【原】九年级期中测试知识梳理和复习

比例线段和比例中项

1、如果a、b、c、d 四条线段成比例，那么a:b=c:d；

2、如果线段b是线段a和c的比例中项，那么；

     (区分和实数的区别，实数开平方后有两解)

3、注意2x=3y等价于x:y=3:2，(可以用比例的性质验证化简的结果是否正确)

黄金分割点

  等价于若P是AB的黄金分割点，其中AP>BP或AP是较长线段

三角形一边的平行线性质定理和判定定理

基本图形

三角一边的平行线的性质定理及其推论：

特别地，对于此类的比例线段的问题，要考虑点的具体位置，需要分类讨论，同时需要将▲ADE与▲ABC相似区分开。

三角一边的平行线的判定定理：

注意截线段和第三边成比例不能判定平行，即DE:BC=AB:AD，不能判定平行！

平行线分线段成比例定理

两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例

  当涉及到求DE、FG和BC长度时，可以过点E或点F作平行线：

相似三角形的判定定理和性质定理

相似三角形的判定定理主要有以下几条：

判定1：两角对应相等的两三角形相似；

性质2：两边对应成比例且夹角相等的的两三角形相似；(注意是夹角)

注意：蝶形相似或旋转相似的两个三角形，其中一组相似，另一组必相似，但是在写边的比例关系式需要“交换”。

蝶形相似：

共顶点旋转相似：

性质3：三边对应成比例的的两三角形相似；

性质4：直角边和斜边对应成比例的两直角三角形相似。

相似三角形的性质定理主要有以下几条：

性质1：相似三角形的对应角相等、对应边成比例；

性质2：相似三角形的对应角平分线之比、对应高之比、对应中线之比等于相似比；

性质3：相似三角形的对应周长之比等于相似比，对应面积之比等于相似比的平方。

       书写细节：

1、相似三角形性质的应用的前提条件是“相似三角形”，很多同学在运用时会忽略这个大前提，而直接书写，需要注意前提条件；

2、对于性质2的运用，很多同学在书写时会忽略“中线、高、角平分线”的条件，而直接书写“中线(高、角平分线)之比等于边之比”，这样的逻辑段也是不成立的，因此在书写时，首先先证明三角形相似，再罗列高、中线、角平分线等条件，最后得到相关比例式。

3、对于性质3，很多同学会忽略“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，还有在开平方和平方时，思路不清，因此在书写时不能跳步，按照完整的书写顺序推进，同时注意写法的规范性，即先证明三角形相似，再运用“面积比等于相似比的平方”和“周长比等于相似比”，先写字母表达式再代入数字。

平面向量及其线性计算

锐角三角比和解三角形

锐角三角比的意义：

      对于求一个角的锐角三角比，主要有以下三种途径：

      途径1：寻找这个角所在的直角三角形，直接求解；途径2：当没有现成的直角三角形时，构造直角三角形，往往借助等积法求高；途径3：利用“等角的三角比相等”，寻找或构造等角。

特殊角的锐角三角比：

在计算题中，可以先将下面的表格默写在草稿纸上，避免记忆的错误。

格点三角形：

类型1：直角三角形中求某个角的锐角三角比(先判定再计算)

类型2：等腰三角形中求某个角的锐角三角比(三线合一定理做底边垂线)

类型3：一般三角形中求某个角的锐角三角比(等积法)

几何证明和计算中的典型模型

01

平行型(A/X型基本图形)

A型或X型基本图形是最为常见的基本图形，其难点并不在于列出比例关系，而是在复杂图形中发现这两个基本图形，同时合理添加辅助线构造基本图形。A与X型混合模型也是常见的基本模型，其推论可以关注。

隐藏在四边形中的平行型基本图形

ABCD是平行四边形，左右两张图中有2组X型基本图形。

如左图：DE:BC=DF:BF=EF:CF；如右图：AB:DE=AF:EF=BF:DF；但是右图中的X型基本图形常常会被忽略，因此当出现平行线及X型基本图形时，列出比例线段即可。

燕尾三角形

02

斜A型和斜X型基本图形

斜A型基本图形往往在直角三角形中运用较多，解决的路径往往借助“同角(等角)的三角比相等”。对于斜X型基本图形在证明是需要注意“对应边成比例”，尤其证明2次相似时需要各位注意。

03

子母三角形和一线三等角模型

04

双垂直模型和射影定理

目前，与相似三角形和比例线段相关的基本模型如下：

（以上模型点击图片即可跳转链接）

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