将军饮马、费马点、胡不归、阿氏圆，求解多条线段和的最值问题

在几何问题中有一类求解多条线段和的最值问题，难度较大，这类问题往往通过轴对称、旋转、三角函数、相似等方法转化为“两点之间线段最短”、'垂线段最短”这两个基本原理来解决.下面结合“将军饮马”、“费马点”、'胡不归’、“阿氏圆”四种不同类型的问题加以说明.

一、将军饮马问题

基本模型

已知直线l和l的同侧两点A,B,在直线l上找一点P,使得PA +PB最小 .

分析 如图1,通过轴对称，作点B关于 直线1的对称点B',连结AB'.在直线l上任取 一点P',由基本原理“两点之间线段最短”,可 知P A + P B = A B' ≤ P'A + P'B .

图 1

图 2

例 1 已知菱形OABC在平面直角坐标 系的位置如图2所示，顶点A(5,0),D(0,1). P是对角线OB上一动点，连结PC,PD,求PC + PD的最小值.

解析 这道题是大家熟悉的将军饮马问 题，我们只需作其中一个定点关于定直线的 对称点即可. 由菱形的性质，可知点C与点A 关于0B对称 . 如图2,连结AD,则PC+PD的最小值就是线段AD的长度. 由勾股定理，可得AD= √ 26,即PC+PD的最小值为 √ 26 .

例2 如图3,在等边△ABC中，AB =6, N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线 交BC于点D,M是AD上的一动点，连结MB, MN,求MB+MN 的最小值.

图3

解析 这道题仍沿用将军饮马问题的解 决思路.找点B关于定直线AD的对称点，即点 C,连结MC.因为N是定直线AB上的动点，如 图3,当C,M,N三点共线，且CN上AB时，MC +MN最小.过点C作CE上AB,垂足为E,那么 MB+MN的最小值就是线段CE的长度.由题 意，可得CE=3 √ 3,即MB+MN的最小值为3 √3.

评注 以上两例分属于将军饮马问题中 的“两定一动”型与“两动一定”型，当然还有 “两动两定”型、“三动”型等等，其基本原理 都是转化为“两点之间线段最短”或者“垂线 段最短”来解决.

二、费马点问题

例3 如图4,正方形ABCD的边长为2,P 为对角线BD(不含B点)上任意一点，求PA+ PB+PC 的最小值.

解析 这道题是三条线段之和，且是共 顶点的三条线段.我们需要通过几何变换，使 它们形成首尾相连的三条线段，再利用基本 原理解决.我们尝试将△ABP绕点B逆时针旋转一定的角度，如果PP′= PB,那么PA,PB, PC就形成了首尾相连的三条线段，故△PPB 就应该为等边三角形，即旋转角度为60°.

图4

如图4,将△ABP绕点B逆时针旋转60°, 连结PP,AC,则PA+PB+PC=AP'+PP’+PC≥A'C, 即PA+PB+PC 的最小值就是线段A’的长度.过点A'作A'E上BC交CB延长线于点E . 易得∠A’BE=30°,A'B=BC=2, 所以A’E=1,EB = √ 3 .在Rt△A'EC中，由勾股定理，可得A'C = √ 2+J6,故PA+PB+PC 的最小值为(√ 2+ √6.

变式 如图5,已知边长为2的等边 △ABC,P为△ABC 内任意一点，连结PA,PB, PC .求PA+ √2PB+PC 的最小值.

图5

解析 联想到等腰直角三角形斜边与直 角边的关系，我们确定旋转角度为90°.

如图5,将△ABP绕点B逆时针旋转90°, 连结A'C,P'P,则PA+ √ 2PB+AC=A'P'+ P'P+PC≥A'C, 即PA+ √2PB+PC 的最小值就是线段AC的长度.同例3,可得A'C= √2+ √ 6,故PA+√2PB+PC 的最小值为√2+√6 .

评注 在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点. 此类问题一般通过图形的旋转或向外作等边三角形等手段将几条线段的和用折线的长来 表示，然后利用“两点之间线段最短”来解决.

三、胡不归问题

例4 如图6,已知D为射线AB上一动 点， ∠CAB =30°,AC =2,求DC+DA/2的最小值.

图6

解析 根据题意，我们需要在图6中构造长度为DA/2的替代线段，将问题转化为将军饮马问题.那么，如何将DA/2用另一条替代线段表示呢?一条线段是另一条线段的一半， 我们可以联想到直角三角形中30°角所对的 边是斜边的一半.为此我们尝试在AD的下方 作∠DAM=30°,再过点D作DE⊥AM,垂足为E(如图6).此时，DE=DA/2,则DC+DA/2就转化为DC+DE .过点C作CF⊥AM 于点F.由“垂线段最短”,可知DC+DA/2的最小值就是垂线段CF的长度.易得CF = √3, 故DC+DA/2的最小值为 √3.

变式 如图7,四边形ABCD是菱形， AB=4,∠ABC=60°,M为对角线BD(不含B 点)上任意一点，求2MA+MB的最小值.

图7

分析 将2MA+ MB改写为2(AM +MB/2）,这样问题就归结为例4来解决.

评注 “胡不归”问题是当动点P在直线 上运动，形如“mPA+nPB”型的“两定一动” 型最值问题.解决策略：(1)将所求线段和改 写为

的形式n/m＜1; ( 2 ) 以 B 以起点，在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角 度 α,使得sin α=n/m;(3)过点A作∠α — 边的垂线段.其基本思路是借助正弦，转化为 “垂线段最短”来解决.

四、阿氏圆问题

例 5 如图8,在Rt△ABC 中，∠ACB =90°, CB=4,CA =6,圆C半径为2,点P为圆C上一动点，连结PA,PB,求PA+PB/2的最小值.

图 8

解析 这道题仍然需要将PB/2变成共顶点的替代线段，也就是转化为将军饮马问题来解决.那么，如何将PB/2用替代线段来表示?能不能借助胡不归问题的解决经验，运用正弦来转化呢?这里点P在圆C上运动，BP不是定直线，借助正弦解决有困难.还有哪些经 验涉及到线段的比例问题呢?我们可以联想 到相似，构造两个相似三角形.

如图8,连结CP. 因为CP：CB=1：2,所以在CB 上找 一 点D,使得CD：CP=1：2,连结PD . 此时 △CDP~△CPB,所以

, 即PD =PB/2.连结AD,则PA+PB/2的最小值就是线段AD的长度，由题意，可得AD = √ 37,. 故PA+PB/2的最小值为37.

变式 如图9,在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°,AC=BC=4,圆C 的半径为2,点D是圆C上的一动点，点E在BC上，CE =1,连结DA,DE,求DA/2+2DE的最小值 .

图 9

解析 如图9,连结DC .

因为CD/CE=2,所以在CE的延长线上找一 点M,使得CM/CD=2 . 由题意，可知点M与点B重合. 连结BD , 则△CDB △CED,所以

, 即DB = 2DE .同理，在AC上找一点F,使得CF/CD=1/2,则DF=DA/2 .连结BF,则DA/2+2DE的最小值就是线段BF的长度 .

由题意，可得BF = √ 17,故DA/2+2DE的最小值为 √17.

评注 “阿氏圆”问题是当动点P在圆C上运动，形如

,且m≠1,n≠1型的“两定一动”型最值问题.解决步骤：(1)如图10,将系数不为1的线段(如nPB)的两个端点分别与 圆心C连结；(2)在线段CB或射线CB上取一点M,使得CM：CP=CP：CB'

(3)同理，确定第二个定点，连结两个定点.其基本原理是构造相似，转化为“两点之间线段最短”来解决.

图 1 0

最值问题虽然难度较大，若能针对题目 的本质特征，合理地运用轴对称、旋转、三角函数、相似等方式转化为基本原理来解决，往往可以化难为易，化繁为简.