CAE入门-材料力学的困惑（1）

计算机辅助工程（Computer Aided Engineering，CAE）是以专业计算机软件为工具，对工程中复杂产品的物理特性（如结构强度，刚度，稳定性，动力响应，三维多体接触，弹塑性，热传导，电磁场，流场的速度和压力等）进行分析计算及优化设计的一种近似数值分析方法。近些年以来，该技术在机械，汽车，航空，航天，电子产品，土木等领域得到了广泛的应用。
要了解该技术，我们可以从材料力学的局限性谈起。前面说过，材料力学主要以单根杆件为基础，研究其强度，刚度，稳定性问题。对于理想杆件发生的四种基本变形和组合变形，可以使用材料力学的研究成果来对其进行设计和校核。但实际工程结构是千变万化的，对于一个实际杆件结构，用材料力学的计算方法来计算，会遇到很多挑战，下面举例说明。
如下图所示的悬臂梁，在中间施加一个竖直向下的集中力P，要考察该梁的强度问题。使用材料力学的方法解决该问题是容易的。可以首先绘制出内力图，然后得到危险截面，接着在危险截面上找到危险点，根据该危险点的应力不要超过允许应力，就可以进行强度设计。

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然而实际的结构总是比上图要复杂一些。在实际结构中，为了加强刚性，通常会增加支撑，如下图。直观的看，此时结构的刚性显然会提高，但是它给求解带来了麻烦。因为此梁左边是固定端，有3个约束力的未 知数，右边有1个约束力的未知数，这样一共是4个约束力的未知数，但是根据理论力学，该梁只能列出3个独立的平衡方程，所以是不能求出所有的未知反力的。

不能求出所有的未知反力，这导致无法求内力。因为内力是用截面法，对某一段列平衡方程得到的。外力不知道，内力就没有办法得到。不能得到内力，则不知道危险截面，从而不知道危险应力是多少，进行强度计算就成为空中楼阁。
上述问题在材料力学里面称为超静定问题。为了解决上述困境，材料力学使用了所谓的力法。力法的基本思路如下。
首先，把右边的滚动支座用一个向上的集中力F来取代如下图。因为滚动支座本来就是提供一个支持力的作用，所以这种取代并无问题。

一旦取代以后，按照叠加法，该图可以分解为下面两种情况的叠加。

在第一种情况下，只有集中力P作用，在第二种情况下，只有集中力F作用。显然，我们可以使用材料力学求变形的方式，由P求出Y1，由F求出Y2.这就是说，Y1是P的函数，而Y2是F的函数。这里要注意，Y1与Y2是相等的。之所以相等，是因为B点本来就是一个滚动支座，它是不会有竖直方向的位移的。这样，根据Y1=Y2，就可以得到F与P的一个关系式。因为P是已知量，所以就可以求出F的大小。
这样，在得到F的大小后，再对原问题列出3个静力学平衡方程，共4个方程，就可以解出4个未知反力，此时，所有的外力都已知，从而可以求内力，求应力，进行强度计算了。上述方法称为力法。
力法看似很容易的解决了超静定问题，其实不然。考察下图所示的问题，此时B端是固定端，这样左边3个未知反力，右边3个未知反力，共有6个未知反力，所以需要补充3个方程，用上述方法仍旧可以得到这3个方程。但是实际问题的复杂性要远远超过该问题。

考察下叙钢架，整个结构都是焊接而成，在A端B端简支，而在钢架上某些节点处施加了向下的集中力，现在要求该梁的强度是否足够，也要计算最下面水平梁中间点的位移。

由于该钢架是一个构件，所以只能列出3个独立的平衡方程。但是其内部情况却很复杂，很难知道哪里最危险，即便知道了，也很难计算出其内力是多少。对于材料力学而已，这简直成为一个不可解的问题。
再如下图一个传动箱的支架，该支架是由一些方钢焊接而成，要对该支架进行强度计算，材料力学也是无能为力的。

以上两个问题的共性就在于，他们是超静定问题，而且超静定次数很高，就是说，要补充一大堆方程来求解外力。这使得上述所谓的力法在实践中很难使用。
对于上述问题，几乎只有CAE这种解决渠道。