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一个包含二阶子群的六阶非循环群必定包含三个二阶子群，同时还包含一个三阶子群。我们已经分析过一个六阶群的结构，发现一个六阶非循环群只要包含一个二阶子群，就有可能同时包含一个三阶子群，并且余下两个群元也必定构成两个二阶子群。接下来我们进一步分析，如果一个六阶非循环群包含两个二阶子群，它的结构会怎样？如果一个六阶非循环群已经包含两个二阶子群，那么，余下的三个群元不可能构成一个四阶子群。由于非循环群的每一个群元都必定属于某个子群，因此，在余下的三个群元中，必定有一个群元会构成一个二阶子群。因此一个六阶非循环群不可能只包含两个二阶子群，而是包含至少三个二阶子群。现在我们已经有了三个群元构成三个二阶子群，余下的两个群元会有怎样的结构呢？假定构成三个二阶子群的三个群元分别被称为 ，余下的两个群元不妨称之为 ，于是，这个六阶群就是这样的： 我们来构造这样一个群的乘法表： 我们看到，在这个乘法表中，已知的东西太少了，根本无法利用乘法表的性质将未知的位置确定下来，因此，必须另辟蹊径。 回顾对四阶群的结构的分析，可以明确地知道，子集 中的三个群元互乘不可能留在子集内，否则，它们就会构成一个四阶子群。因此，比如说， 只能等于 或者 。可以不失一般性地假定 ，如果不是这样，将 和 互换名称就行，这相当于做了一个重排。如果 ，利用 三个群元互不相等这个事实可以连贯性地得到：三个群元的互乘结果就有了。接下来分析三个群元 与两个群元 互乘的结果。对 左乘 或者右乘 得到 和 ，对 左乘 或者右乘 得到 和 。对其余的互乘组合施行类似的运算就可以得到子集 与子集 各个群元两两相乘的结果。请大家完成这项工作。汇集上述分析结果，就可以构造出一个几乎完整的乘法表：由乘法表的性质马上可以得到： 也可以通过逻辑分析得到 与 互乘的结果。对 左乘 或者右乘 得到 和 ，对 左乘 得到 ，由此得到 。由于 与 互逆，因此，。由 得 ，由 得 ，于是，，，两边左乘或者右乘 得到 。根据以上的分析， 构成一个三阶子群。于是，我们得到了一个完整的乘法表：我们再次得到了由三个二阶子群和一个三阶子群组合构成的六阶非循环群，它正是 群。
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