「贝叶斯均衡」我是怎么追到一个女生的？

在聊贝叶斯均衡之前，我们先来介绍一下贝叶斯公式。

A

频率派和贝叶斯学派

首先贝叶斯公式，是为了解决概率问题。

所谓概率，就是一件事情发生的可能性。

这个概念在生活中是很重要的，比如考上研的概率，相亲成功的概率，中彩票的概率，这世界上一切迷人的东西，都带有一定的不确定性。

那我们怎么得到一件事情发生的概率呢？

传统的方法叫频率派。

比如你去买彩票，买了100张，中了1张，这里中奖的频率就是1%。

当然频率并不等同于概率，根据大数定理，当样本无穷大时，频率才无限趋近于概率。

所以如果家里很有钱，我可以一直买彩票，买1万张，最后发现中了98张，推算出中奖的概率大约就是1%。

这样的方法很好理解，也是很科学的，所以用了上百年，一直到现在仍然被广泛运用。

但是这个方法也是有局限性的，我们只有积累了一定数量的样本，才能得到真实的概率，比如扔硬币，有可能扔五次都是正面，难道说明出现正面的概率是100%吗？

在现实生活中，很多事情并没有很多的现成数据，比如一种新发现的病毒（新冠），一种新的商业策略，怎么来判断概率呢？只能靠瞎猜吗？

这就需要贝叶斯学派了。

B

举个例子

我们举个例子，比如你认识了一个女孩子，你很喜欢她，但是你不确定她是否喜欢你，不知道是否应该去表白。

如果她喜欢你的概率很高，你就会去表白，如果喜欢的概率不高，那就算了。

按照频率派的观点，我们应该去表白很多次，看看成功几次，才能得到女生喜欢我的概率，但这明显是不现实的。

而贝叶斯学派的观点是，我先估计一个她喜欢我的初始概率，然后每次根据出现的新情况，掌握的新信息，对这个初始概率进行修正，随着信息的增多，我就会慢慢逼近真实的概率。

用公式表达为：

后验概率 = 先验概率 x 修正因子

说白了，就是先根据经验，给出一个判断（先验概率），当有了新情况后，我原来的看法会改变，新情况和自己的预期一致，就强化原来的看法，否则就弱化。

首先我给出一个女生喜欢我的概率，因为自己也不确定，所以我猜是50%左右。

然后有一天，女生遇见我的时候主动打招呼，这件事强化了她喜欢我的概率，喜欢的概率到了60%。

又过了几天，她主动对我笑，这件事进一步强化了她喜欢我的概率，到了70%。

又过了几天，我发现她不仅主动和我打招呼，也主动和其他男生打招呼，喜欢的概率又降到了65%左右。

又过了几天，我约她出去玩，她很开心，并且打扮的很漂亮，喜欢的概率又到了75%左右。

就这样，我慢慢修正她喜欢我的概率，最后的结果无限接近于80%，我感觉问题应该不大，找了一天和她表白了，最后果不其然，我们在一起了。

C

贝叶斯公式

在了解了基本思想后，我们还是用数学来表达：

其中，P(A)称为'先验概率”，也就是在不知道B事件的前提下，我们对A事件概率的一个主观判断。

对应这个例子就是，在没有什么信息的时候，我主观判断这个女生喜欢我的概率（50%）。

P(B|A)/P(B)称为“修正因子”，也就是新信息B带来的调整，作用是将先验概率调整到更接近真实概率。

如果修正因子P(B|A)/P(B)>1，意味着'先验概率'被增强，事件A的发生的可能性变大；

如果修正因子=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；

如果修正因子<1，意味着'先验概率'被弱化，事件A的可能性变小。

在这里例子中，女生主动打招呼，对我笑，出去玩打扮的很漂亮，都是修正因子，可以帮助我修正之前的判断。

P(A|B)称为'后验概率”，即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。

在这个例子中，经过很多信息的修正，最后得到的概率是80%，我勇敢向她表白，最后成功了。

D

有啥子用呢？

贝叶斯公式的意义不言而喻，它完美的解决了频率派需要很多样本的问题，我不用等样本累积到一定程度，先猜一个就行动起来了，因为我可以一直去修正。

很多事情之所以会失败，就是因为我们一直在犹豫，我们不知道这么做到底对不对，一直在思考但久久不敢动手。

但是贝叶斯定理告诉我们，不要再犹豫了，当信息不完备时，大胆假设，快速调整，利用新的信息不断修正原来的预判，我们最后得到的一定是正确的结果。

这贝叶斯公式中，初始概率和修正因子都很重要。

初始概率越准确，我们就能越容易、越快速的得到真实的概率。

而如何获得相对靠谱的初始概率，它需要你的经验、深度思考，这也是我们学习和思考的意义。

除此之外，修正因子也很重要，修正靠的是信息，信息的收集，信息的质量，以及对信息的判断，是提高决策水平的最重要环节。

只要有新信息，就可以修正，哪怕初始判断错了，新信息足够多，也能修正过来。

所以，21世纪是信息的时代，现在最火的就是大数据，只要有了数据，一切都不成问题。

总而言之，贝叶斯公式有着很重要的价值，随着计算机技术的进步 的发展，现在的人工智能、图像识别、机器翻译等，背后无不采用了贝叶斯方法。

值得一提的是，在经济学中有一个理性预期学派，用的就是这个思想，民众会对经济指标有一个自己的预期，然后根据实际情况不断修正自己的预期，那么在长期来看，这个预期和真实的情况一定是相符的。

E

贝叶斯纳什均衡

在了解了贝叶斯公式之后，贝叶斯纳什均衡就很简单了。

我们之前说过，博弈可以分为完全信息博弈和不完全信息博弈。

不完全信息博弈又被称为贝叶斯博弈。

而不完全信息，主要体现在参与人的策略是类型依存的，而参与人不知道别人的类型，因此也不知道别人的策略选择。

参与人通过估计别的参与人类型的概率（称为“先验概率”，意思是在博弈进行之前就获得的有关其他参与人类型的不完全信息），形成自己的“信念”，即在信息不对称下，博弈的一方基于对手行为对其“类型”进行的推测。

并因此预测其他参与人选择的策略，通过计算给定自己选择的策略下获得的平均支付，来决定自己的策略选择。

如果所有参与人都是这样选择自己的策略，给定其他参与人的策略，每一个参与人的策略都是这种意义上的最优策略。我们就称为“贝叶斯纳什均衡”。

举个例子，比如有两个同学，小美和小明，小美学习很好，而小明学习不好，他们两个人都爱上课说话（可能是互相喜欢对方？）。

对于老师来说是信息不对称的，也就是老师并不知道他们两个谁爱说话。

但是老师有一个信念，那就是学习好的同学上课不会主动说话，学习不好的同学经常说话。

因此，一旦他发现这两个人在说话，他会认为是小明主动找小美聊天，所以会处罚小明，而不会处罚小美。

既然是这样，那么小明和小美的最优策略是什么呢？

小明知道，无论是我主动找小美说话，还是她找我说话，最后处罚的都是我，那我还管那么多干嘛，想说话就说话，开心就完了。

而小美会想，我还是别说话了，因为如果哪次老师看见是我主动说话的，那么老师会认为我也爱说话，以后就不会偏袒我了。

这就是贝叶斯均衡，最优策略和信念达到了一致，本来是两个同学都爱讲话，由于老师的信念，导致小明更多的说话，小美更少说话，这一现象又会继续强化老师的信念。

A对B的策略有一个信念，在A执行了策略之后，B观察到A的行动，更新了B的信念。

然后B做出最优反应策略，而B的反应策略本身又恰恰证明了A当初的行动策略也是最优的。

而B采用的这个最优行动策略也恰恰符合了A当初的信念，换句话说，A的信念确实完美的推测了我的行为策略。

这个时候信念和策略都不会单方面做出改变:

1.如果策略变了，意味着如果信念不变，改变策略的人收益会减少。

⒉如果信念变了，而策略没有变，改变信念的人的收益同样会减少。