高中数学竞赛讲义（七） ──解三角形

高中数学竞赛讲义（七）

──解三角形

一、基础知识

在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。

1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。

推论1：△ABC的面积为S_△ABC=

推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.

推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，则a=A.

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S_△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。

2．余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD²=      （1）

【证明】  因为c²=AB²=AD²+BD²-2AD·BDcos，

所以c²=AD²+p²-2AD·pcos       ①

同理b²=AD²+q²-2AD·qcos，      ②

因为ADB+ADC=，

所以cosADB+cosADC=0，

所以q×①+p×②得

qc²+pb²=(p+q)AD²+pq(p+q)，即AD²=

注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式

（2）海伦公式：因为b²c²sin²A=b²c² (1-cos²A)= b²c² [(b+c)-a²][a²-(b-c) ²]=p(p-a)(p-b)(p-c).

这里

所以S_△ABC=

二、方法与例题

1．面积法。

例1  （共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是

【证明】P，Q，R共线

(α+β)=uwsinα+vwsinβ

，得证。

2．正弦定理的应用。

例2  如图所示，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。

求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

【证明】  过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=360⁰可得BAC+CBA+ACB=180⁰。

所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=60⁰。

所以EDF=60⁰，同理DEF=60⁰，所以△DEF是正三角形。

所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证：

例3  如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O₁，⊙O₂相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。

【证明】  延长PA交GD于M，

因为O₁GBC，O₂DBC，所以只需证

由正弦定理，

所以

另一方面，，

所以，

所以，所以PA//O₁G，

即PABC，得证。

3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.

例4  在△ABC中，求证：a²(b+c-a)+b²(c+a-b)+c²(a+b-c) ≤3abc.

【证明】  令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则

abc=(x+y)(y+z)(z+x)

 

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a²(b+c-a)+b²(c+a-b)+c²(a+b-c)-2abc.

所以a²(b+c-a)+b²(c+a-b)+c²(a+b-c) ≤3abc.

4．三角换元。

例5  设a, b, c∈R⁺，且abc+a+c=b，试求的最大值。

【解】  由题设，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,

则tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos²γ≤，

当且仅当α+β=，sinγ=，即a=时，P_max=

例6  在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a²+b²+c²+4abc<

【证明】  设a=sin²αcos²β, b=cos²αcos²β, c=sin²β, β.

因为a, b, c为三边长，所以c<, c>|a-b|，

从而，所以sin²β>|cos²α·cos²β|.

因为1=(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca),

所以a²+b²+c²+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).

又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)

=sin²βcos²β+sin²αcos²α·cos⁴β·cos2β

=[1-cos²2β+(1-cos²2α)cos⁴βcos2β]

=+cos2β(cos⁴β-cos²2αcos⁴β-cos2β)

>+cos2β(cos⁴β-sin⁴β-cos²β)=.

所以a²+b²+c²+4abc<

三、基础训练题

1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=，则cosAcosB的最大值为__________.

2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则的取值范围是__________.

3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB，则△ABC的面积为__________.

4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则=__________.

5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件.

6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A的取值范围是__________.

7．在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=__________.

8．在△ABC中，“三边a, b, c成等差数列”是“tan”的__________条件.

9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________.

10．在△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC为__________角三角形.

11．三角形有一个角是60⁰，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。

12．已知锐角△ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：△MNC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。

13．已知△ABC中，sinC=，试判断其形状。

四、高考水平训练题

1．在△ABC中，若tanA=, tanB=，且最长边长为1，则最短边长为__________.

2．已知n∈N₊，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有________个.

3．已知p, q∈R⁺, p+q=1，比较大小：psin²A+qsin²B__________pqsin²C.

4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△ABC 为__________角三角形.

5．若A为△ABC 的内角，比较大小：__________3.

6．若△ABC满足acosA=bcosB，则△ABC的形状为__________.

7．满足A=60⁰，a=, b=4的三角形有__________个.

8．设为三角形最小内角，且acos²+sin²-cos²-asin²=a+1，则a的取值范围是__________.

9．A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北30⁰方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。

10．求方程的实数解。

11．求证：

五、联赛一试水平训练题

1．在△ABC中，b²=ac，则sinB+cosB的取值范围是____________.

2．在△ABC中，若，则△ABC 的形状为____________.

3．对任意的△ABC，-(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为____________.

4．在△ABC中，的最大值为____________.

5．平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|=，C，D为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。记S_△ABD=S，S_△BCD=T，则S²+T²的取值范围是____________.

6．在△ABC中，AC=BC，，O为△ABC的一点，，ABO=30⁰，则ACO=____________.

7．在△ABC中，A≥B≥C≥，则乘积的最大值为____________，最小值为__________.

8．在△ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则=____________.

9．如图所示，M，N分别是△ABC外接圆的弧，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。

10．如图所示，P，Q，R分别是△ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。

11．在△ABC外作三个等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断△ABC的形状。

 

六、联赛二试水平训练题

1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQBC，Q为垂足。求证：，此处=B。

2．设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H₁，H₂（不重合）分别是△AOB与△COD的垂心，求证：H₁H₂MN。

3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：，此处(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。

4．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=90⁰，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E和F分别在AB和CD上，求证：AFB=90⁰的充要条件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

7．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a²+b²+c²+d²=8R²，试问对此四边形有何要求？

8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则

9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求证：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。