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张文俊教授:为什么要学习数学

 优优的爸 2022-12-02 发表于河南


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图灵机的艺术表示

序 

前不久,深大 92 级校友 G 先生告诉我,文山湖推出了“文山湖体育平台公众号”,目的是为三十六万深大校友们提供一个交流平台。在这个平台上,除体育外,还将设立 “科普”、“教育”等多个板块,其中教育板块是要为“湖二代”的学习提供一些帮助。

为此,G 先生请我写一篇适合孩子思考的启发性、趣味性的数学科普文章,并在教育板块“首发”。作为深大老师,我当然义不容辞。但是却迟迟不敢动笔,主要原因是作为一个板块的首发文章,责任重大,不能只考虑启发性、趣味性,更要考虑全板块的结构体系,有可持续性——这需要通盘考虑。

要向孩子们谈数学教育,恐怕离不开什么是数学、为什么要学数学、如何学数学等基本问题,然后才是具体的数学知识、思维方法、思想观念等。但是,由于大家对“什么是数学”都有一个顾名思义的基本认识,而更高层次的认识需要一定的基础铺垫,所以,我就避开谈论什么是数学,直接从“为什么要学数学”这个问题出发谈谈个人的观点,希望能起到抛砖引玉的作用。

众所周知

古今中外,在学校教育的各个阶段,数学都是必修科目;在中考、高考和许多专业的研究生招生考试中,数学都是必考科目。

为什么人们对数学如此重视?为什么一定要学习数学?要回答这个问题,可以有许多理由,这里我只提出三点:

数学是问题解决的工具,

是学业发展的基础,

更是启迪智慧的钥匙

01

数学是问题解决的工具

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宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学。

——中国现代著名数学家华罗庚 (1910-1985)

事实上,数学在人类生活、生产、科学、技术、经济、管理等各个领域都有着极其广泛的应用价值。这取决于数学的研究对象、内容和方法的独特性。

一方面,数学所研究的数与形是世间万事万物共同的存在形态、规模(大小等)、程度(轻重、稀薄、色度等)和位置(顺序等)的表达元素,万事万物的发展、变化及其关系也都从根本上表现为数的变化、形的变换及其关系,因此从本质上看,数学与一切事物的生存与发展密切相关;

另一方面,数学定量的研究方法,逻辑的思维方式,决定了数学方法的可靠性和数学结论的正确性,使得人们可以放心通过数学来解决问题。

概括来讲,世界是物质的,物质是运动的,运动是相互联系的,这种相互联系的物质运动大都可以被数学家抽象为以数量之间的变化关系为基本特征的数学模型。

数学模型是人类认识与改造世界的一个基本手段,一个模型可能来自于某一个具体事物或现象,但可以应用于无穷多种其它相关事物或现象。

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希腊划时代数学家欧几里得(前325-前265)与几何原本

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A.欧几里得十二面体          B.血红蛋白立体图

数学方法在人类生活、生产、金融、经济、管理和科学技术研究中具有举足轻重的作用和地位:

1

提供简洁精确的形式化语言,使问题变清晰;

2

提供数据处理(搜集、计算、对比、分析)手段,使问题变精确;

3

提供逻辑推理的工具,得到科学可靠的判断、预测和决策。

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《九章算术细草图说》(东汉)

现存最早的中国古代数学著作之一

自古以来,人类生活直接或间接受益于数学,数学之于人类生活恰似氧气之于人类生命。人类生活直接受益于数学至少表现在以下几个方面:提高效率、优化生活、解释疑问、理智判断。作为例子,我们看看数学在生活、商业、管理、决策中对人类有什么帮助。

例1.

洗衣问题:洗衣服通常有两个环节:漂洗和清甩,前者把污渍从衣服上洗脱入水,后者将水甩掉以保证污渍脱离衣服。

但不管怎样都会残留水分,也就必然残留污渍。假设给定 20 升水,适量洗涤剂,洗涤后残留水分 1 升,如何使衣服洗得更干净?

简单的算术告诉我们,如果 20 升水一次用完,则最后残留污垢 1/20;但如果分两次加水,分别用 15 升和 5 升,则最后残留污垢 (1/15) ×(1/6) = 1/90;同样是分两次加水,但分别用 10升和 10升,则最后残留污垢 (1/10) ×(1/11) = 1/110。

可见,次数不同或者不同的加水组合会产生非常不同的效果。

例2.

抽奖问题:假设某种抽奖活动有 10%的中奖率,下面两件事情,你认为何者更容易发生?

A.抽取一次就中奖;               

B.连续抽取20次均不中奖。

一般人会认为,A 会更容易一些,因为一次中奖的可能性为 10%,而连续20 次都不中奖似乎几乎是不可能的,甚至有人认为连续抽 10 次就应该有一次中奖。

其实,答案是:B 发生的可能性更大。理由是,抽取一次中奖的可能性为10%,从而抽取 1 次不中奖的可能性为 90% ,因此连续抽取 20 次均不中奖的可能性为(90%)20 = 12.16% > 10% (抽取一次中奖的可能性)。

例3.

促销与定价问题:近期去龙华 8 号仓奥特莱斯买衣服,发现SKECHERS 店打出“买 2 件打 7 折,买 3 件打 5.5 折”的促销宣传,请问该店商品的最高成本是多少?

根据这个信息,容易算出,其成本最高不超过 2.5 折,否则一次卖 3 件就不如一次卖 2 件,促销也就失去了意义。

遗憾的是,就这个问题,我去问一位中学数学教师和一位银行理财经理,前者算出是 3.25 折,后者算出是 4 折。

这说明,许多人对数学学习真正的意义并不了解,只会解题,不会解决问题。

例4.

选举问题:在一个 40 位同学组成的班上,要选出一位班长。现在有3 个候选人 A,B,C,班主任通过民意测评得出对三位候选人的排序如下(A 好于 B 记作 A>B):12 人认为 A > B > C;7 人认为 A > C > B;7 人认为 B > C > A;14 人认为 C > B > A。基于这些信息,请问谁能当班长?

如果采用每人投一票,票数最高者当选,则结果为

A19票 >C14票 >B7票,当选;

如果采用多轮投票,逐轮淘汰,则首轮淘汰 B,对 AC进行二次投票,则结果为

C21票 >A19票,当选。

为了避免票数分散,最高得票数难以过半,也可以每人投 2 票(投出你心目中的前两名),获绝对多数者获胜,则结果为 

B33票 >C28票 >A19票,当选。

从中我们可以看到,在同样的条件下,不同的选举方式可以得出完全不同的结果。

在选举或评比中,有时候为了避免候选人差距不大而投票时难以取舍的局面,也经常采取打分的方式进行。但是打分时又可能因不同的选举人或评委打分标准不同而造成不公,所以要进行某种限定:比如限定给你心目中的第一、二、三名各打多少分。那么这样是否就能保证公平?

我们再回到刚才的场景看一看:

若规定给第一二三名分别打 3,2,1 分,则结果为 

C82分 >B80分 >A78分,当选;

若规定给第一二三名分别打 3,1,0 分,则结果为

A57分 >C56分 >B47分,当选;

若规定给第一二三名分别打 10,8,5 分,则结果为 

B313分 >C312分 >A295分,当选。

可见,虽然每一种分值的设定都是合理的,但结果却完全不同。

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概率论与数理统计学在数据分析的应用

02

数学是学业发展的基础

与其它课程相比,数学具有基础性。数学的学习质量,不仅影响着数学科目自身的后继学习,也对物理、化学等其它科目的学习以及未来理工农医经管法等专业的学习产生直接和深远影响。数学不仅是一些知识,也是一种工具、一种语言,更是一种思维方式,它孕育并推动着其它科学的产生与发展,被誉为科学之母,也是科学之仆

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法国数学家、天文学家

约瑟夫·拉格朗日

(1736-1813)

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法国数学家

索菲·热尔曼 (1776-187)

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索菲·热尔曼在实验中绘制的图形,来源:Journal  de  lEcole  Polytechnique

从数学内部来讲,数学知识的层次性是极其鲜明的,不学前面的数学,就无法学习后面的数学。不懂自然数的加减乘除运算,就无法学习有理数的运算,更无法学习代数式的运算。数学中的每一步都来得相当自然、相当简单,但累积下来就是一座摩天大楼,其中每一步的缺失都会造成大楼的坍塌。这一点在实践上想必各位都深有体会,在数学课堂中,不要说连续缺几节课,即便是在数学课上打个盹儿,醒来可能就跟不上了!

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“科学需要实验,但实验不能绝对精确。如有数学理论,则全靠推论,就完全正确了,这是科学不能离开数学的原因。许多科学的基本观念,往往需要数学观念来表示。”

——  美籍华裔数学家陈省身(1911-2004)

从数学与其它科学的关系来讲,伟大导师马克思说:“一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步。数学作为一种语言,它是描述自然与社会现象的通用语言,其它科学需要借助数学的语言去表达;数学作为一门科学、一种工具,其结论往往可以直接用来解释物理等其它科学现象,其方法也常常用来解决相关科学问题。

回顾科学发展史,一些划时代的科学理论成就的出现,无一不是借助于数学的力量:物理学上电磁波的发现、牛顿力学原理、爱因斯坦相对论、霍金宇宙大爆炸理论和黑洞学说的建立、天文学上哈雷慧星、海王星的发现、现代电子计算机的产生与发展、现代军事通讯中的密码理论等。

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美国“地理学之父 萨缪尔·摩尔斯 (1791-1872)

摩尔斯密码,发明于1837年,一种早期的数字化通信形式

借助数学,牛顿发现了万有引力,从而宇宙间日月星辰的运动被初步地解释了,力学规律也逐渐清楚了;利用数学,爱因斯坦创立了狭义与广义相对论,从而实现了时间与空间统一、物质与运动统一、质量与能量统一的大宇宙观;依靠数学,使得卫星能够上天,宇宙飞船遨游太空,宇宙变小了;通过数学,冯·诺伊曼(Von Neumann, J.1903-1957)发明了计算机,从而使人类进入了飞速发展的信息时代,现代军事通讯中可以公开密钥而并不担心因信息的被截取而失密……

在科学、技术等相关领域的突破,往往卡脖子问题的本质就是数学,在当今信息时代,情况尤为突出。

因此,要想学好物理等其它科目、其它专业,必须先学好数学。

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法国数学家、物理学家

约瑟夫·傅里叶(1868-1830)

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傅里叶变换在光谱学、数字成像上的应用

03

数学是启迪智慧的钥匙

在许多人的印象中,数学就是数的运算和图形的性质,具体表现为一些抽象的概念、定理、公式和法则等。

然而,这种认识是极其片面的。数学的概念、定理等只是一些静态的数学知识,它们以显性的形式呈现在各种数学教科书中,造成了“它们就是数学的全部”的假象。

其实,数学更重要的内容是:在这些概念的建立过程、定理的发现与论证过程中所形成的数学的独特思维方式和思想方法。

这些思维方式和思想方法,不仅帮助人类思考与解决各个领域的现实与科学问题,也形成了一种独特的品格和理性精神,影响着人类的世界观和价值观。这些都需要在学习数学的过程中来获得与提高。

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查尔斯·达尔文(1809-18882)

英国生物学家,进化论的奠基人 

“任何新发现在形式上都是数学,因为我们没有其他引导。“

数学本身是一种思维,它代表了一种智慧,也能够启迪智慧。通过数学学习,我们要学会如何观察、如何思考和如何表达。

数学观察的独特性在于抽象。数学是抽象的,但它却可以用来解释和解决现实世界的各种问题。原因就在于,用数学的眼光去观察世界,关注的是事物的本质、共性、规律和联系。

当数学家看到两个苹果、两个梨以及其它任何两个事物的时候,他的心中只抽象出一个数字 2,从此他便可以用 2 来记录与思考所有与此相关的事物;

当数学家看到 2 个苹果与 3 个苹果放在一起构成 5 个苹果,2 个梨与 3 个梨放在一起构成 5 个梨的时候,他的心中就抽象出一种运算2 + 3 = 5,从此他便可以用2 + 3 = 5来记录与思考所有与此相关的事物;

当数学家发现先放 2 个苹果、后放 3 个苹果与先放 3 个苹果、后放 2 个苹果其结果都是 5 个苹果的时候,他的心中就抽象出一种关系2 + 3 = 3 + 2;

不仅如此,还有5 + 8 = 8 + 5,9 + 7 = 7 + 9等等,从此他便抽象出一种运算法则——加法交换律:𝑚+ 𝑛= 𝑛+ 𝑚,再后来就据此形成了一门学科——群论,用它可以研究这个世界上更为广泛的现象。

数学思考的独特性在于既重视合情推理(归纳、类比等),更重视演绎推理,合情推理找方向,演绎推理定结论,二者相辅相成。

当数学家试图去寻找一系列事物的发展趋势时,他只需要观察其中几个特例,通过思考发现可能正确的一般规律,比如从1 + 3 = 4 = 2, 1 + 3 + 5 +=9 =3, 猜想一般的有1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) =𝑛,这就是归纳。

当数学家用一种方法解决了一个具体问题时,他会用类似的方法去解决其它更多类似的问题,通过对比两个事物在某些方面的相同或相似之处,去推测它们在其它方面也可能相同或相似。比如,扇形与等腰三角形类似,人们就可以通过等腰三角形的面积公式推测出扇形的面积公式,这就是类比。

归纳与类比在一定程度上依赖于感觉,属于合情推理。其推理结果未必正确,但它为人类获得正确结论提供了合情的方向,具有创造性。

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列奥纳多·达·芬奇(1452-1519)

意大利文艺复兴时期画家、自然科学家、工程师

“人类探索如果不能用数学表达,就不能真正称之为科学”

演绎推理是一种理性的逻辑思维,其基本结构是三段论:

大前提:一个已知的一般正确结论;

小前提:对一个特殊对象已知的正确结论;

结论:对这个特殊对象给出的新结论。

比如,

大前提:人总是要死的;

小前提:张三是人;

结论:张三是要死的。

数学结论的正确性要靠演绎推理。这个逻辑清晰的三段论是确立数学结论的唯一可靠的推理方法。当然,有时候你会看到,一些数学结论是靠数字或符号推演得到的,但本质上那些过程也是演绎推理,这里就不去分析了。

数学表达的独特性在于符号化、模式化。

数学是抽象化的产物,它脱离了具体的物质属性,需要自己的表达方式。符号化、模型化是数学表达的主要手段。用符号来表达数学的对象,用模型来表达数学对象之间的关系,使得数学可以用符号语言进行简洁清晰、符合逻辑的推演,这是数学结论可靠性与普适性的基础。

比如,在具体解决现实世界中的数量关系问题时,提出一个问题,就要设定一个未知量,引入一个符号;给出一个条件,就确定了一种关系,就可以列一个方程(模型);为了解决这个问题,就需要通过求解这个方程,确定未知量的值。

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艾伦·麦席森·图灵(1912-1954)

英国计算机科学家、数学家、逻辑学家、密码分析学家和理论生物学家,他被誉为计算机科学与人工智能之父。

相比于计算问题,数学教育最重要的价值在于数学思维能力的培养。一个人走向社会,其最有效的数学素养也表现为数学思维能力。这一观点,可以从

有关招聘和选拔测试问题中得到佐证。纵观各级(初中、高中、大学、研究生)自主招生及职场招聘考试(公务员、跨国公司),你会发现大量考查思维能力的问题。

这说明,人才选拔标准以及社会对人才的评价标准已经悄悄发生变化:更加关注思维而不是知识。

数学思维能力的价值还在于,我们在处理日常生活、工作中的问题时,对事物发展方向的预测、判断及调控能力。

在任何情况下,事物的发展总有因果关系,可能一因多果,也可能多因一果,在许多情况下具有可变性、可塑性与可控性。理性的数学思维能通过数据变化等因素对发展趋势进行预测与调控,对发展结果进行判断与决策。

以上是我对为什么要学习数学的个人观点,限于篇幅,也囿于对读者对象多样性的考虑,未能展开,也未能给出更多的例子。作为引子,供后续结合相关实例进一步讨论。

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