量子力学的二次量子化形式

​

二次量子化由狄拉克研究光子时引入，随后由约旦（Jordan）和克莱因（Klein）扩展到有质量玻色子，由约旦和魏格纳扩展到费米子。

这种形式起重要作用的是生成和湮灭（粒子）算符。其发展与量子场论有关，在量子场论中这些作用（生成／湮灭）是真实的物理效应。例如，一个电子和一个正电子湮灭生成一个质子。

不过这种形式却有着广泛的应用领域，特别是可以应用到系统包含大量全同粒子的多粒子理论当中。

这种形式不幸的名字要归因于历史原因——是站在非相对论量子力学的角度起的名字，更好的名字应该叫“占有数形式”。

二次量子生成算符会在量子态|ψ⟩ “生成”一个粒子。单粒子态是由作用到一个没有粒子的态（真空态）|0⟩上形成的。因此下面这几个不同的表示都是描述的相同的单粒子态：

所以如果只考虑单粒子体系的话，二次量子化形式和波函数形式是等价的。

多粒子体系会怎么样呢？假设|ψ⟩，|ϕ⟩和|χ⟩是正交的单粒子态。那么一个具有两个全同粒子的态是由真空态生成两个粒子产生的，例如。

如果这两个全同粒子是玻色子，那么：

如果是费米子：

这说明了一个广义的规则：玻色子生成算符满足对易关系：

费米子生成算符满足反对易关系：

这里反对易标记{A, B} = AB + BA，二次量子化标记在多粒子体系中的有明显的优势。

很多物理学家同意下面这两个式子是等价的：

显然用第一个更简单。

如果还没感觉，可以看看下面这个对比：

其等价形式为：

当然二次量子化最大的优点还不仅仅是使标记变得简洁。

波函数形式允许你——事实上，它很容易使你——写下这样的表达式：

这个表达式在交换下既不是对称的也不是反对称的，所以这个表达式不会是任何全同粒子的量子态。

但波函数形式并没有提供任何明显的警告说这个表达式是不合法的。而作为对比，在二次量子化形式中，根本就不可能写出一个像上面这样的表达式。

对称性（或反对称性）会通过生成算符的对易关系（或反对易关系）自动具备，所以在二次量子化形式中只有合法的态才会被表达。由于这个原因，二次量子化形式在多粒子理论中被广泛的使用。

文章摘录于：硬核预警：量子力学的九种形式