偿地使用了他们的发现，所以只要他们愿意，我真诚地把他们要求拥有的任何东西归还他们。” 性情暴躁的约翰当然不满足于这种表示，他确实声明这个法则是他发明的，而在几年后，他抱怨洛必达用金钱换取他人的才智。当然正如数学史家Dirk Struik所 说，是伯努利自己（实际）促成了这起交易。他给我们的简单的劝告是“就让善良的马奎斯持有他的典雅的法则吧，他支付费用了”。为避免再次失去荣誉，约翰写了一篇关于积分学的内容广泛的论文，在1742年用自己的署名发表。 为更清楚了解伯努利兄弟二人在数学上的成就，我们有选择地介绍他们的成果。首先从雅各布的调和级数的发散证明开始，然后考察他对一些奇异收敛级数的处理， 最后介绍约翰对他所谓 “指数微积分”的贡献。 雅各布和调和级数 像在他之前的牛顿和莱布尼茨以及许多后来的数学家一样，雅各布·伯努利认为无穷级数是进入分析学的必由之路。这一点从1689年他所写的专题论文《论无穷级数及其有限和》中可以明显看出。这篇文章是对无穷级数的最高水平的讨论，因为无穷级数在临近17世纪末才被人们了解。雅各布考察了一类相似的级数，例如等比级数、二项式级数、反正切级数和对数级数，以及某些以前从未讨论过的级数。在本章，我们考察从《论无穷级数及其有限和》中节录的两段文字，第一段专门讨论调和级数的奇异特性。 在1689年之前很久，有人已经发现级数 发散到无穷大。在大多数现代教科书中可以找到尼科尔·奥雷姆（大约1323—1382）发现的证明，以及彼得罗·门 戈里（1625—1686）提出的另一种证明。莱布尼茨也许并不了解这两位先驱者的工作，在他早年在巴黎任职期间发现这个级数是发散的，用他的话说是  并告诉他的英国同行，而从他们那里获悉，又有人捷足先登了。 所以，调和级数的发散已不再是新闻。但是，我们通过下面另外一种方法得到同样的结果，可以增长见识，更不必说其中的多样性的魅力了。雅各布·伯努利的发散性证明就是与他的前辈们的证明迥然不同的这样一种方法。 作为雅各布的《论无穷级数及其有限和》的第4个命题，他证明了关于前两项相同的 正数项等比数列和等差数列的一个引理。 定理 如果A , B , C ,…, D , E 是公比为r >1的正数项的等比数列，而A , B , F ,…, G , H 也是从A 和B 开始的正数项的等差数列，那么，等比数列中其余 每一项都大于对应的等差数列中的相应项。 在几个命题之后，雅各布证明了在描述方式上带有17世纪风格的下述结果。 定理 在任意有限项等比数列A , B , C , …, D , E 中，第1项与第2项的比，等于除最后一项外所有项的和与除第1项外所有项的和的比。 不同，这个公式利用的是第1项、项数和公比。 以这些预备知识做铺垫，现在我们可以看看雅各布对调和级数进行的分析。此项分析在《论无穷级数及其有限和》一文中紧接在约翰的级数发散证明之后。将弟弟的成果包含在他的论文中也许显得异乎寻常地慷慨，但是雅各布发起了挑战，给出自己的另一个证明。用他的话说，目标是证明“无穷调和级数的和超过任意给定的数。因此，它的和为无穷大”。 定理 调和级数发散 证明 选择任意自然数N ，雅各布首先试图从调和级数中去除从第1项开始的相继若干项，这些项的和大于或等于1。他再从剩下的项中，去除和等于或大于1的相继若干项。按这种方式进行下去，直到N次把这样的有限项去除，使整个调和级数之和减少的值至少为N 。由于N是任意的自然数，所以调和级数之和为无穷大。 倘若我们总是能去除和为1或更大的有限项，那么从雅各布的文章中几乎一字不差地抄录下来的这个论证步骤就是正确的。为完成证明，伯努利必须证明这的确是事实。于是，他假定情况相反，就是说，“如果在去除一些项后，剩余项之和不可能超过1，那么，令1/a为最后一次去除有限项以后的第1项”。换句话说，为了引出矛盾，他假定不管达到多少项  的和都小于1。但是这些分母构成一个等差数列，因此雅各布引入与这个等差数列前两项相同的等比数列。就是说，他考虑等比数列 其中他要  如前所见，雅各布知道等比数列的每一项都大于对应的等差数列的相应项，因此， 他取倒数，推出 这与他最初的假设矛盾。通过这种方式，雅各布断定，从调和级数的任何一项开 始，其剩余部分的某个有限项的和必然超过1或者更大。 为了完成证明，他使用下面的方式重新组合调和级数： 其中每个括号中的表达式都超过1。因此，所得的和可以比任何预先指定的数大，所以调和级数发散。 这是一个构思巧妙的证明。雅各布很清楚它的重要意义，他强调，“一个最后项趋近零的无穷级数的和也许是有限的，也许是无限的”。自然，不会有现代数学家谈论无穷级数的“最后项”，但是雅各布的意图是清楚的：即使无穷级数的一般项缩小至零，也不足以保证级数收敛。调和级数就是一个极好的例子。雅各布·伯努利因此证明了这一点，今天大家依然采用这个证明。 雅各布和他的垛积级数 调和级数之所以被关注是因为它的不良特性，即发散性。受到同样关注的是具有有限和这种良好特性的无穷级数。雅各布从等比级数开始并巧妙地对其进行改变，计算了一些非同一般的级数的精确值。下面我们考察其中几个级数。 首先，他需要求无穷等比数列的和。如式（1）所示，伯努利使用公式 求出有限等比数列的和。他注意到一个必然结果，由正数构成的公比小于1的无穷等比数列的一般项必定趋近零。因此，他简单地令他的“最后”项E=0，得到 等差数列和等比数列并不是17世纪的数学家们唯一熟悉的数列形式。他们也熟悉“垛积数”，这是同某些几何形体（如三角形、棱锥体和立方体）相关的整数的家族。例如我们有三角形数1, 3, 6, 10, 15, …，这样命名是因为它们来源于图 3-1所示的不断扩展的三角形中的点数。容易看出，第k 个三角形数是 其中的二项式系数是在雅各布·伯努利之后才出现的记号。 雅各布解决这类问题的办法是先解决简单问题，再解决复杂问题，在数学上，这始终是一种正确的策略。仿照他的论证过程，我们从以自然数为分子和等比数列为分母的无穷级数着手。 换句话说，由定理N可得 定理C 如果 d>1，那么 这是一个令人惊奇而又非直观的结果。 在取得这些成果之后，雅各布·伯努利也许开始感到无往而不胜了。倘若他当时真地怀有这种想法，很快也会转变态度的，因为由平方数的倒数构成的级数，即  挡住了他的去路。他可以采用我们现在所知的比较检验法证明这个级数收敛于某个小于2的数，但是他未能求出这个数。雅各布收起了他的傲慢，在他的《论无穷级数及其有限和》中提出了这样的恳求：“如果谁能解决并告知这个我们无能为力的问题，我们将不胜感谢。 正如我们在后面要看到的，对于伯努利提出的难题，整整一代人不得其解，直到最后由历史上最卓越的分析学家之一的欧拉给出问题的答案。 雅各布·伯努利堪称一位无穷级数的大师。他那位具有同样天赋的弟弟约翰有着自己感兴趣的研究领域。下面我们来讨论其中约翰称为“指数微积分”的问题。 约翰和x^x 在1697年的一篇论文中，约翰·伯努利从下述一般法则开始他的讨论：“一个对数函数无论多么复杂，它的微分等于函数表达式的微分除以表达式。” 例如 在最后的这个表达式中，我们保留了伯努利的原有记号。在当时的数学出版物中， 高次幂的写法与现在相同，但是通常把平方x^2写成xx。此外，顺便说一下，伯努利还用lx表示x的自然对数。 许多初学微积分的学生也有这样的错误理解。幸好约翰改正了他的错误。 凭借这些预备知识，约翰作出承诺，他要用“由我首先创立的”法则去获取丰硕的知识成果，“用以前没有被发现的或者不是广为人知的知识去充实这座新的微积分的宝库”。也许他最感兴趣的例子莫过于图3-2所示的曲线y=x^x 。 一种现代的方法则是利用分部积分证明约化公式 其中我们已经应用了取m =2和n =1时的公式（4）。 通过这种方式，我们重新得到了伯努利的积分表。同式（3）的指数级数一样，这也是求解他的奇特问题的关键。 其中伯努利毫不犹豫地用积分的级数替换了级数的积分。他利用他的积分表中的公式继续推导： 从本章的例子明显看出，雅各布·伯努利和约翰·伯努利确实是戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的得意门生。用现在的话来说，莱布尼茨的微积分在他们的手中变成“用户友好的”。这兄弟二人使在他们之前原本很深奥的微积分成为非常容易理解的学科。 此外，约翰还留下了另外一份“遗产”。在18世纪20年代，他培养了一名前途无量 的年轻的瑞士学生。这位学生的名字是莱昂哈德·欧拉，我们将在下一章介绍他的成就。 |
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