专题28 四边形综合 【知识要点】 四边形之间的从属关系 特殊四边形的性质与判定: 【考查题型】 考查题型一四边形综合 典例1.(浙江温州市·中考真题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,过点C作CR⊥FG于点R,再过点C作PQ⊥CR分别交边DE,BH于点P,Q.若QH=2PE,PQ=15,则CR的长为( ) A.14 B.15 C. D. 【答案】A 【提示】连接EC,CH,设AB交CR于点J,先证得△ECP∽△HCQ,可得,进而可求得CQ=10,AC:BC=1:2,由此可设AC=a,则BC=2a,利用AC∥BQ,CQ∥AB,可证得四边形ABQC为平行四边形,由此可得AB=CQ=10,再根据勾股定理求得,,利用等积法求得,进而可求得CR的长. 【详解】解:如图,连接EC,CH,设AB交CR于点J, ∵四边形ACDE,四边形BCIH都是正方形, ∴∠ACE=∠BCH=45°, ∵∠ACB=90°,∠BCI=90°, ∴∠ACE+∠ACB+∠BCH=180°,∠ACB+∠BCI=180°, ∴点E、C、H在同一直线上,点A、C、I在同一直线上, ∵DE∥AI∥BH, ∴∠CEP=∠CHQ, ∵∠ECP=∠QCH, ∴△ECP∽△HCQ, ∴, ∵PQ=15, ∴PC=5,CQ=10, ∵EC:CH=1:2, ∴AC:BC=1:2, 设AC=a,则BC=2a, ∵PQ⊥CR,CR⊥AB, ∴CQ∥AB, ∵AC∥BQ,CQ∥AB, ∴四边形ABQC为平行四边形, ∴AB=CQ=10, ∵, ∴, ∴(舍负) ∴,, ∵, ∴, ∵JR=AF=AB=10, ∴CR=CJ+JR=14, 故选:A. 变式1-1.(江苏无锡市·中考真题)如图,在四边形中,,,,把沿着翻折得到,若,则线段的长度为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【提示】根据已知,易求得,延长交于,可得,则,再过点作,设,则,,,在中,根据,代入数值,即可求解. 【详解】解:如图 ∵ ,,, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴,延长交于, ∴ ,则, , 过点作,设,则,, ∴, ∴在中,,即, 解得:, ∴. 故选B. 变式1-2.(浙江中考真题)四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°,则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是( ) A.1 B. C. D. 【答案】B 【提示】 如图,连接DD',延长C'D'交AD于E,由菱形ABC'D',可得AB∥C'D',进一步说明∠ED'D=30°,得到菱形AE=AD;又由正方形ABCD,得到AB=AD,即菱形的高为AB的一半,然后分别求出菱形ABC'D'和正方形ABCD的面积,最后求比即可. 【详解】 解:如图:延长C'D'交AD于E ∵菱形ABC'D' ∴AB∥C'D' ∵∠D'AB=30° ∴∠A D'E=∠D'AB=30° ∴AE=AD 又∵正方形ABCD ∴AB=AD,即菱形的高为AB的一半 ∴菱形ABC′D′的面积为,正方形ABCD的面积为AB2. ∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是. 故答案为B. 变式1-3.(四川眉山市·中考真题)如图,在菱形中,已知,,,点在的延长线上,点在的延长线上,有下列结论:①;②;③;④若,则点到的距离为.则其中正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【提示】 ①只要证明即可判断;②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断;③根据相似三角形的判定方法即可判断;④求得点到的距离即可判断.综上即可得答案. 【详解】 ∵四边形是菱形, ∴,, ∵∠ABC=60°, ∴是等边三角形, ∴∠ACD=∠ACB=60°,AB=AC, ∴∠ABE=∠ACF=120°, ∵, ∴∠BAE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°, ∴, ∴, 在和中,, ∴, ∴,.故①正确; ∵, ∴是等边三角形, ∴, ∵, ∴,故②正确; ∵, ∴, ∵, ∴和不会相似,故③不正确; 过点作于点,过点作于点, ∵,, ∴, ∵在中,,, ∴,, ∵在中,, ∴, ∴, ∵, ∴,, ∴, ∴在中,,, ∴. ∴. ∴点到的距离为,故④不正确. 综上,正确结论有①②,共2个, 故选B. 变式1-4.(四川攀枝花市·九年级一模)如图,正方形ABCD中,E为CD的中点,AE的垂直平分线分别交AD,BC及AB的延长线于点F,G,H,连接HE,HC,OD,连接CO并延长交AD于点M.则下列结论中: ①FG=2AO;②OD∥HE;③;④2OE2=AH·DE;⑤GO+BH=HC 正确结论的个数有( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【提示】 建立以B点位坐标原点的平面直角坐标系,分别求出相应直线的解析式和点的坐标,求出各线段的距离,可得出结论. 【详解】 解:如图, 建立以B点为坐标原点的平面直角坐标系,设正方形边长为2,可分别得各点坐标, A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2), E为CD的中点,可得E点坐标(2,1),可得AE的直线方程,,由OF为直线AE的中垂线可得O点为,设直线OF的斜率为K,得,可得k=2,同时经过点O(),可得OF的直线方程: ,可得OF与x轴、y轴的交点坐标G(,0),H(0,),及F(,2), 同理可得:直线CO的方程为:,可得M点坐标(,2), 可得:①FG=, AO==, 故FG=2AO,故①正确; ②:由O点坐标,D点坐标(2,2),可得OD的方程:, 由H点坐标(0,),E点坐标(2,1),可得HE方程:, 由两方程的斜率不相等,可得OD不平行于HE, 故②错误; ③由A(0,2),M(,2),H(0,),E(2,1), 可得:BH=,EC=1,AM=,MD=, 故=, 故③正确; ④:由O点坐标,E(2,1),H(0,),D(2,2), 可得:, AH=,DE=1,有2OE2=AH·DE, 故④正确; ⑤:由G(,0),O点坐标,H(0,),C(2,0), 可得:, BH=,HC=, 可得:GO≠BH+HC, 故正确的有①③④, 故选B. 变式1-5.(广东九年级三模)如图,在一张矩形纸片中,,,点,分别在,上,将纸片沿直线折叠,点落在上的一点处,点落在点处,有以下四个结论: ①四边形是菱形;②平分;③线段的取值范围为;④当点与点重合时,. 以上结论中,你认为正确的有( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【提示】 ①先判断出四边形CFHE是平行四边形,再根据翻折的性质可得CF=FH,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明,判断出①正确; ②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH,然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH,判断出②错误; ③点H与点A重合时,设BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值,点G与点D重合时,CF=CD,求出最大值BF=4,然后写出BF的取值范围,判断出③正确; ④过点F作FM⊥AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判断出④正确. 【详解】 解: ①∵FH与CG,EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分, ∴FH∥CG,EH∥CF, ∴四边形CFHE是平行四边形, 由翻折的性质得,CF=FH, ∴四边形CFHE是菱形,(故①正确); ②∴∠BCH=∠ECH, ∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH,(故②错误); ③点H与点A重合时,此时BF最小,设BF=x,则AF=FC=8-x, 在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2, 即42+x2=(8-x)2, 解得x=3, 点G与点D重合时,此时BF最大,CF=CD=4, ∴BF=4, ∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4,(故③正确); 过点F作FM⊥AD于M, 则ME=(8-3)-3=2, 由勾股定理得, EF===,(故④正确); 综上所述,结论正确的有①③④共3个, 故选C. 考查题型二 连接四边形中点得到新四边形,探索其性质 典例2.(黑龙江双鸭山市模拟)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形.则四边形ABCD一定是( ) A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形 【答案】D 【提示】 根据三角形的中位线定理得到EH∥FG,EF=FG,EF=BD,要是四边形为菱形,得出EF=EH,即可得到答案. 【详解】 解:∵E,F,G,H分别是边AD,DC,CB,AB的中点, ∴EH=AC,EH∥AC,FG=AC,FG∥AC,EF=BD, ∴EH∥FG,EF=FG, ∴四边形EFGH是平行四边形, 假设AC=BD, ∵EH=AC,EF=BD, 则EF=EH, ∴平行四边形EFGH是菱形, 即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形, 故选D. 变式2-1.(河北模拟)如图,,是四边形的对角线,点,分别是,的中点,点,分别是,的中点,连接,,,,要使四边形为正方形,则需添加的条件是( ) A., B., C., D., 【答案】A 【提示】 证出、、、分别是、、、的中位线,得出,,,,证出四边形为平行四边形,当时,,得出平行四边形是菱形;当时,,即,即可得出菱形是正方形. 【详解】 点,分别是,的中点,点,分别是,的中点, 、、、分别是、、、的中位线, ,,,, 四边形为平行四边形, 当时,, 平行四边形是菱形; 当时,,即, 菱形是正方形; 故选:. 变式2-2.(四川成都市一模)顺次连结一个平行四边形的各边中点所得四边形的形状是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】A 【详解】 试题提示:连接平行四边形的一条对角线,根据中位线定理,可得新四边形的一组对边平行且等于对角线的一半,即一组对边平行且相等.则新四边形是平行四边形. 解:顺次连接平行四边形ABCD各边中点所得四边形必定是:平行四边形, 理由如下: (如图)根据中位线定理可得:GF=BD且GF∥BD,EH=BD且EH∥BD, ∴EH=FG,EH∥FG, ∴四边形EFGH是平行四边形. 故选A. 变式2-3.(河北保定市模拟)如图,在任意四边形中,,,,分别是,,,上的点,对于四边形的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是( ) A.当,,,是各边中点,且时,四边形为菱形 B.当,,,是各边中点,且时,四边形为矩形 C.当,,,不是各边中点时,四边形可以为平行四边形 D.当,,,不是各边中点时,四边形不可能为菱形 【答案】D 【提示】 当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点时,连接AC、BD,如图,根据三角形的中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形,然后根据菱形的定义和矩形的定义即可对A、B两项进行判断;画出符合题意的平行四边形,但满足,,,不是各边中点即可判断C项;画出符合题意的菱形,但满足,,,不是各边中点即可判断D项,进而可得答案. 【详解】 解:A.当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点时,连接AC、BD,如图,则由三角形的中位线定理可得:EH=BD,EH∥BD;FG=BD,FG∥BD,所以EH=FG,EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形; 当AC=BD时,∵EH=BD,EF=AC,∴EF=EH,故四边形EFGH为菱形,故A正确; B.当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点,且AC⊥BD时,如上图,由三角形的中位线定理可得:EH∥BD,EF∥AC,所以EH⊥EF,故平行四边形EFGH为矩形,故B正确; C.如图所示,若EF∥HG,EF=HG,则四边形EFGH为平行四边形,此时E,F,G,H不是四边形ABCD各边中点,故C正确; D.如图所示,若EF=FG=GH=HE,则四边形EFGH为菱形,此时E,F,G,H不是四边形ABCD各边中点,故D错误; 故选:D. 变式2-4.(广东惠州市·九年级一模)已知:顺次连接矩形各边的中点,得到一个菱形,如图①;再顺次连接菱形各边的中点,得到一个新的矩形,如图②;然后顺次连接新的矩形各边的中点,得到一个新的菱形,如图③;如此反复操作下去,则第2012个图形中直角三角形的个数有( ) A.8048个 B.4024个 C.2012个 D.1066个 【答案】B 【解析】 :第1个图形,有4个直角三角形, 第2个图形,有4个直角三角形, 第3个图形,有8个直角三角形, 第4个图形,有8个直角三角形, …, 依次类推,当n为奇数时,三角形的个数是2(n+1),当n为偶数时,三角形的个数是2n个, 所以,第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024. 故选B. 变式2-5.(南昌市模拟)如图,四边形ABCD中,AC=m,BD=n,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形A5B5C5D5的周长是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【提示】 根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形A1B1C1D1是矩形,根据菱形的判定定理得到四边形A2B2C2D2是平行四边形,得到四边形A5B5C5D5为矩形,计算即可. 【详解】 解:点A1,D1分别是AB、AD的中点, ∴A1D1∥BD,A1D1=BD=n, 同理:B1C1∥BD,B1C1=BD=n, ∴A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1, ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形, ∵AC⊥BD,AC∥A1B1,BD∥A1D1, ∴A1B1⊥A1D1, ∴四边形A1B1C1D1是矩形,其周长为2×(m+n)=m+n, 同理,四边形A2B2C2D2是平行四边形, ∵A2B2=A1C1,B2C2=A1C1, ∴A2B2=B2C2, ∴四边形A2B2C2D2是菱形, 同理,A3B3C3D3为矩形,周长为, ∴矩形A5B5C5D5的周长为, 故选:A. 考查题型三 利用平行四边形(特殊)的对称性求阴影面积 典例3.(山东济南市一模)如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F,矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题提示:矩形的对角线将矩形分割成面积相等的四部分,如图,因为△DOF和△EOB是全等三角形,将△DOF切割到△EOB与△AOE合并成△AOB,刚好占了该矩形面积的,所以P落在阴影部分的概率是. 考点:矩形的性质和事件概率 变式3-1.下面各图中,所有大正方形边长是,所有小正方形边长是.下面各图中阴影部分面积最大的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【提示】 大正方形的边长为4,小正方形的边长为3,根据:三角形的面积=底×高÷2,平行四边形的面积=底×高,分别求出四个选项中阴影部分的面积,然后进行比较即可. 【详解】 解:大正方形的边长为4,小正方形的边长为3,则: B图形的阴影面积最大. 变式3-2.(天津市一模)正方形ABCD的边长为1cm,E、F分别是BC、CD的中点,连接BF、DE,则图中阴影部分的面积是( )cm2. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题提示:阴影部分的面积可转化为两个三角形面积之和,根据角平分线定理,可知阴影部分两个三角形的高相等,正方形的边长已知,故只需将三角形的高求出即可,根据△DON∽△DEC可将△ODC的高求出,进而可将阴影部分两个三角形的高求出. 连接AC,过点O作MN∥BC交AB于点M,交DC于点N,PQ∥CD交AD于点P,交BC于点Q ∵AC为∠BAD的角平分线, ∴OM=OP,OQ=ON; 设OM=OP=h1,ON=OQ=h2, ∵ON∥BC ∴,即,解得 ∴OM=OP 故选B. 变式3-3.(襄樊市一模)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE为BC边上的高,将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E,则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为( ) A.0.7 B.0.9 C.2−2 D. 【答案】C 【解析】 试题提示:如图,求出AE、BE的长度,证明△CFB1∽△BAB1,列出比例式求出CF的长度,运用三角形的面积公式即可解决问题. 试题解析:如图: ∵∠B=45°,AE⊥BC ∴∠BAE=∠B=45° ∴AE=BE 由勾股定理得:BE2+AE2=22 解得:BE= 由题意得:△ABE≌△AB1E ∴∠BAB1=2∠BAE=90°,BE=B1E= ∴BB1=2,B1C=2-2 ∵四边形ABCD为菱形, ∴∠FCB1=∠B=45°,∠CFB1=∠BAB1=90°, ∴∠CB1F=45°,CF=B1F ∵CF∥AB ∴△CFB1∽△BAB1, ∴,解得:CF=2- ∴△AEB1、△CFB1的面积分别为:,. ∴△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积=. 故选C. 考查题型四 平行四边形(特殊)动点问题 典例4.(江苏南通市·中考真题)如图①,E为矩形ABCD的边AD上一点,点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止,点Q从点B出发沿BC运动到点C停止,它们的运动速度都是1cm/s.现P,Q两点同时出发,设运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),若y与x的对应关系如图②所示,则矩形ABCD的面积是( ) A.96cm2 B.84cm2 C.72cm2 D.56cm2 【答案】C 【提示】 过点E作EH⊥BC,由三角形面积公式求出EH=AB=6,由图2可知当x=14时,点P与点D重合,则AD=12,可得出答案. 【详解】 解:从函数的图象和运动的过程可以得出:当点P运动到点E时,x=10,y=30, 过点E作EH⊥BC, 由三角形面积公式得:y=, 解得EH=AB=6, ∴BH=AE=8, 由图2可知当x=14时,点P与点D重合, ∴ED=4, ∴BC=AD=12, ∴矩形的面积为12×6=72. 故选:C. 变式4-1.(贵州铜仁市·中考真题)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D,设点P运动的路程为x,△ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是( ) A.B.C.D. 【答案】D 【提示】 分别求出0≤x≤4、4<x<7时函数表达式,即可求解. 【详解】 解:由题意当0≤x≤4时, y=×AD×AB=×3×4=6, 当4<x<7时, y=×PD×AD=×(7﹣x)×4=14﹣2x. 故选:D. 变式4-2.(江西赣州市模拟)如图,菱形ABCD的边长是4厘米,∠B=60°,动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止,动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止.若点P、Q同时出发运动了t秒,记△BPQ的面积为S厘米2,下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【提示】 应根据0≤t<2和2≤t<4两种情况进行讨论.把t当作已知数值,就可以求出S,从而得到函数的解析式,进一步即可求解. 【详解】 当0≤t<2时,S=×2t××(4﹣t)=﹣t2+2t; 当2≤t<4时,S=×4××(4﹣t)=﹣t+4; 只有选项D的图形符合, 故选D. 变式4-3.(邵阳市模拟)如图,正方形ABCD边长为4,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,且AE=BF=CG=DH.设A、E两点间的距离为x,四边形EFGH的面积为y,则y与x的函数图象可能是( ) A.B.C. D. 【答案】A 【提示】 本题考查了动点的函数图象,先判定图中的四个小直角三角形全等,再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积,得函数y的表达式,结合选项的图象可得答案. 【详解】 解:∵正方形ABCD边长为4,AE=BF=CG=DH ∴AH=BE=CF=DG,∠A=∠B=∠C=∠D ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG ∴y=4×4﹣x(4﹣x)×4 =16﹣8x+2x2 =2(x﹣2)2+8 ∴y是x的二次函数,函数的顶点坐标为(2,8),开口向上, 从4个选项来看,开口向上的只有A和B,C和D图象开口向下,不符合题意; 但是B的顶点在x轴上,故B不符合题意,只有A符合题意. 故选:A. 考查题型五 求四边形中线段最值问题 典例5.(西藏中考真题)如图,在矩形中,,动点满足,则点到两点距离之和的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【提示】 先由,得出动点在与平行且与的距离是的直线上,作关于直线的对称点,连接,则的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形中,由勾股定理求得的值,即可得到的最小值. 【详解】 设中边上的高是. , , , 动点在与平行且与的距离是的直线上, 如图,作关于直线的对称点,连接,则的长就是所求的最短距离, 在中,, , 即的最小值为. 故选:A. 变式5-1.(浙江杭州市模拟)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=120°,AD=2AB=4,点H、G分别是边CD、BC上的动点.连接AH、HG,点E为AH的中点,点F为GH的中点,连接EF,则EF的最大值与最小值的差为( ) A.1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图,取AD的中点M,连接CM、AG、AC,作AN⊥BC于N. ∵四边形ABCD是平行四边形,∠BCD=120°, ∴∠D=180°-∠BCD=60°,AB=CD=2, ∵AM=DM=DC=2, ∴△CDM是等边三角形, ∴∠DMC=∠MCD=60°,AM=MC, ∴∠MAC=∠MCA=30°, ∴∠ACD=90°, ∴AC=2, 在Rt△ACN中,∵AC=2,∠ACN=∠DAC=30°, ∴AN=AC=, ∵AE=EH,GF=FH, ∴EF=AG, 易知AG的最大值为AC的长,最小值为AN的长, ∴AG的最大值为2,最小值为, ∴EF的最大值为,最小值为, ∴EF的最大值与最小值的差为. 变式5-2.(洛阳模拟)如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【提示】 先根据矩形的判定得出四边形是矩形,再根据矩形的性质得出,互相平分且相等,再根据垂线段最短可以得出当时,的值最小,即的值最小,根据面积关系建立等式求解即可. 【详解】 解:∵,,, ∴, ∵,, ∴四边形是矩形, ∴,互相平分,且, 又∵为与的交点, ∴当的值时,的值就最小, 而当时,有最小值,即此时有最小值, ∵, ∴, ∵,,, ∴, ∴, ∴. 故选:. 变式5-3.(辽宁铁岭市模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点E是BC中点,点F是边CD上的任意一点,当△AEF的周长最小时,则DF的长为( ) A.4 B.6 C.8 D.9 【答案】B 【详解】 作点E关于直线CD的对称点E′,连接AE′交CD于点F AE的长度是固定的,要△AEF的周长最小,只要AF+EF最小即可,又根据三角形两边之和大于第三边可知,对CD上任意点F′,总有AF′+E′F′>AE′,所以点F是使得AF+EF最小的点. ∵在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点E是BC中点, ∴BE=CE=CE′=6, ∵AB⊥BC,CD⊥BC, ∴△CE′F∽△BE′A,即CE′·AB=CF·BE′,即6×9=CF·(12+6),解得CF=3, ∴DF=CD-CF=9-3=6 故选B |
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