|
ECNU202301 (1) 设是欧氏空间中的向量,则的夹角为. 解 计算可知 故的夹角为.(2) 设,且是由这两者张成的子空间,则在中的正交投影为. 解 计算可知,于是 此时,故所求正交投影为(3) 考虑欧氏空间中的向量 设是张成的子空间, 是张成的子空间,则.解 注意到,而由初等行变换可知 故,于是(4) 行列式 的值是. 解 计算可知 (5) 齐次线性方程组 解空间的维数是,其中解 对作初等行变换可知 于是(6) 多项式与的最大公因式为. 解 注意到 于是.(7) 多项式和满足同余方程且次数最小的多项式为. 解 由题意可知存在多项式使得,即 当时不合题意.不妨设,即,此时,有对应可解得.此时有.(8) 已知方阵的初等因子组为 则的极小多项式为解 由题意可知的不变因子组为 故的极小多项式为.(9) 实对称矩阵 可通过正交相似化为对角阵. 解 由于实对称阵可对角化,计算的特征值为,于是相似的对角阵为. (10) 使实二次型 为正定二次型的实数的取值范围是.解 不妨写出相伴的实对称阵为 则是正定实对称阵意味着解得. ECNU202302 (1)证明:如下映射是线性映射: ,其中 (2)求在基础矩阵为基下的表示矩阵. (3)分别求和的维数和一组基. (4)求的Jordan标准型. 证明 (1)对任意的以及,有 故是线性映射.(2)注意到 故在基础矩阵为基下的表示矩阵为(3)由题意可知,此时的一组基为 而,此时的一组基为(4)由于是实对称阵,故一定可对角化,计算可知的特征值为 于是的Jordan标准型为.ECNU202303 已知是酉空间上的线性变换,满足对任意的,有是实数,证明: 是自伴随变换. 证明 设对任意的,有,且,考虑 而是实数且,即,即.而类似上述讨论可知,故,即,故是自伴随变换.ECNU202304 已知是实系数多项式空间上的映射,且满足 (a) ; (b) . (1)证明: 是的形式导数. (2)求限制在次数不超过的实系数多项式空间上的所有不变子空间. 证明 (1)由题意可知,于是.下用数学归纳法证明.首先当时,结论成立.假设成立,则有 这表明结论对也成立,归纳完毕.(2)取的一组基 则在这组基下的表示矩阵为由 第四版复旦高代白皮书例7.90 可得的所有不变子空间为其中,不变子空间个数为个.ECNU202305 证明:对任何可逆复矩阵以及任意的正整数,矩阵方程一定有解. 证明 由 第四版复旦高代白皮书例7.72 可得. ECNU202306 设和是数域上的有限维线性空间,如果上的任意线性空间和双线性映射满足对上的任意线性空间以及任意双线性映射,都存在唯一的线性映射,使得,则称是和的张量积.证明: 张量积 在同构意义下是唯一的. 证明 本题即为张量积(tensor product)的泛性(万有性质)(universal property).请参看张贤科,许甫华,高等代数学(第2版),清华大学出版社, 2004年.该书第12章详细介绍了张量积相关内容. |
|
|
