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捆绑旋转 瓜豆原理 旋转放缩 手拉手相似 看似名称不同实则是一个原理。当然很多大佬都发现过，也被很多老师叫“某某大佬原理”其实说出来不管你信不信，我也独立发现过这个原理，并用GGB做图验证过。 当然也不是我多么聪明，主要是做了一道题，这道题里一下儿漏了天机，就下边这题，题里的已知条件似乎就在告诉你，翻译过来就是：若满足定角定比，则轨迹必相似。所以C的轨迹和A、B一样都是双曲线！（反比例函数图像双曲线应该都相似）
相信热爱思考的人们，看到这题的条件，肯定会不禁思考，主动点与从动点之间，存在着某种关联，导致了他们的轨迹“相似”。当时我利用GGB软件独立验证了这一结论，即“定角定比，轨迹相似”，遂取名为“定角定比”原理。 后来在网群讨论的时候，发现早已有老师发现了这一原理，有的按名字命名为“某某人原理”，又有的老师喜欢风雅，援引古语中“种瓜得瓜，种豆得豆”，简称为“瓜豆原理”，从此这个名号慢慢的传开。 当然，即便不热爱思考，也是能够做出此题的！这道题的具体做法是利用相似：
我独立发现的时候给他起名叫定角 定比原理。 很久之前做过一次关于瓜豆现象的例题分析视频，喜欢考古的朋友可以点击查看： （强烈建议弦看这个视频在学习本文） 那么今天主要来说以说这个现象怎么转化为课本上支持的内容（毕竟课本上没有），也就是转化成旋转相似也就是手拉手相似。我们要了解，手拉手的相似三角形会“生出”一对新的相似。 之前也发过手拉手的详细解说视频 可点击查看 有了这些作为基础，接下来我们看两道题，一道是直线型瓜豆，一道是圆弧型瓜豆（基本初中的动点轨迹考察的就是这两种，当然也有额外的比如函数图像型轨迹瓜豆） 其实有一个秘密我一直没有明说，不管是直线还是圆弧轨迹，其实都是有两套解法，在之前老的文章当中没有提起第二套解答方法，本次（2022.10）将进行更新！其实很多聪明的朋友已经想到了！ 模型识别：一个模型最重要的不是模型结论，而是模型识别（或者叫模型条件），很多人不会识别模型只是一味的记结论，这就会导致做题的时候“看不出”模型或者把一些“长得像”的模型搞混淆。 瓜豆的识别，根据我起的名字，即有主动点，从动点，定点，三个点构成，且两个动点到定点满足“定角定比”（定比指的是两动点到定点距离之比），或者可以更加生动的理解为，三个点构成一个“形状不变”的三角形。 例1：圆弧形轨迹 我们再看一个圆弧轨迹经典题目，以这个题目为例介绍两套瓜豆的基本方法！
（为了怀旧，保持题目最初遇见的样子） 方法1：找“从动”轨迹 首先先做处理，可以把AB，或AC按住不动， 如果按住AC 不动，那么，点B绕A转圆周（AB为半径定值）
按住AB类似，不动如下图
我这里就按住AB不动，那么可以看出C为主动点，O为从动点，正方形只是一个背景打酱油，主要是定型的三角形△BCO
显然满足定角定长比。称定点B为瓜蒂，找圆弧轨迹核心的就是找圆心与半径，这里主动点C的圆心是A（简称主动心），半径是2。根据角度和长度比可以找到从动点的圆心（简称从动心）。 关键怎么找？即牢记主到从的定角（注意方向顺逆时针），主与从线段的定比
两个圆心必须也符合定角定长比。
这里的主从角是顺时针45度，长度比是跟号2比1，所以主从轨迹圆心，也是符合这个“定角定比”，也就是把主动心A绕瓜蒂B顺时针转45度再缩小跟号2倍即可得到从动心图中点H。
主动点，从动点，瓜蒂和主心，从心，瓜蒂分别构成两个形状相同的三角形，并且是手拉手，生相似，通过生出的相似可以得到，两个圆的半径比，也等于定长比。然后根据点圆距离就可以做题了。当然如果万一考了选择填空。可直接画出圆轨迹（自己心里知道咋画就行了），只构造相似，如果是解答或说理接下来利用图中的AH定长，HO定长，三角形三边关系即可说明最大和最小值。
特别注意这道题研究的是从动点O是到A的距离（A简称为从距点），也就是这里的主动心和从距点是同一个点：A。其实完全可以不是同一个，只不过为了显得题目精简，如果不是同一个的，依然也可以利用定角定长比，找到另一个距点，同理构造手拉手。 小总结：就是有“主动心”找“从动心”，所以记得是“由主到从”的“定角定比”，这和接下来的方法二是完全相反的！ 新图：
方法2：“从距”转“主距”（2022.10） 除了找轨迹的方法，还有一个方法也可以，就是将“从距”转化为“主距”，显然是“有从找主”的变化，所以注意定角定比的变化！ 转化距离的关键是找“距点”，本题中求的是OA，也就是从动点O到A（A简称从距点）的距离。那么我们只要把OA转化为主动点C到某个距点（简称主距点）的距离即可！
怎么转化，还是根据定角定比！注意这次是由从到主，所以应当是：逆时针旋转45°，再扩大根号2倍！即可得主距点J.
有了主距点，就可以把从距OA转化为主距CJ
因为手拉手相似，CJ=根号2倍的OA，这样只需研究CJ的最值即可啦，当然这个方法最要注意的就是CJ和OA还有一个系数（有时候可以是1），注意求出CJ最值后别忘了乘以系数（别问我怎么知道的……） 例2：直线型轨迹
有了圆弧的铺路，会不会直线轨迹就简单多了呢？其实还真有一个难点埋藏！先根据瓜豆原理看动图
方法1：化“从距”为“主距” 做辅助线，就可以变为手拉手相似如图。
定住看看
因为运动过程中，主动点和从动点，到定点的距离之比为定值（简称主从比），连线夹角为定值（简称主从角含 顺逆），是发生瓜豆的条件，一般题目里会给一个形状不变的三角形（角可为0°，比值可为1）。如下图标出了主从动点。看图，主动点D，从动点E，固定三角形DEA，这里A是那个定点（A瓜蒂），DA比EA为定长比，DA到EA为逆时针45度（注意区分顺逆，我是从主动点连线转到从动点连线，也可以称为主从角（反之可称为从主角））
这题问的是到C的距离，C是关键点为从距离点（因研究的是EC）。我们构造相似把从距CE转化为主距FD，就要找到主距点F。非常简单，主从距点到瓜蒂A的长度比和角度是和主从动点一样的。所以找到主距点F，也可以看做是把C绕A顺时针转45度，再放大根号2倍，（或者说是做一个三角形等直ACF，因为原题目李的固定三角形就是等直，所以说记住三角形定型也是很快做题的方法）
然后ADE和AFC两三角形就构成了手拉手相似，还会生出一对相似，根据生出的相似比也为主从比。EC可以转化为DF如下图。
接下来就只需要求出DF的最值即可，千万别忘了最后答案要乘以系数在换回来！
方法2：定“从动”轨迹（2022.10更新） 那么大家一定会问了，直线型轨迹怎么才能象圆弧形轨迹那样，直接找到从动点的轨迹，直接做呢？ 先说一个结论：其实直线型轨迹，主从直线轨迹的夹角也等于主从角。如下图：
那这个结论怎么才能用纲内知识得到呢？这就涉及到了直线型轨迹的奥秘了！刚才说圆弧轨迹的关键是确定圆心和半径两要素。其实直线轨迹也有两要素：即定线段和定夹角！！！什么意思呢，就是给定固定位置线段的一端点过这个端点以固定的夹角做直线，这样直线的位置和方向就是唯一锁定的，也就锁定了直线轨迹！ 当然直线上有无数点，也能联结无数线段，就姑且选最特殊的一种线段“垂线段”，看下图：瓜蒂A到两动点的直线轨迹的距离之比和夹角也是“定角定比”
垂线段的关键 又是什么呢？是垂足！如下图过定点A做主轨迹的垂线，垂足为H（简称主垂足），由H找到从轨迹的垂足即可
由于是“由主到从”所以将H点逆时针旋转45°，缩小根号2倍，得到从垂足J点。过J做垂直与AJ的直线即为从动点的轨迹直线（其实是线段啦因为主动点D有限制范围）
这里的从轨迹直线JE恰好经过主垂足H，只是特例巧合不具有一般性！
有了E的轨迹，那就易得，AE的最小值了（E，J重合时） 当然你会发现，其实这样找轨迹有点大费周章，所以在实际做题是一般直线型瓜豆采用转化法比较简单，而圆弧形瓜豆两种方法都可以采用！ 总结： 我们总结一下就是主动点，从动点，瓜蒂组成一个固定形状的三角形，主距点，从距点，瓜蒂，也是相同固定形状三角型，主动心，从动心，瓜蒂，也是相同固定形状三角型，瓜蒂+主XX+从XX 组成的三角形手拉手产生相似。 以上就是如何通过构造相似，把瓜豆原理，转为纲内的知识，大题写过程就可以放心的写了。 练习： 如下题是2018南通中考，就考察的这个知识点，大家可以练一练，如何构造，避免提瓜豆。 （定角？？度，定长比？：？）
解析点击放大：
（本集完） |
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