2019高考100题之066(解三角形3)

       分析：

       该题最简单的做法是面积法.

       ΔABC的面积为(2×3×sin60^o)/2=3√3/2,

       ΔABD的面积为(3×AD×sin30^o)/2=3AD/4，

       ΔACD的面积为(2×AD×sin30^o)/2=AD/2.

       所以3√3/2=5AD/4，即AD=6√3/5.

       2018年江苏卷也考了这么一道题：

       在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∠ABC=120^o，∠ABC的平分线交AC于D，且BD=1，则4a+c的最小值为        .

       分析：

       同上题一样，由面积可得：

       (a×c×sin120^o)/2

       =(a×1×sin60^o)/2+(c×1×sin60^o)/2,

       化简得ac=a+c，即1/a+1/c=1.

       所以4a+c

       =(4a+c)(1/a+1/c)

       =5+4a/c+c/a≥9，

       当且仅当c=2a时取等号.

       教材P5-例2证明了角分线的一个性质定理：

       在ΔABC中，∠BAC的平分线交BC于D，求证：BD/DC=AB/AC.

       分析：

       教材是利用正弦定理证明的：

       因为AB/BD=sin∠ADB/sin∠BAD，

       AC/CD=sin∠ADC/sin∠CAD.

       而sin∠ADB=sin∠ADC，

       sin∠BAD=sin∠CAD.

       可得AB/BD=AC/CD，即AB/AC=BD/DC.

       但其实这个结论初中就可以轻松证明：

       可以过C作AB的平行线交AD的延长线于G，易证AC=CG，由相似易得证.

       或者D到AB和AC的距离相等，由面积法也可以证明，也可以直接利用高中阶段的面积公式证明.

       总之，这个结论大题不可以直接使用，但是大家要能够做到快速证明.

       所以上题可以知道BD/DC=3/2，

       所以向量AD等于2/5倍的向量AB加上3/5倍的向量AC，平方即可求出AD.