【原】2021-2022学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2021-2022学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

（时间90分钟，满分100分）

题号	一	二	三	总分
得分

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1.        若，则的值

A.                                 B.                                C.                            D.

2.        已知的半径为，点在外部，则需要满足的条件是

A.                    B.           C.                    D.

3.        下列函数中，当时，函数值随的增大而增大的有
；；；．

A.                  B.                       C.                       D.

4.        在中，，，，则的值为

A.                                 B.                                C.                                D.

5.        数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树，的距离，他们设计了如图的测量方案：从树沿着垂直于的方向走到，再从沿着垂直于的方向走到，为上一点，其中位同学分别测得四组数据：，；，，；，，；，，其中能根据所测数据求得，两树距离的有

A. 组                           B.组                           C.组                           D.组

6.        如图，在中，、为上两点，是的直径，已知，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7.        如图，已知、分别为、上的两点，且，，的周长为，则的周长为

A.
B.
C.
D.

8.        “国庆”期间，我校石书记驾车从秀山上高速公路前往重庆，中途在服务区休息了一段时间。出发时油箱中有存油升，到重庆后发现油箱中还剩升，则从秀山出发后到重庆油箱中所剩油升与时间小时之间函数的大致图像是     

A.                                B.
C.                                  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.        计算：______．

10.    点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是______填“”，“”或“”

11.    半径为的圆内接正三角形的边心距为______ ．

12.    请写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式______．

13.    如图，在中，，，以直角边为直径作交于点，则图中阴影部分的面积等于______结果保留

14.    如图是一种手机平板支架，图是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．如图，若量得支撑板长，，则点到底座的距离为______结果保留根号

15.    如图，一个边长为的等边三角形的高与的直径相等．与相切于点，与相交于点，则劣弧的长______．

16.    已知二次函数的图象与轴交于不同的两点、，为二次函数图象的顶点．若是边长为的等边三角形，则______．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）

17.    计算： 
先化简，再求值：，其中．

18.    下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：在中，，平分交于点．
求作：，使．
作法：分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，连接交于点；
以点为圆心，的长为半径作；
在劣弧上任取一点不与点、重合，连接和．
所以．
根据小玟设计的尺规作图过程．
使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接、．
，平分，
且．
．
是线段的垂直平分线，
______．
．
为的外接圆．
点在上，
______填推理的依据．

19.    已知二次函数的解析式为
求二次函数与坐标轴的交点坐标；
写出对称轴方程及顶点坐标．

20.    已知：如图，在中，，平分．
求证：∽．

21.    在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，，求证：平分．

22.    如图，在平面直角坐标系中的第一象限内，反比例函数的图象经过点，点是该函数图象上的一个动点．
求反比例函数的表达式；
当时，结合图象直接写出的取值范围．

23.    如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且，，直线与轴相交于点，求点的坐标．

24.    济南市地铁线施工，某路口设立了交通路况显示牌如图已知立杆的高度是，从侧面点测得显示牌顶端点和底端点的仰角分别是和求路况显示牌的高度．

25.    如图，已知在中，，高线，高线相交于点，连接，过点作交于点．
若，，求的长；
若为的中点，求证：

26.    如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．
求二次函数的表达式；
如图，连接，，设的面积为，求的最大值；
如图，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

27.    如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知，，动点以每秒个单位的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发，沿向点移动，设、两点移动秒时，的面积为．
当秒时，点坐标为______，______，点坐标为______，______；
当何值时，为直角三角形．
求面积与时间之间的关系式，并求出的最大值及此时的值．

28.    如图，已知，圆心在上，点与点分别是与的交点，点是与的交点，点是延长线与的交点，且．
连接，证明：∽；
证明：是的切线；
若，，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
，
．
故选：．
直接利用已知得出，的关系，进而代入求出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确得出，的关系是解题关键．

2.【答案】

【解析】解：当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，
，
故选：．
当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：
   点在圆外 
   点在圆上 
   点在圆内

3.【答案】

【解析】解：为正比例函数，，故随着的增大而增大；
为一次函数，，故随着增大而减小；
为反比例函数，，故当时，函数值在第二象限内随的增大而增大；
为二次函数，故当时，随着的增大而减小；而在对称轴左侧，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而增大．
只有符合题意．
故选：．
根据一次函数，反比例函数，二次函数的增减性，逐一判断．
本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性单调性，应熟练掌握其性质．

4.【答案】

【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
则，
故选：．
根据勾股定理求出，根据正切的定义解答即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：此题比较综合，要多方面考虑，
第组中，因为知道和的长，所以可利用的正切来求的长；
第组中可利用和的正切求出；
第组中设，，，；
因为已知，，，可求出，然后得出．
故选：．
根据三角形相似可知，要求出，只需求出即可．所以借助于，根据即可解答．
本题考查解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．

6.【答案】

【解析】解：，
，
，
故选：．
求出，根据圆周角定理得出，代入求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，能熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解此题的关键．

7.【答案】

【解析】解：，
∽，
，
的周长为，
的周长，
故选：．
利用相似三角形的周长比等于相似比，解决问题即可．
本题考查相似三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．

8.【答案】

【解析】试题分析：本题考查一次函数的图象。从秀山到中途服务区这段时间内，油箱油量随时间的增加而减少，在服务区休息时，油箱油量随时间增加而不变。服务区到重庆这段时间油箱油量又随时间增加而减少，最后为升。故答案为。
考点：一次函数

9.【答案】

【解析】解：原式 
．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而利用实数加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．

10.【答案】

【解析】解：点，是反比例函数图象上的两点，
，，
．
故答案为．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点和点坐标代入反比例函数解析式可计算出，，从而可判断它们的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：如图，是的内接等边三角形，，．
等边三角形的内心和外心重合，
平分，则；
，，
．
故答案为：．
作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．
考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．

12.【答案】答案不唯一

【解析】解：开口向上，
，
与轴交于点，
，
一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式为：，
故答案为：答案不唯一．
根据决定抛物线的开口方向，决定抛物线与轴的交点即可解答．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：如图连接、．
是直径，
，
，
，，
，
是等边三角形，
．
在中，，，
，，
，
，


．
故答案为．
连接、，根据计算即可解决问题．
本题考查扇形面积公式、直角三角形度角性质、等边三角形性质等知识，解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．

14.【答案】

【解析】解：作于，
 
，，
，
故答案为：．
作于，根据三角函数求出的长度即可．
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角三角函数及其应用是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：连接、，作于，作于，
在中，，
，
为的切线，
，
，
，
，
劣弧的长，
故答案为：．
连接、，作于，作于，根据正弦的定义求出，根据题意求出的半径，根据切线的性质得到，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：设点、的横坐标分别为、，则，，
，
，
，
，
是边长为的等边三角形，
点到的距离为，
，
点的纵坐标为，，
，
，，
故答案为：．
设点、的横坐标分别为、，利用根与系数的关系得：，，根据，列式变形后得：，根据是边长为的等边三角形，计算其高为，即二次函数顶点的纵坐标为，根据公式列式为，可得结论．
本题主要考查二次函数与坐标轴的交点及顶点坐标，一元二次方程根与系数的关系，等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．

17.【答案】解：原式 
；                                     
解原式 
，
当时，原式．

【解析】分别根据指数幂及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

18.【答案】  同弧所对圆周角相等

【解析】解：如图，即为补全的图形；
 
证明：连接、．
，平分，
且．
．
是线段的垂直平分线，
．
．
为的外接圆．
点在上，
同弧所对圆周角相等．
故答案为：，同弧所对圆周角相等．
根据作图过程即可补全图形；
根据同弧所对圆周角相等，即可完成证明．
本题考查了作图复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，解决本题的关键是掌握基本作图方法．

19.【答案】解：当时，，解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，；
当时，，
抛物线与轴的交点坐标为；
，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的顶点坐标为．

【解析】通过解方程得抛物线与轴的交点坐标；计算自变量为对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标；
利用配方法把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

20.【答案】证明：，平分，
，
又，
∽，

【解析】根据，平分可以求出，然后证明：∽．
本题主要考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，准确识图比较重要，也考查了学生的识图能力．

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
证明：四边形是矩形，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
平分．

【解析】先求出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
由三角函数定义求出，由勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，，则，证，则，得出即可．
本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角函数定义、勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

22.【答案】解：设反比例函数解析式，
把代入得，
所以反比例函数的解析式为；
当时，的取值范围为．

【解析】利用待定系数法求反比例函数解析式；
利用函数图象和反比例函数的性质解决问题．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设反比例函数解析式为常数，，然后把一组对应值代入求出得到反比例函数解析式．也考查了反比例函数的性质．

23.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，
点的坐标为．

【解析】依据平行四边形的性质，即可得到，再根据待定系数法即可得出直线的解析式，即可得到点的坐标．
本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是求出直线的解析式．

24.【答案】解：在中，，，
，
在中，，
，

米．
答：路况显示牌的高度为米．

【解析】在中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边的长；同理在中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边的长；进而由得解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

25.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
．

证明：作于．

，，，
≌，
，，
，
，
，，，
，
．

【解析】只要证明≌，即可推出，，求出即可解决问题；
作于只要证明≌，提出，，由，推出，再利用勾股定理即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

26.【答案】解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
点，点，
二次函数的图象经过，两点，

解得：
抛物线的解析式；
如图所示：过点作轴，交与点．

设 ，则， ．
．
当时，有最大值，最大值为．
如图所示：过点作垂足为，交与点，连接，

，，，
，，，
，
为直角三角形．
取的中点，连接，则，
．
．
当时，则．
设，则，
，
解得：舍去或．
点的横坐标为．
当时，设，，．
，
，，
，
，

，
解得：舍去或．
点的横坐标为．
综上所述，当点的横坐标为或．

【解析】根据题意得到、两点的坐标，利用待定系数法可求解析式；
过点作轴，交与点，设 ，则，则，然后列出与的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；
根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，，过作轴的垂线，垂足为，交的延线于，设，则，，最后，分为和两种情况列方程求解即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

27.【答案】     

【解析】解：．
，，
，
，
当时，，，
，，
，．
故答案为，，，．

当时，，
，
解得，
当时，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．

由题意，
，
时，的值最大，最大值为．
根据路程，速度，时间之间的关系解决问题即可．
分两种情形分别求解即可解决问题．
构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

28.【答案】证明：连接、、．
，
，，
∽．

∽，
，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
是的切线．

连接由可知：，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
是的中点，
，
点是的中点，
，
是的直径，
，
在中，，，
，
∽，
，即，
，
．

【解析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
欲证明是的切线，只要证明即可解决问题．
连接由可知：，由，推出，在中，，可得，推出，推出，，由，可得，再利用相似三角形的性质求出即可解决问题．
本题属于圆综合题，考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．