产生伯努利现象的根本原因是什么？

这确实是个比较坑人的问题。

我说它坑人，是因为答案明明很简单，却被某些资料（比如初中物理课本）宣传成了让人百思不得其解的现象。

根本原因一点都不神秘，简单点说就是：力可以让物体加速。

如果你看到这里还是一头雾水，请往下看，你需要了解一些物理常识。

限制条件

流体速度越快，压强越小。

这句话真的对吗？

只看这句话，其实是不对的。

你没看错，只说“流速越快，压强越小”其实是不对的！

先看一个反例，流体在管道中平稳流动。

由于实际的流体都有粘性，紧贴管壁的那一层流体是不动的，离管壁越远，流速越大。

此时能说“离管壁越远，压强越小”吗？

不能。

如果真是“离管壁越远，压强越小”，那流体就会往管道中心靠拢，就没法平稳流动了，大概会像下面这样：

“流速越快，压强越小”是有限制条件的，而且不只有一个限制条件（下面会谈到）。

这些限制条件其实就是伯努利方程的限制条件，伯努利方程长这样：

这个方程其实就是“机械能守恒定律”，下面会详细介绍。

从这个方程中可以看出“流速越快，压强越小”。

被编进初中物理课本的那个结论，就源于这里的伯努利方程。

顺便提一下这个方程的发现者，丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli），他是流体力学的奠基人之一，于1738年提出了流体力学中的这个伯努利方程。

• “伯努利方程”是个多义词。

其实这个方程里面也包含了静态流体的压强公式，也就是“越深的地方，压强越大”。

想让伯努利方程成立，通常需要四个限制条件：

• 无粘性流体。
• 不可压缩流体。
• 定常流动。
• 在同一条流线上。

我知道很多读者看到这四个条件会有些懵，或者非常懵。

所以我会好好谈谈这些条件到底是在说什么。

流体力学的常识

实际的流体都是有粘性和可压缩的流体。

• 有粘性就是说流体内部有摩擦力。在流体流动时，速度不同的各部分流体会相互摩擦，反抗相对运动。
• 可压缩就是说流体的体积可以变化。这里的体积变化说的是类似于热胀冷缩的体积变化，可不是往一杯水里加水。

有些时候，这两种性质对流体运动的影响可以忽略，于是就有了理想流体的概念。

可以简单把理想流体理解成无粘性和不可压缩的流体。这就是伯努利方程的前两个限制条件，把描述的流体限制成理想流体。

顺便一提，流体力学还要求流体有“连续性”，这可能太简单，不过还是提一句为好。

至于定常流动，就是流动方式不随时间变化的流动。

用流线来理解定常流动会比较容易，追踪一小块流体的运动，可以画出一条轨迹，这条轨迹就是流线。

多追踪一些小块流体的运动，就能画出多条流线，就像下面图片里的细线一样。

定常流动就是流线不随时间变化的流动，流体运动达到了一种“动态平衡”。

现在再看伯努利方程的四个限制条件：

• 无粘性流体。
• 不可压缩流体。
• 定常流动。
• 在同一条流线上。

我相信大家基本知道这是在说什么了。

严格地说，这四个条件缺一不可。其中最重要的是最后一条：在同一条流线上。

很多人会对“流速越快，压强越小”感到奇怪，就是忽略了伯努利方程的最后一个限制条件。

简单理解

很多人会不自觉地带入“因果关系”的思维，把“流速快”当成“因”，把“压强小”当成“果”。如果你这么想，那肯定想不明白。

“因果关系”的思维也不是不能用，倒转一下上面的因果关系，答案可能就显而易见了：

• 压强小是“因”
• 流速快是“果”

还是要记住伯努利方程的最后一个限制条件，不管是流速还是压强，都必须在“同一条流线”上比较！

在同一条流线上，才能说“流速越快，压强越小”。这其中的原理就是：力可以让物体加速或减速。

如果一小块流体左右两边的压强是：左边大、右边小，那么：

• 流体从左往右流，就会加速，让流速是左边慢、右边快。
• 流体从右往左流，就会减速，依旧让流速是左边慢、右边快。

是不是很简单？

其实就是牛顿第二定律，可以从中推导出伯努利方程，下面会简单谈谈推导过程。

面对流体运动的各种现象，很多人会滥用“伯努利原理”这个词，通常是会忽略“同一条流线”这个条件。

顺便提一个真正反映伯努利原理的现象：文丘里管（就像下面的图片）。

这是真的在反映同一条流线上的压强大小。

伯努利方程

下文可能有些硬核，请酌情跳过。

物理学是一个环环相扣的体系，可以用牛顿第二定律推导出伯努利方程的部分结论，在这里简单谈一谈。

首先选取一块微小的流体区域（通常都选成正方体），各个方向都受到压力。选择一个方向，可以写出微小流体在这个方向上受到的“净压力”或“合力”。

流体内的压强不只在一个方向上变化，所以压强是个多元函数，在上面的式子里，应该对压强求偏导数。

然后就可以套用牛顿第二定律：

压强、速度、密度都是多元函数，不仅随时间变化，还随空间变化，只考虑这些物理量在一条流线上的变化：

把上面式子里的速度的全导数展开成随体导数：

就能得到：

如果是定常流动，速度不随时间变化，只随空间变化：

简单地算一下不定积分，就能得到伯努利方程的一部分结论。

一点补充：欧拉方程

“欧拉方程”也是个多义词，这里说的是流体力学中的欧拉方程。

其实上面已经出现了简化的欧拉方程，也就是这个式子：

上面的式子是一维的欧拉方程，用完整的欧拉方程可以推导出完整的伯努利方程，只需要给上面的式子加一个“体积力”，并写成三维形式。

“体积力”是和“表面力”对应的力。

• 表面力就是我们熟悉的压力、摩擦力，力的作用点在物体的表面。
• 体积力的作用点渗透到一切有质量的区域，重力就是典型的体积力。

把重力加入欧拉方程，就能推导出完整的伯努利方程，在这里就不多提了。

欧拉方程其实就是对牛顿第二定律的应用，或者说是把牛顿第二定律的应用对象，从质点推广到流体。

一点补充：N-S方程

上面的欧拉方程只是在描述“无粘性、不可压缩”的理想流体。

纳维-斯托克斯方程（N-S方程）其实就是在欧拉方程的基础上，增加了一个粘性项，描述了有粘性的流体。

这个方程很出名，主要是因为这个方程很难求解，数学界的“七大千禧难题”之中就有一个问题和N-S方程有关。

其实还可以对N-S方程再次升级，描述可压缩的流体，这会让方程更复杂，在这里就不写了。

不管怎么变，这些方程的基本框架始终是牛顿第二定律，也就是关于动量的方程。

一点补充：事情并不简单

写了不少内容，还有不少方程，但这些方程都不能完全描述流体的运动。

流体的运动依然是人类知之甚少的现象，关于流体速度和压强的关系，伯努利方程讨论过，但只是在层层限制条件之后讨论的。

跳出伯努利方程的限制条件，流体速度和压强的关系依旧是个谜。

面对自然界，不懂就是不懂，有些流体运动确实还让人无法理解。