【原】专题24 勾股定理逆定理-中考数学一轮复习精讲+热考题型（专题测试）（解析版）

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________ 姓名_________  学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（浙江模拟）的三个角所对的三边分别为a，b，c，若，则下列错误的是（    ）

A．   B．  

C．   D．

【答案】B

【分析】

根据题意可得为直角三角形，∠A=90°，故可进行判断．

【详解】

∵的三个角所对的三边分别为a，b，c，若，

∴

∴为直角三角形，∠A=90°，

∴，A正确,B错误；

∴，，C,D正确；

故选B．

2．（浙江绍兴市模拟）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（    ）

A．a=5，b=12，c=13    B．

C．∠B=50°，∠C=40°  D．∠A：∠B：∠C=3：4：5

【答案】D

【分析】

根据直角三角形的判定方法进行排除选项即可．

【详解】

A、由a=5，b=12，c=13可得：，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；

B、由可得△ABC是直角三角形，故不符合题意；

C、由∠B=50°，∠C=40°可得△ABC是直角三角形，故不符合题意；

D、由∠A：∠B：∠C=3：4：5可设，所以∠A+∠B≠∠C，所以△ABC不是直角三角形，故符合题意；

故选D．

3．（西安市模拟）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ）

A．1，2，3    B．1，，  C．，2，  D．5，6，7

【答案】B

【分析】

根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．

【详解】

解：A. ，不能构成直角三角形，故本选项错误；

B. ，能构成直角三角形，故本选项正确；

C. ，不能构成直角三角形，故本选项错误；

D. ，不能构成直角三角形，故本选项错误．

故选：B．

4．（云南丽江市模拟）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A．1，4，9    B．1，，2   C．1，，2   D．5，11，12

【答案】C

【分析】

根据勾股定理的逆定理逐项分析即可．

【详解】

解：A、∵1²+4²≠9²，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；

B、∵1²+()²≠2²，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；

C、∵1²+()²＝2²，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形；

D、∵5²+11²≠12²，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形．

故选：C．

5．（广西贺州市三模）如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【分析】

利用勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形，AB为斜边，因为D是AB的中点，根据直角三角形的性质可以得到CD=AB=2.5．

【详解】

解：∵，，，

∴，

∴△ABC是直角三角形，AB为斜边，

∵D是AB的中点，

∴CD=AB=2.5．

故选D．

6．（辽宁大连市二模）如图，在平行四边形中，，，，则的长是（  ）

A．   B．  C．3   D．5

【答案】B

【分析】

先根据平行四边形的性质求得OA和OC的长，然后根据勾股定理逆定理求得∠BAC=90°，最后用勾股定理即可求得BC的长．

【详解】

解：∵在平行四边形中，，

∴OA=AC=1，OB=BD=2

∴AB²=3，OA²=1，OB²=4

∴AB²+OA²=OB²

∴∠BAC=90°

∴BC=

故选B．

7．（江苏苏州市二模）如图，网格中的每个小正方形的边长都是每个顶点都在网格线的交点处，则的值等于（  ）

A．    B．    C．   D．

【答案】B

【分析】

延长AB至D，使AB=BD，连接CD，作CE⊥AD于点E，可利用割补法求出△ADC面积为6，根据面积公式求出CE的值，进而求得的值．

【详解】

解：如图，延长AB至D，使AB=BD，连接CD，作CE⊥AD于点E，

则，

∵，

∴，

∴，

∴．

故答案选：B．

8．（河南开封市·九年级二模）从4条长度分别为4，6，8，10的线段中，任取三条能围成直角三角形的概率是（   ）

A．    B．    C．    D．0

【答案】B

【分析】

从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．

【详解】

解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：4，6，8；4，6，10；6，8，10；4，8，10共4种，

其中构成直角三角形的有6，8，10共1种，

则P（构成直角三角形）＝．

故选：B．

9．（广西贵港市·九年级一模）如图，已知中，是的垂直平分线，交于点交于点连接则的值为（  ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【分析】

直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出DC的长．

【详解】

解：∵AB=5，AC=4，BC=3，

∴BC²+AC²=AB²，

∴△ABC是直角三角形，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AE=EC=2，DE//BC，且线段DE是△ABC的中位线，

∴D是AB中点，

∴DC==2.5．

故选：D．

10．（重庆北碚区·九年级其他模拟）已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是　　

A．等腰三角形    B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形    D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】

将等号右侧式子移到左侧,再将其因式分解,然后根据：若xy=0,则x=0或y=0,判断即可.

【详解】

解:

∵，，是的三边

∴

∴或

解得: 或

∴是等腰三角形或直角三角形.

故选C.

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（陕西咸阳市模拟）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题．

（1）线段AB的长为__，BC的长为__，CD的长为__，AD的长为__；

（2）连接AC，通过计算△ACD的形状是__；△ABC的形状是__．

【答案】（1），5，2，2；（2）等腰三角形，直角三角形

【分析】

（1）利用勾股定理计算即可． （2）根据等腰三角形的定义，勾股定理的逆定理判断即可．

【详解】

解：（1）由题意AB＝

BC

CD

AD

故答案为，5，2，2

（2）∵AC

∴AC＝AD，

∴△ACD是等腰三角形，

∵AB＝，AC＝，BC＝5，

∴AB²+AC²＝25＝BC²，

∴∠BAC＝90°

∴△ABC是直角三角形，

故答案为等腰三角形，直角三角形．

12．如图所示的网格是正方形网格，则__________．

【答案】45°

【分析】

延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD²=BD²=1+2²=5，PB²=1²+3²=10，求得PD²+DB²=PB²，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．

【详解】

如图，延长AP交格点于D，连接BD，

，

∵PD²=BD²=1+2²=5，PB²=1²+3²=10，

∴PD²+DB²=PB²，

∴∠PDB=90°，

∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，

故答案为：45．

13．（北京海淀区模拟）如图，正方形网格中，点，，，均在格点上，则______．

【答案】45；

【分析】

如图，连接BE，证出△OBE为等腰直角三角形，得出∠EOB=45°，即可求得的度数．

【详解】

解：如图，连接BE，

设每个小方格的边长为1，

则OE=BE= ，OB= ，

可得，

即△OBE为等腰直角三角形，

∴∠EOB=45°，

∴，

故答案为：45．

14．（湖南邵阳市一模）如图所示，在的正方形网格中，从在格点上的点中任取两个点和点D构成的三角形恰好是直角三角形的概率为__________．

【答案】

【分析】

从在格点上的点中任取两个点和点D构成的三角形有ABD、ACD和BCD，根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得ABD和ACD是直角三角形，BCD不是直角三角形，然后利用概率公式求概率即可．

【详解】

15．（湖北武汉市模拟）在四边形中，且，，，，则___________．

【答案】

【分析】

先根据已知利用勾股定理的逆定理得出∠DAB=90º，再解直角三角形得到∠BAC=30º，即可解答．

【详解】

在ΔABD中，∵，，，

∴，

∴ΔABD是直角三角形，且∠DAB=90º，

∵且，，

∴sin∠BAC=，

∴∠BAC=30º

∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=90º+30º=120º，

故答案为：120º．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（柳州市柳林中学中考真题）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．

（1）求△ADO的周长；

（2）求证：△ADO是直角三角形．

【答案】（1）30；（2）见解析．

【分析】

（1）根据平行四边形的对角线互相平分确定AO和DO的长，然后求得周长即可；

（2）利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴对角线AC与BD相互平分，

∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∵AC＝26，BD＝10，

∴OA＝13，OD＝5，

∵AD＝12，

∴△AOD的周长＝5+12+13＝30；

（2）由（1）知 OA＝13，OD＝5，AD＝12，

∵5²+ 12²＝13²，

∴在△AOD中，AD²+DO²＝AO² ，

∴△AOD是直角三角形．

17．（西安市模拟）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．

（1）判断的形状，并说明理由；

（2）求AB边上的高．

【答案】（1）ABC为直角三角形，理由见解析；（2）2

【分析】

（1）根据题意，可以分别求得BC、AC、AB的长，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状；
（2）根据等积法，可以求得AB边上的高．

【详解】

解：（1）△ABC为直角三角形，

理由：由图可知，

，BC＝，AB＝＝5，

∴AC²+BC²＝AB²，

∴△ABC是直角三角形；

（2）设AB边上的高为h，

由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，

∴＝，

即＝h，

解得，h＝2，

即AB边上的高为2．

18．（云南丽江市模拟）一块木板如图所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,木板的面积是多少？

【答案】24

【分析】

连接AC，利用勾股定理解出直角三角形ABC的斜边，通过三角形ACD的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差．

【详解】

连接AC，

∵在△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，

∴AC=5，

∵在△ACD中，AC=5，DC=12，AD=13，

∴DC²+AC²=12²+5²=169，AD²=13²=169，

∴DC²+AC²=AD²，△ACD为直角三角形，AD为斜边，

∴木板的面积为：S_△ACD-S_△ABC=×5×12-×3×4=24．

19．阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a²c²﹣b²c²＝a⁴﹣b⁴，试判断△ABC的形状．

解：因为a²c²﹣b²c²＝a⁴﹣b⁴，①

所以c²（a²﹣b²）＝（a²﹣b²）（a²+b²）．②

所以c²＝a²+b²．③

所以△ABC是直角三角形．④

请据上述解题回答下列问题：

（1）上述解题过程，从第　  　步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为　   　；

（2）请你将正确的解答过程写下来．

【答案】（1）③，忽略了a²﹣b²＝0的可能；（2）见解析

【分析】

（1）上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以a²-b²，没有考虑a²-b²是否为0；
（2）正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．

【详解】

解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a²﹣b²＝0的可能；

（2）正确的写法为：c²（a²﹣b²）＝（a²+b²）（a²﹣b²），

移项得：c²（a²﹣b²）﹣（a²+b²）（a²﹣b²）＝0，

因式分解得：（a²﹣b²）[c²﹣（a²+b²）]＝0，

则当a²﹣b²＝0时，a＝b；当a²﹣b²≠0时，a²+b²＝c²；

所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

故答案为：③，忽略了a²﹣b²＝0的可能．

20．（福建厦门市一模）已知点D在△ABC的BC边上，且△ACD和△ADB面积相等．

（1）请用尺规作图作出点D（不写做法，保留作图痕迹）；

（2）若，，，求△ABD的面积．

【答案】（1）见解析；（2）3

【分析】

（1）根据题意可知D点为BC中点，故作BC的垂直平分线即可；

（2）根据勾股定理证明AC⊥BC，再根据三角形的面积公式即可求解．

【详解】

解：

如图所示，点D即为所求. 

（2）连接AD.由（1）可得CD=BD，

∴BC=CD+BD=6.   

在△ABC中，

    

∴   

∴∠ACB=90°即AC⊥BC. 

∴S_△ABD=BD·AC=．