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例题1：如图，AB是⊙O的直径，BC＝BD，若∠BOD＝65°，求∠A的度数． 引导： 要求∠A的度数，可将其转化为求 所对的圆心角的度数，这样就需要连 接OC这条辅助线了． 解：如图，连接OC，∵BC＝BD， ∴∠BOC＝∠BOD＝65°. ∴∠A＝ 总结： 同圆或等圆中的弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系可以互相转化，当某个结论不好求时，可运用转化思想将其转化为求与之相关的另一结论． 练习1 如图， ⊙O的直径AB = 10cm，C为⊙O上的一点，∠B = 30°，求AC的长. 解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. 在Rt△ACB中， sin ∠ABC＝ ∴AC＝AB sin ∠ABC＝10×sin 30° ＝10× ∴AC的长为5 cm. 练习2 (中考·张家界)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的 弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( ) A．75° B．60° C.45° D．30° 答案：D 练习3 【中考·毕节】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为( ) A．30° B．50° C．60° D．70° 答案：C 练习4 【中考·安顺】如图，⊙O的直径AB＝4，BC切 ⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的 长为( ) A. B. C. D.
答案：B 练习5 (中考·连云港)如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP，BP，并延长分别交半圆于点C，D，连接AD，BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是( ) ①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF. A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
答案：D 例题2 (中考·兰州)如图，已知经过原点的⊙P 与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C 是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定
引导：由∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对的圆周角，根据圆周 角定理，即可求得∠ACB =∠AOB= 90°. 解：∵∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对的圆周角， ∴∠AOB =∠ACB， ∵ ∠AOB = 90°，∴ ∠ACB = 90°. 总结： 此题考查了圆周角定理，此题比较简单，解题的 关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对 的圆周角. 练习1 小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形. 下面所示的四种圆弧形，你能 判断哪个是半圆形？为什么?
解：题图(2)是半圆形． ∵90°的圆周角所对的弦是直径． 练习2 【中考·兰州】如图，已知经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于点A，B，C是劣弧OB上一点， 则∠ACB等于( ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定
答案：B 易错题 已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝ 解：如图，当点P(P1)在弦AB所对的优弧上时，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，OB.由垂径定理可得AC＝
知识小结 1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想 直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°，遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中作辅助线的常用方法． 2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题. |
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