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新教材里潜在的高考题系列43:向量三角形不等式与将军饮马

 左勤高考数学 2022-11-18 发布于天津
新教材好文系列继续,今天说说教材里的向量三角不等式

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何谓向量三角不等式?
人教A版新教材必修第2册第60页,选择题的第2题:
此题设计的目的,是描述向量这一章里的不等关系:
  1. 数量积的绝对值不大于模的乘积;
  2. 两向量相加的模不大于两模相加;
  3. 两向量相减的模不小于两模相减.

后两点从图形上看,是显而易见的.
如上图,在三角形OAD中,OD<OA+OD;
在三角形OAB中,AB>OA-OB.
本质上就是,初中学过的:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
极端情况,当它们共线时取到等号(注意同向还是反向).
这个不等关系,曾经是过去多年浙江高考数学卷平面向量小题的命题思路.
试举一例,2014年浙江高考数学卷的向量真题:
写留言,留下你的答案.
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用向量三角形不等式代替将军饮马
初中和高中都会遇到一类问题,称为将军饮马问题.
简而言之,就是将军在B处,要到河边上一点C处饮马,然后回到营地A处,如何选择点C使得全程路程最短?
这种套路题,朋友们都会——做对称点,连起来,完事.
高中考将军饮马问题,不会那么直接,通常以下面这种形式委婉地考察.
解决办法嘛,当然就是把它还原为将军饮马问题,还回去,变成熟悉的问题.
可是,我们有了向量三角不等式之后,问题被简化了.
注意:要检验取等条件,不仅要求共线,有的题目要求反向,有的要求同向,要看清楚.
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《导数综合要你命》第七章、第八章都讲了些神马?
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