提出“地心说”的托勒密,在几何上留有有著名的托勒密定理。 托勒密定理托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。 如下图已知:四边形ABCD内接于⊙O中,求证AC.BD=AB.DC+BC.AD 证明:以B点为顶点,AB为一边做∠BAE=∠DAC与BD相交于E ⊿ABE与⊿ACD中, ∵∠BAE=∠CAD, ∠ABE=∠ACD(同弧度所对圆周角) ∴⊿ABE~⊿ACD(三角形两角相等三角形相似) AB:AC=BE:DC=>AB.DC=BE.AC……(1) ⊿BAD与⊿BEC中, ∠BAC=∠EAD ∠BCA=∠EDA ∴⊿BCA~⊿EDA(三角形两角相等三角形相似) ∴BC:ED=AC:AD=>BC.AD=ED.AC……(2) (1)+(2) 得到 AB.DC+BC.AD=BE.AC+EF.AC=(BE+ED).AC=BD.AC 托勒密定理证明几何题例题1.等边三角形ABC外一点D,∠BDC=1200,求证:AD=BD+BC 证明: A,B,C,D四点共圆,令正三角形边长为a 由托勒密定理 AB.DC+AC.BD=AD.BC 即 a.DC+a.BD=a.BC ∴DC+BD=BC 例题2.锐角三角形ABC中O是外心,A1,B1,C1是各边中点,求证 OA1+OB1+OC1=R+r,其中R是ABC外接圆半径,r是内切圆半径。 证明: 设AB=c,BC=a,CA=b。如图C1,B1是AB,AC中点, 所以C1B1=1/2BC=1/2a,AB1=1/2AC=1/2b,AC1=1/2AB=1/2c OC1⊥AB,OC2⊥AC,A,C1,O,B1四点共圆。 由托勒密定理: OA.C1B1=AC1.OB1+AB1.OC1 R.1/2 a=1/2c.OB1+1/2b.OC1 c.OB1+b.OC1=a.R……(1) 同理 c.OA1+a.OC1=b.R……(2) a.OB1+b.OA1=c.R…….(3) 而 a. OA1+b.OB1+c.OC1=2S⊿ABC=(a+b+c).r……(4) 由(1),(2),(3),(4)得 (OA1+OB1+OC1).(a+b+c)=(a+b+c).(R+r) 从而得到:OA1+OB1+OC1= R+r 托勒密定理直观说明三角公式和角公式 我们在直径为1的圆中,作下图: 根据托勒密定理我们有:AB.DC+AD.BC=AC.BD AC=1,也就是说: sin(α+β)=sinα.cosβ+cosα.cosβ 差角公式 在上图中我们有:sin(α-β)= sinα.cosβ-cosα.cosβ 接着我们代数推导cos(α+β)=? cos(α+β)=sin(900-α-β)=sin(900-α)cosβ-cos(900-α)sinβ =cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)的公式作为习题,请自己推导。 |
|
来自: 当以读书通世事 > 《073-数学(大中小学)》