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AI时代下，每日庞杂的记录事实的巨量数据，通过不同的途径吸收、研判生成了涉及面广泛的有不同意义的信息，对信息的抽象、推理形成的大量的具有智能效果的“知识”。这样背景下形成的“知识”一定受到观察者视阀、分析者的理解、研析者的价值等等的影响。这样的“知识”传承必将影响学习者的吸收、选择与9运用，同时学习者的个性化、差异性及多样性必将对知识的理解可能会存在不同的看法。因此，从某种意义上来看，“知识”的鉴赏与选择及运用是“双新”追求的核心素养，成为人们日常生活面向未知的必备能力，对某些“知识”必须具有批判性审视的意识，身为“传道-授业-解惑”的老师们应该具有不断溯源求真的品格。但“地球为中心、重的物体降落的快，……”等等“知识”有着近千年“想当然应该这样的”的“传承”，为什么会如此？我们今天的教育教学中，有没有这样的情形呢？这值得我们去深思。信息时代下，“传道”、“授业”、“解惑”这三大“育人”基柱应该不变，如何尽可能让“想当然的这样”知识的传承少一点更加迫在眉睫。 2022年12月9日，有幸聆听上海市教师教育学院副院长、上海市基础教育国际课程比较研究所副所长纪明泽博士“学习二十大，践行新课程”的主题报告，报告“从理念到行动的重要转变”篇中那个提出“育人-成己；课堂-课程；学科-学段-学校；学生-学风-学习；选拔-选择；成绩-成长；少数-人人；掐尖-培土”8个核心理论与行动的转变，希望通过转变实现“面向人人、适合人人、人人出彩、人人成才、人人感受寻阳的温度”。其中第一个转变为从“育人”必须“成己”的理解转变。学习后，我在想：“育人”必须提升自己，少传承“想当然知识”可能是“育人-成己”理念转向行动的追求之一。 又想起近期阅读常生龙老师《核心素养与学习的变革》一书中对批判性思维表现特征是这样提到的：“其前提是要有凡事质疑的态度和对事实真相的追求精神，其基础是要具备进行逻辑推理的基本能力，其关键是要养成勇于质疑和经常反思的习惯。”杜威在《我们如何思维》这样认为：对观点和被认同的知识采取的主动的、持续的、仔细的思考；其方式是探究知识具备什么样的支撑，可以得出什么样的结论。 基于上述的理解，教育教学中如何真正“育人”？“成己”是最基本的保证。“成己”的前提是什么？“不唯书、不唯上”的批判性精神可能是每一位教师必须最基本的品格。 下文根据本人在教学中遇到的教学现象，阐释自己的个人理解，不知是否合适，盼多批判。 一、问题提出 前期与孩子们一起学习运算律的相关知识，偶然看到网上一道练习与配套答案（如下），对答案产生了一些困惑。 1.先根据递等式填空，再计算。 25×12×4 ＝25×4×12………运用了乘法（交换）律 ＝100×12 ＝1200 我的理解是上述的运算逻辑应该是：乘法交换律与乘法结合律的交错运用，是一种复杂数学推理过程。理解如下。 1.先根据递等式填空，再计算。 25×12×4 ＝25×（12×4）………运用了乘法（结合）律 ＝25×（4×12）………运用了乘法（交换）律 合并为“25×4×12” ＝25×4×12 ………运用了乘法（结合）律 ＝100×12 ＝1200 本题显然是先用了乘法结合律，再用乘法交换律，最后再乘法结合律，然后得到如上的答案。 针对网络现象与我的理解，我也进行一次微观的调研。样本为：10位数学教师与10位（五年级成绩优秀的）学生。结果是：8位教师理解与网络理解意义，近80%；2位教师犹豫不决，20%。学生与网络理解一样为100%，同学给理由是（题目中，数的位置发生变化，因此必有交换律；题目中没有圆括号参与，说明没有改变运算顺序，因此没有结合律参与。同时告诉我，有圆括号参与才有结合律）。 难道我的理解有问题吗？我在网络上又看到有些老师对网络上学生类似问题的解答。
把这个解答者的理解表达一下，就是向下面这样。 124+39+276+61 ＝124+276+39+61 ……加法交换律 ＝（124+276）+（39+61） ……加法结合律 ＝…… 这个解答，基本上与我上述网络的答案是一致。 针对上述现象，经过了解，发现这部分老师在教授“交换律与结合律”，有着如下的教学过程与数学理解。 首先，通过发现现象、提出猜想、验证猜想、获得结论，提炼成交换律：两个数相加（乘），交换加数（因数）的位置，和（积）不变。 其次，通过提出猜想、验证猜想、形成推广规律：三（或更多）个数相加（乘），任意交换加数（因数）的位置，和（积）不变。 再次，提出有限个连加（乘）运算中，为了可以简便运算，可任意交换加数（因数）的位置，所得结果不变。称之为交换律的推广。 从整个教学过程来看，不仅交换律有“发现现象、提出猜想、验证猜想、获得结论”合理的教学逻辑、“交换律的推广”也有相似的流程。这样的教学过程应该是合理的。 我又看到一些公众平台也是这样宣传的。
也观看一些名师课堂也是这样知识传承。所有的证据都告诉我：我的理解是不必要的？把简单问题复杂化了？ 但为什么交换律在数学专著上的表示都不采用“推广”形式呢？如果一个二元运算具有交换位置，结果不变的性质，对于三个数（三个以上）按照这样的运算，都可以任意交换位置吗？如果不明晰这点，很容易变成“想当然如此”。 解决上述问题，转化为破解“1.二元运算具有交换律，那么对于三个或三个以上数复合运算显然可以交换位置、结果不变，这句话是真还是假？”“2.二元运算具有交换律，对于三个或三个以上数复合运算可以交换位置，结果不变必要条件是什么？” 二、问题解决 新课标追寻数学本质教学的一致性，这让我不由地想到，交换律与结合律是群论里一些概念界定的核心条件。 （一）相关学习的提示 先从交换群来看看（源于百度百科），是否看到新的思考点。 阿贝尔群（Abelian Group），又称交换群或加群，是这样一类群：对于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba.若群G的运算满足交换律，即对任意的a，b∈G都有ab=ba，则称G为阿贝尔群。由于阿贝尔(Abel，N.H.)首先研究了交换群，所以通常称这类群为阿贝尔群。交换群的运算常用加法来表示，此时群的单位元用0(零元)表示，a的逆元记为-a(称为a的负元).用加法表示的交换群称为加法群或加群。阿贝尔群是有着群运算符合交换律性质的群，因此阿贝尔群也被称为交换群。它由自身的集合 G 和二元运算 * 构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G 有单位元、所有 G 的元素都有逆元之外，还满足交换律公理，因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。 通过百度百科查阅结合律，阐述如下： 形式上，一个在集合S上的二元运算被称之为可结合的若其满足下面的结合律：x*y*z =x*（y*z），∀x、y、z ∈S 。运算的顺序并不会影响到表示式的值，且可证明这在含有“任意”多个 运算的表示式之下也依然是成立的。因此，当 是可结合的时，运算的顺序可以不需要去规范而不会使其意义不清，所以可以省略掉括号而简单写成：x*y*z ，不过，需要记住的是，改变运算的顺序并不包含或允许以移动表示式中的算子来改变其真实的运算。 从这段学习可以看到“集合 G 和二元运算 * 构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G 有单位元、所有 G 的元素都有逆元之外”还满足“交换公理”使得“群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。”。这个理解提示我们，所谓的交换律的推广是因为“结合律”的存在为前提的，在结合律（0元、逆元）暂时不考虑。因为交换律与结合律的共同结果，使得运算的结果与次序无关。 基于这“交换群”与“结合律”的理解，我们不难看到“交换律”与“结合律”两者是有本质区别的。交换律聚焦的是运算的对称性，结合律关注的是运算的稳定性，两者都是体现某种运算的基本性质，但价值指向不一样。从中也可以看到运算结果与次序无关的核心在于“交换律”与“结合律”共同的作用，不是“交换律”的“想当然的推广”。 （二）构造运算的例证 为了阐述清楚上述的理解，我尝试构造“运算”来进行阐释我的理解。 1.有交换律但没有结合律的运算 定义： 实数域内（0除外），“*”运算为a*b=1/a+1/b,则 （1）具有交换律 因为：x*y=1/x+1/y y*x=1/y+1/x x*y=y*x 所以“*”运算具有交换律 （2）不具有结合律 因为：x*y*z =（1/x+1/y)*z =(x+y)/xy*z =xy/(x+y)+1/z x*(y*z) =x*（1/y+1/z) =x*(y+z)/yz =1/x+yz/(y+z) x*y*z≠x*(y*z) 所以：“*”运算不具有结合律 （3）具有交换律但没有结合律的运算没有“推广” 因为：x*y*z =（1/x+1/y)*z =(x+y)/xy*z =xy/(x+y)+1/z x*z*y =（1/x+1/z)*y =(x+z)/xz*y =xz/(x+z)+1/y x*y*z ≠x*z*y 所以：“*”运算不具有三个或三个以上数之间交换位置，结果不变的性质。 上述例证，可以看到具有“交换律”但不具有“结合律”是不可以随意改变运算顺序的，也解决了问题1.二元运算具有交换律，那么对于三个或三个以上数复合运算显然可以交换位置、结果不变，这句话是真还是假？这是一个假的判断。这点在数学教学中“想当然”现象很多，我们教学时，是否关心过？ 2.没有交换律但有结合律的运算 为了说明结合律与交换律两者是独立的属性，“再构造没有交换律但有结合律的运算。（备注：感谢长沙张新春老师帮助构造运算，也建议我学习非阿贝尔群研究的都是这种满足结合律但不满足交换律的运算。） 定义：对整数A，B，“◎”运算为A◎B=(两个整数拼起来得一新整数). （1）不具有交换律 因为：123 ◎4567=1234567 4567 ◎123=4567123 123 ◎4567 ≠4567 ◎123 所以，“◎”运算不具有交换律。 （2）具有结合律 因为： 123 ◎4567 ◎8910 =1234567◎8910 =12345678910 123 ◎（4567 ◎8910）=123◎ 4567◎8910 =12345678910 123 ◎4567 ◎8910 = 123 ◎（4567 ◎8910） 所以，“◎”运算具有结合律 （本例为枚举例证，未来阐述简单，有不严谨嫌疑，特此说明） 3.有交换律与结合律“加法与乘法”（普通加法与乘法）的教学建议 基于上述，在交换律与结合律学习上，我们不能随意“想当然推广”，更不能说成“交换律”推广。建议理解为“结合律”与“交换律”结合的推广，事实上是一个不错的发展“演绎推理”的素材，不建议采用合情推理。 例如：a+b+c=a+c+b=c+a+b=c+b+a的任意交换位置，结果不变，这样的推论可以采用如下形式。 因为a+b=b+a，a+b+c=a+（b+c），所以可以尝试进行如下练习 1.a+b+c = a+c+b a+b+c =a+（b+c） 结合律 =a+（c+b） 交换律 =a+c+b 结合律 2.a+b+c = c+a+b a+b+c =（a+b）+c 运算顺利 =c+（a+b） 交换律 =c+a+b 结合律 3. a+b+c = c+b+a a+b+c =（a+b）+c 运算顺利 =c+（a+b） 交换律 =c+（b+a） 交换律 =c+b+a 结合律 ……上述只提供一种形式，还有其他形式。 通过这样有价值的演绎推算，相信能增加本质上去理解问题“2.二元运算具有交换律，对于三个或三个以上数复合运算可以交换位置，结果不变必要条件是什么？”。 素养导向的数学新课标追求多方面学习的一致性，运算律作为运算的性质，必须具有其今后进一步发展的本质上一致性的理解。“育人”角度思考不建议想当然追求“数运算或代数式运算”的快捷性而失去追求运算律最本源的追求。“推广”如果想当然地“传承”给学生，短期对学生解决满足“交换律与结合律”的一类问题是“速度”上价值。但长远来看，失去了对“运算”律最本质的性质的理解，从而容易形成“想当然这样”的理解，对进一步认识数学本质，进一步创造性发现数学规律具有不利的影响。借用谢小庆教授话：越来越多的人认识到，不仅要关注学生是否“达标”，是否掌握了课程标准或教学大纲所规定的学习要求，更需要关注学生经过学习以后获得了多大程度的进步，是否获得了成长，需要关注教师和学校在帮助学生获得成长方面所发挥的实际作用。学习，不仅要追求“达标”，更要追求“成长（growth）”。对于一些基础好的学生，实现“达标”并不一定能够实现“成长”；对于一些基础薄弱的学生，即使暂时“达标”有困难，仍然可以通过学习获得“成长”。 当然，本次理解的从“育人”须“成己”，转向教学“不能想当然以为这样”基于我的视域去理解“结合律与交换律”的学习，一定具有自己本人水平与能力的局限性，提出自己的理解，渴望得到多的批评，更多的指点。 谢老师公众号审辨式思维 （2016-03-20）这样阐述的：今天，中国教育广泛流行的是形成于几十年前的学习方法，是深受苏联影响的学习方法。这种学习方法把学习过程理解为学生学习和掌握“科学真理”的一个过程，理解为教师向学生传授“科学真理”的一个过程。事实上，在今天的学校教育中，讲授一些标有“科学真理”标签的东西其实是非常可疑的。这种学习方式，极大地摧残了学习者的好奇心，打击了学习者的怀疑精神，压抑了学习者的创造性。 今天需要改变这种陈旧的学习方式，不应再简单地向学生灌输特定的结论，而应倡导研究性学习，发展学生的审辩式思维能力，使学习成为一个探索和发现的过程，而不仅仅是一个记忆和拷贝的过程。 “育人”必须“成己”，自己在育人过程中尽可能基于事实非价值，提升自己对知识的鉴赏力，减少“想当然这样”的理解是必须的，可能也是最基本的要求。 |
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