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图1.1 1、如图1.1，△ABC中AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，∠BAC=48°，CE、CF三等分∠ACB，分别 交AD于点E、F，连接BE并延长交AC于点G，连接FG，则∠AGF= ． 解：∵∠A=48°，AC=AB， ∴∠ABC=∠ACB= 2 1 （180°-∠BAC）=66°， 设BG与CF交点为O，连接BF， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC， ∴FB=FC， ∴∠FBC=∠FCB， 同理∠EBC=∠ECB， ∴∠FBE=∠FCE， ∵CE，CF三等分∠GCD， ∴∠FBE=∠FCE=∠FCG， ∵∠FOB=∠GOC， ∴△FOB∽△GOC， ∴ GC/CO=FC/ BC， ∵∠FOG=∠BOC ∴△FOG∽△BOC ∴∠FGO=∠BCO=2/3∠ACB=2/3 ×66°=44° ∴∠AGF=∠BGA-∠FGO =∠GBC+∠GCB-∠FGO =22°+66°-44°=44° 图2.1 2、已知，如图2.1，O为平面直角坐标系的原点。半径为1的⊙B经过点O，且与x、y轴分别交于点A、C，点A的坐标为（-√3，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D。 （1）求OC的长和∠CAO的度数； （2）求过点D的反比例函数的表达式。 解：（1）∵∠AOC=90°，∴AC是⊙B的直径，∴AC=2 又∵点A的坐标为（-√3，0），OA=√3， ∴OC= √(AC²-OA²)=1 ∴sin∠CAO=1/2 ∴∠CAO=30° (2)连接OB，过点D作DE⊥X轴于点E， ∵OD为⊙B的切线， ∴OB⊥OC，∴∠BOD=90°， ∵AB=OB ∴∠AOB=∠OAB=30° ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120° 在△AOD中，∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD，∴OD=OA= √3 在Rt△DOE中，∠ODE=180°-120°=60° ∴OE=ODcos60°=1/2OD=√3/2 ED= ODsin60°=3/2 ∴点D的坐标为（√3/2，3/2） 设过D点的反比例函数的表达式为：y=k/x ∵k=√3/2×3/2=3√3/4，∴y=3√3/4x 图3.1 3、如图3.1，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过D，C作DE∥OC，CE∥OD． （1）图中有若干对相似三角形，请至少写出三对相似（不全等的）三角形，并选择其中一对加以证明； （2）求证：DM=1/2OB 解：（1）相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA等． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△ABM∽△NDM， ∵CE∥OD， ∴△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE， ∴△ABM∽△NDM∽△NCE， ∵DE∥OC， ∴△EDM∽△AOM，△DNE∽△CNA， ∴△AOM∽△ACE∽△EDM； ∴相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，OA=OC， 又∵CE∥OD， ∴AM=ME， ∴OM=1/2CE， ∵CE∥OD，DE∥OC， ∴四边形DOCE为平行四边形， ∴CE=OD， ∴OM=1/2OD=1/2OB． 图4.1 4、如图4.1，已知二次函数y=(x-m)²-4m² (m>0)的图象与x轴交于A、B两点。 （1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）； （2）若顶点P在以为直径圆上，求解析式； 解：（1）∵y=（x-m）²-4m²， ∴当y=0时，（x-m）²-4m²=0， 解得x₁=-m，x₂=3m， ∵m＞0， ∴A、B两点的坐标分别是（-m，0），（3m，0） （2）∵A（-m，0），B（3m，0），m＞0， ∴AB=3m-（-m）=4m，圆的半径为1/2AB=2m， ∴OM=AM-OA=2m-m=m， ∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，-2m）， 又∵二次函数y=（x-m）²-4m²（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，-4m²）， ∴-2m=-4m²， 解得m₁=1/2 ，m₂=0（舍去）， ∴二次函数的解析式为y=（x-1/2）²-1，即y=x²-x-3/4 图5.1 5、如图5.1，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC=2 √5，sin∠BCP= √5/5，求点B到AC的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 解：（1）∵∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP， 在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° ∴2∠BCP+2∠BCA=180°， ∴∠BCP+∠BCA=90°， ∴直线CP是⊙O的切线． 图5.2 （2）如图5.2，作BD⊥AC于点D， ∵PC⊥AC ∴BD∥PC ∴∠PCB=∠DBC ∵BC=2√5 ，sin∠BCP= √5/5， ∴sin∠BCP=sin∠DBC=DC/BC=DC/2√5=√5/5 解得：DC=2，∴由勾股定理得：BD=4， ∴点B到AC的距离为4． （3）如图5.2，连接AN， 在Rt△ACN中，AC=CN/cos∠ACN=CN/sincos∠BCP =5， 又∵CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3． ∵BD∥CP，∴BD/CP=AD/AC，∴CP=20/3． 在Rt△ACP中，AP=√(AC²+CP²)=25/3 AC+CP+AP=5+20/3+25/3 =20， ∴△ACP的周长为20． 图6.1 6、如图6.1，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）． （1）请你用画树状图或列表格的方法求出|m+n|＞1的概率； （2）直接写出点（m，n）落在函数y=-1/x 图象上的概率． 解：（1）画树状图如下： 或表格如下： 由树状图（表格）可知，所有等可能的结果有12种，其中|m+n|＞1的情况有5种， 所以|m+n|＞1的概率为P1=5/12； （2）点（m，n）在函数y=-1/x上的概率为P2=3/12=1/4 。 |
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