【原】专题31 点、直线、圆的位置关系-中考数学一轮复习精讲+热考题型（专题测试）（解析版）

专题31 点、直线、圆的位置关系

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________ 姓名_________  学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（重庆中考真题）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（　　）

A．65°   B．55°   C．45°   D．35°

【答案】B

【分析】

根据切线性质求出∠OAB=90°，根据直角三角形两锐角互余即可求解．

【详解】

解：∵AB为⊙O切线，

∴∠OAB=90°，

∵∠B=35°，

∴∠AOB=90°-∠B=55°．

故选：B．

2．（江苏常州市·中考真题）如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、B重合），，垂足为H，点M是的中点．若的半径是3，则长的最大值是（    ）

A．3   B．4   C．5   D．6

【答案】A

【分析】

根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知MH=BC，当BC为直径时长度最大，即可求解．

【详解】

解：∵

∴∠BHC=90°

∵在Rt△BHC中，点M是的中点

∴MH=BC

∵BC为的弦

∴当BC为直径时，MH最大

∵的半径是3

∴MH最大为3．

故选：A．

3．（江苏徐州市·中考真题）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【分析】

根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.

【详解】

∵，

∴∠APO=70°，

∵，

∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，

又∵OA=OB，

∴∠ABO=20°，

又∵点C在过点B的切线上，

∴∠OBC=90°，

∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°，

故答案为：B.

4．（山东济宁市·中考真题）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（   ）

A．4   B．2   C．2   D．4

【答案】B

【分析】

过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积．

【详解】

解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，
则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1
∴DH=2，BH=2，CD=2，

∴△DBC的面积为CD·BH=×2×2=2.

故选B.

5．（四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【分析】

过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．

【详解】

如图，过点O作，，设圆的半径为r，

∴△OBM与△ODN是直角三角形，，

∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，

∴,，

∴，，

∴，，

∴．

故答案选B．

6．（山东泰安市·中考真题）如图，是的切线，点A为切点，交于点B，，点C在上，．则等于（ ）

A．20°   B．25°   C．30°   D．50°

【答案】B

【分析】

连接OA，求出∠POA= 80°，根据等腰三角形性质求出∠OAB=∠OBA=50°，进而求出∠AOC=130°，得到∠C=25°，根据平行线性质即可求解．

【详解】

解：如图，连接OA，

∵是的切线，

∴∠PAO=90°，

∵，

∴∠POA=90°-∠P=80°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=50°，

∵，

∴∠BOC=∠ABO=50°，

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠C=25°，

∵，

∴∠BAC=∠C=25°．

7．（黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图是直径，点A为切点，交于点C，点D在上，连接，若，则的度数为（    ）

A．    B．  C．  D．

【答案】B

【分析】

根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由可求出∠AOC=．再由AB为圆O的切线，得AB⊥OA，由直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABO的度数，

【详解】

解：∵ ，

∴，

∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB=90°，

∴，

故选：B．

8．（四川泸州市·中考真题）如图，等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且，，则的长是(　　)

A．  B．    C．  D．

【答案】D

【分析】

如图，连接、、，交于，先证明点、、共线，即，从而可得，在中，利用勾股定理求出AE长，再由切线长定理求得BD长，进而得AD长，设⊙的半径为，则， ，

在中，利用勾股定理求得，在中，求得，再证明OB垂直平分，利用面积法可得，求得HE长即可求得答案.

【详解】

连接、、，交于，如图，

等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，

平分， ， ，，

，

，

点、、共线，

即，

，

在中， ，

，

，

设⊙的半径为，则， ，

在中，，解得，

在中，，

，，

垂直平分，

，，

，

，

，

故选D．

9．（重庆中考真题）如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连结OD．若，则∠AOD的度数为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【分析】

由AC是⊙的切线可得∠CAB=,又由，可得∠ABC=40;再由OD=OB，则∠BDO=40最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD计算即可.

【详解】

解：∵AC是⊙的切线

∴∠CAB=,

又∵

∴∠ABC=-=40

又∵OD=OB

∴∠BDO=∠ABC=40

又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD

∴∠AOD=40+40=80

故答案为C.

10．（山东中考真题）如图,O的直径AB=2,点D在AB的延长线上,DC与O相切于点C,连接AC.若∠A=30°,则CD长为(  )

A．    B．    C．  D．

【答案】D

【分析】

先连接BC，OC，由于AB 是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=30°，易求∠CBA，又DC是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=30°，再利用三角形外角性质可求∠D，再由切线的性质可得∠BCD=∠A=30°，∠OCD=90°，易得OD，由勾股定理可得CD．

【详解】

如图所示，连接BC，OC，

∵AB是直径,

∴∠BCA=90°，

又∵∠A=30°，

∴∠CBA=90°−30°=60°，

∵DC是切线，

∴∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°，

∴∠D=∠CBA−∠BCD=60°−30°=30°，

∵AB=2，

∴OC=1，

∴OD=2，

∴CD=，

故选D.

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（江苏苏州市·中考真题）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是_________．

【答案】25

【分析】

先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数．

【详解】

解：∵是的切线，

∴∠OAC=90°

∵，

∴∠AOD=50°，

∴∠B=∠AOD=25°

故答案为：25．

12．（四川达州市·中考真题）已知的三边a、b、c满足，则的内切圆半径=____．

【答案】1

【分析】

先将变形成，然后根据非负性的性质求得a、b、c的值，再运用勾股定理逆定理说明△ABC是直角三角形，最后根据直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半解答即可．

【详解】

解：

则=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，

∵4²+3²=5²

∴△ABC是直角三角形

∴的内切圆半径==1．

故答案为1．

13．（江苏泰州市·中考真题）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为_______．

【答案】3或5

【分析】

根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解．

【详解】

∵

∴与直线相切，OH=1

当在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；

当在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；

故答案为3或5．

14．（浙江台州市·中考真题）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE=55°，则∠C的度数为_____________ ．

【答案】55°

【分析】

根据AD是直径可得∠AED=90°，再根据BC是⊙O的切线可得∠ADC=90°，再根据直角的定义及角度等量替换关系即可得到∠C=∠ADE=55°．

【详解】

∵AD是直径，

∴∠AED=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°

∵BC是⊙O的切线，

∴∠ADC=90°，

∴∠C+∠DAE=90°

∴∠C=∠ADE=55°．

故答案为：55°．

15．（山东枣庄市·中考真题）如图，AB是的直径，PA切于点A，线段PO交于点C．连接BC，若，则________．

【答案】27°

【分析】

连接AC，根据直径所对的圆周角是直角、切线的定义得到，根据三角形外角的性质可得，因此可得，求解即可．

【详解】

如图，连接AC，

是的直径，

∴，

∴，

∵PA切于点A，

∴，

∴，

∵，，

∴，解得，

故答案为：．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC．

（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；

（2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠CAD=∠ABC，可得∠OAC=90°，可得结论；

（2）由勾股定理可求OA=OD=3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长．

【详解】

（1）直线AC是⊙O的切线，

理由如下：如图，连接OA，

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠ABC，

又∵∠CAD=∠ABC，

∴∠OAB=∠CAD=∠ABC，

∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC，

∴AC⊥OA，

又∵OA是半径，

∴直线AC是⊙O的切线；

（2）过点A作AE⊥BD于E，

∵OC²=AC²+AO²，

∴(OA+2)²=16+OA²，

∴OA=3，

∴OC=5，BC=8，

∵S_△OAC=OAAC=OCAE，

∴AE=，

∴OE=，

∴BE=BO+OE=，

∴AB=．

17．（江苏扬州市·中考真题）如图，内接于，，点E在直径CD的延长线上，且．

（1）试判断AE与的位置关系，并说明理由；

（2）若，求阴影部分的面积．

【答案】（1）AE与⊙O相切，理由见详解；（2）．

【分析】

（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；

（2）连接AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据，即可求出阴影部分的面积．

【详解】

（1）AE与⊙O相切，理由如下：

连接AO，

∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切线；

（2）连接AD，则，

∴∠DAC=90°，

∴CD为⊙O的直径，

在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，

∴，

∴，

∴，∠AOD=60°，

∴

∴．

18．（甘肃金昌市·中考真题）如图，圆是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．

（1）求的度数；

（2）若，求圆的半径．

【答案】（1）的度数为；（2）圆O的半径为2．

【分析】

（1）如图（见解析），设，先根据等腰三角形的性质得出，再根据圆的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，又根据三角形的内角和定理可求出x的值，从而可得的度数，最后根据圆周角定理即可得；

（2）如图（见解析），设圆O的半径为，先根据圆周角定理得出，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．

【详解】

（1）如图，连接OA

设

，

AE是圆O的切线

，即

在中，由三角形的内角和定理得：

即

解得

则由圆周角定理得：

故的度数为；

（2）如图，连接AD

设圆O的半径为，则

BD是圆O的直径

由（1）可知，

则在中，

在中，由勾股定理得：，即

解得或（不符题意，舍去）

则圆O的半径为2．

19．（江苏盐城市·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，垂足为交于点F；求证：是等腰三角形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

(1)连接OC，由AB是圆O的直径得到∠BCA=90°，进一步得到∠A+∠B=90°，再根据已知条件，且∠A=∠ACO即可证明∠OCD=90°进而求解；

(2)证明，再由DE⊥AB，得到∠A+∠AFE=90°，进而得到∠DCA=∠AFE=∠DFC，得到DC=DF，进而得到△DFC为等腰三角形．

【详解】

解：(1)证明：连接，

为圆的直径，

又

又点在圆上，

是的切线．

(2)

又

是等腰三角形．

20．（湖南湘潭市·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．

（1）求证：；

（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）直线与相切，理由见解析．

【分析】

（1）AB为的直径得，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；

（2）由得BD=BC，结合AO=BO得OD为的中位线，由得，可得直线DE为切线．

【详解】

（1）∵AB为的直径

∴

在和中

∴（HL）

（2）直线与相切，理由如下：

连接OD，如图所示：

由知：，

又∵OA=OB

∴OD为的中位线

∴

∵

∴

∵OD为的半径

∴DE与相切．