 一，八年级上册数学课本上例题。 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各角的度数。 解：按解答数学题的一般步骤，设未知数、列等式、解方程。 ∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角)。 设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而，∠ABC=∠C=∠BDC=2x。 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°， 所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 评：这题好像没什么特别，是吧？但有没想到这三角形是很美很特别的三角形？角的度数很巧妙，BC/AB=DC/AD，这比值又是黄金比例。  二，黄金分割数 我们常说一个人的身材比例很完美，大概符合，上身（腰以上）与下身的高度比，等于下身与全身的高度比。这个高度比是多少？ 把问题一般化，如图，在线段AB上找一个点C，把AB分成AC和CB两段，其中AC为较小的一段，现要使AC∶CB=CB∶AB。 为简单起见，设AB=1，CB=x，则AC=1－x。 代入AC∶CB=CB∶AB， 即(1－x)∶x=x∶1， 也即x+x-1=0。解方程，得x=(-1±√5)/2。 根据问题的实际意义，这比值是正数，取x=(-1+√5)/2≈0.618,这个值就是上面问题中所求的高度比，即黄金分割数。 如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短的一段与较长的一段的比也是黄金分割数。   三，在正五角星中存在黄金分割数， 可以证明其中 MN/NB=BN/BM=BM/BE=MN/AN=(-1+√5)/2, （思考，怎样证明上述比例符合黄金比例） 容易证明五边形MNIKJ为正五边形，∠A=36°,△ANM与上文中的△ABC相似，足见正五角星的完美。   四，求sin18°的值。 在初中数学知识范围内，要求求解三角函数值的，一般都是特殊角，30°、45°、60°，如sin30°=1/2，怎么求解sin18°呢？ 显然，可以利用上文△ABC或正五角星中出现的36°， 在△ABC中，过点A做BC的垂线，交BC于点F，BC/AB=黄金分割数， 则假设BC=-1+√5，AB=2， 则BF=(-1+√5)/2， sin∠BAF=sin18°=BF/AB=(-1+√5)/4。   五，按尺规作图要求，作正五角星。 提示：勾股定理，作√5；再参考上文内容，黄金比例数。 |
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