数学的三大基本特征

这里的内容主要摘自《高等数学》(李忠、周建莹编著)教材的绪论。

数学的基本特征

一百多年前，恩格斯就说过，数学是研究现实世界中数量关系及空间形式的科学，尽管一百多年中数学的发展使它的研究内容早已超出了“数”与“形”的范畴，但就其基本精神而言，恩格斯对数学的概括仍然是正确的。

数学的基本特征是它的研究对象的高度抽象性。

数本身就是抽象的，比如自然数、负数、无理数、超越数、复数等等。

初等几何中的点、直线、三角形、圆等也是抽象的，它们根据人们生活经验抽象而来。我们生活的现实空间是3维空间，这一事实是抽象的结果，但毕竟容易接受。至于4维空间就变得难于理解，而学过物理的人则常常理解4维空间是3维空间添加时间的结果。然而数学还要研究更一般的n维空间乃至无穷维空间，甚至更为抽象的流形或拓扑空间。

这些特别抽象的概念不再是从人的直接生活经验与生产活动中得来，而是从人类的科学(包括数学)研究、科学试验以及复杂的技术过程中抽象而来，它们既超出了普通人的直接经验，也超出了自然现象的范畴——数学研究对象的这种高度抽象性使数学科学区别于自然科学。

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数学研究对象的抽象性决定了数学的另一特征——

数学论证方法上的演绎性

人们说：数学是一门演绎科学，这是从它的论证方法而言的。数学中要证明一个结论的成立，是根据假设(包括公理)按照形式逻辑推演出来的，除此之外，在一定意义上说，它不允许任何其他东西作为导出结论的依据。

在试验科学中实验结果是结论的重要依据，在数学中则不能以任何实验结果作为结论的依据。比如数学中不能由测量若干个三角形的内角而断言“三角形内角之和为180°”——事实上这一结论是由平行公理推演得出的。

当然，说数学是一门演绎科学是指其论证方法而言，而不是指其整个研究方法，试验、归纳、类比、猜测或假想同样是重要的研究方法，然而最终论证一个结论成立则需要演绎。数学中没有经过证明的命题最多只能是一种猜想。

数学在论证方法上的演绎性使数学理论构成了一个严谨的形式体系，其中有公理、定义、定理，一环扣一环演绎出许多公式与结论。人类历史上第一个完整的演绎体系是欧几里得的《几何原本》，它以五条公理(在《几何原本》中称之为公设)出发，用形式逻辑将其全部结论逐一推出。爱因斯坦高度评价了这个“逻辑体系的奇迹”，他说：“推理的这种令人惊叹的胜利，使人类的理智为今后的成就获得了所需要的信心。”

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数学的第三个特征就是——

应用的极端广泛性

正是因为数学的高度抽象性，它的结论的应用范围才非常广泛。

比如2+3=5，它适用于一切可能谈论数量的事物。

在数学中，同一方程式完全可能代表互不相干的事物的某种相同规律，同一个拉普拉斯方程可能代表许多不同的物理现象，某种生物种类群体的数量变化可能与某种商品的价格涨落满足同一数学模型，所有这些都是数学抽象力量的所在。

数学应用广泛性的一个重要标志是数学在其他科学中的特殊地位与作用。伽利略说：“自然界这部伟大的书是用数学语言写成的。”事实上，数学是各门科学的语言，无论自然科学，还是人文科学。比如在近些年的诺贝尔经济学奖获得者中，半数以上有从事数学研究的历史背景。

有些人，包括有些数学家片面夸大数学体系的形式性，认为数学是“丝毫不反映现实世界的纯形式体系”，从而也就从根本上否认数学的应用价值。还有一些人认为数学的形式系统是数学家们“自由创作”的结果，“就像小说家设计人物、对话和情节一样”，没有任何必然性。

这些看法之所以错误，就是因为它不符合于数学被广泛应用的现实，不符合于数学及其他科学发展的历史，更不能解释数学内部的高度和谐与统一，不能解释数学与其他科学的一致性。我们认为，数学内部的统一性以及它跟其他科学的一致性是宇宙统一性的反映。

比如，数学为物理提供描述现象与规律的语言与工具，其实有很多数学概念首先是由物理学家提出，而后由数学家逐步严谨化。

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应当指出，科学的探索是人类对未知世界的一种不懈的顽强追求，这种追求有时超越了直接的功利目的，某些数学的研究往往是一个纯粹的数学问题，既看不到实际应用的背景，也无法预测它的应用前景。人们对这类问题的研究，从研究动机上看似乎与艺术一样，是对某种永恒与完美的追求，我们对这种追求的意义也不应有任何忽视。

数学研究的基本动力来自外部的社会实践的要求，然而也不能否认还有一部分相当大的动力来自数学内部。数学内部的矛盾，数学研究中所遇到的重大问题，往往会激起数学家们巨大的研究兴趣，这种纯数学问题的研究往往推动了数学新理论和新方法的产生，而后者在科学或技术上具有重要价值。

再回到欧几里得的《几何原本》的第五公设，即平行公理，它曾经引起许多人的研究，人们试图用其余四个公设把它推导出来，两千多年间不知道多少数学家为此绞尽脑汁而最后都失败了，这个失败经验促使罗巴切夫斯基做出相反的大胆思考，于是产生了非欧几何。

平行公设问题，自然是一个纯数学问题，很难在当时说清它的研究价值。然而如果没有这样的讨论，就不会有非欧几何的出现，人类就会永远处于欧几里得几何统治之下，从而也就没有爱因斯坦的相对论和当今的时空观。