通过无穷小的概念来理解积分为什么是精确值

我们知道，定积分可以用来求曲边梯形的面积：

通过分割、求和、取极限之后得到的定积分值，就是曲边梯形的面积：

我们注意到，上式中用的是等号，也就是说，曲边梯形的面积严格等于上式中的极限求和。

但是，我们从上图可以看到，似乎无论怎么接近，蓝色部分的面积与曲边三角形的面积之间，好像永远存在着绿色的差距部分。那为什么取极限之后，这个差距部分就彻底消失了呢？因为，数学上的等号是不允许存在任何差别的。

如上图，考虑矩形Ai。如果要使得积分值是精确值，则必须三角形mnp的面积为0。那怎么样才能认为mnp的面积为0呢？np是垂直于x轴的直线，我们现在假设，在曲边梯形无限细分的过程中，出现这种情况：对于垂线np来说，最靠近于n这个点的第一个点不是p,而是q,也就是说，p处于n以及最靠近它的第一个点q之间，也就意味着，p这个点的位置已经没有任何一个数字能够表示，也就是np的长度无法用一个数值表示，这也就是我们所说的无穷小的概念，从而三角形mnp的面积也就不存在，所以，这个时候可以认为三角形mnp的面积等于0，从而可以认为积分值是精确值。

再看变速运动的距离求和：

数学上的变速运动，是每个点的速度都在变化，而数学上的点又没有大小。而且，按照上图中的分割方法，每个时间段中，物体的运动速度必须是匀速的。要理解上述矛盾，我们可以做这样的假设：对于时间点t1，与它最靠近的时间点就是t2，两者之间不再存在其它的任何可以用数字表示的时间点（当代物理学好像已经提出了时间也是一份一份发出的概念），两者差距delta t2=t2-t1(假设不包括端点t2)正是数学上的无穷小，都比数轴上紧挨着的两个点的距离还要小，也就是比任何数字都小，那不是无穷小是什么？同时由于这个区间只存在一个可以计时的时间点，那速度就只能有一个。按照这种方法，就可以理解前面的矛盾了。

通过上面描述，上图中的等号就成立了。

按照同样的方法，也可以理解导数的定义了：

导数可以用来求变速运动中每个点的速度，这时我们只要按照前面思路，认为每个区间中只存在一个时间点就可以了。

虽然按照数学中的连续统理论，数轴上任何一个点都不存在和它最靠近的那个点（任何两点之间都包含无穷个有理数或者无理数点），这是一个无限的过程，但我们可以假设这个无限过程结束了啊，对不对？而且，逻辑上如果不存在最靠近的那个点，那又哪里来的第二个第三个点呢？

简单来说：

1：无穷小就是比数轴上最靠近的两个点的距离都小。

2：通过无穷小的概念，积分中的曲边梯形与分割的矩形面积之和两者之间的差距真正变成了0，从而两者严格相等。

3：通过分割，每一个时间区间只包含一个可以用数字表示的时间点，从而使得变速运动的距离可以被严格计算出来。