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1、东方数学的特点 作为四大文明古国的印度，早期拥有数学素养的人几乎都是僧人，或者种姓地位较高的人；而希腊则是人人可学习数学；中国是读书人取得功名后，按照自己的兴趣去学习探索。 古代东方的数学基本上是实用数学，数学完全是为实际生产服务的，以实用为目的。古代中国仅是把数学当做解决实际问题的一种工具。古代西方的数学，以希腊数学为例，他们的数学家一般都是哲学家，他们的数学更多的是从哲学家的兴趣爱好为驱动力的数学。 印度数学家多以天文学为职业，数学成果多半是经验的、实用的，很少给出推导和证明。本质上，印度和中国近似，在数学这一项目同属于古代东方数学。 除了古希腊人，在历史上的世界范围内都没有将数学独立出来，“为数学而数学”，单纯研究数学本身的民族。 2、印度数学起源 考古人员发现，早在公元前1200年，古印度的《吠陀经》，就已经记载了很多的数学知识。举个例子说，我们现在知道的“十进制”，就是出自于吠陀经，里面最初的记载是“十的力量”。在数学中，我们最清楚的通常是用10的幂表示，举个例子说，365可以表示为3*10^2，加上6*10^1，再加上5*10^1。用我们现代的数来来解释，就是10的幂，而在当时的数字和10的幂不是用阿拉伯数字表示的，古印度人都有特定的吠陀语，就是“十的力量”。 《绳法经》是印度最早的数学文献，其中的数学问题涉及祭坛设计中的几何图案和代数计算，毕达哥拉斯定理的应用，相似图形的性质，以及拉绳测量和基本几何体的面积计算等。比如书中提到的祭坛形状和尺寸的设计法则：不论祭坛是正方形、圆形、还是半圆形，面积必须相等。一直到印度教兴起，数学才逐渐摆脱了宗教的影响，成为天文学的有力工具。
这种数字出现在公元前3世纪，它被人们用于书写，婆罗门数字并不是数字系统的数字。数字系统是什么呢？数字系统仅仅意味着同一个数字在不同的位置上代表不同的值，举个例子，比如说55这个数字，在10位中的个位表示5个1，而在10位中的十位表示50。 而“婆罗门的数字”有着很多的符号表示和计算，所以婆罗门的数字一直到公元前600年才形成完整数字系统。考古学家研究证明，“婆罗门数字”就是阿拉伯数字的前身。 当今世界所用的最广泛的数字系统，几乎都是阿拉伯数字，如果没有阿拉伯数字，我们的文明发展将停滞甚至灭亡，所以所有使用阿拉伯数字的人都应该感谢婆罗门数字的发明者。在婆罗门数字中，古印度发现并发展了更全面的数学概念——零的概念。 在这期间，印度数学就像解应用题，设计规定形状的祭坛，搞懂一些基本的几何知识和结论；数学知识多半是用文字表达的近似的、经验性的法则。这一点也和早期中国数学的特点差不多。 印度人陈述的毕达哥拉斯定理：“矩形对角线生成的(正方形)面积等于矩形两边各自生成的(正方形)面积之和”。 接下来，亚历山大的东征促进了希腊与印度的交流，印度首先引入了零号和完整的十进制数字，这些印度数字先传入阿拉伯世界，再由阿拉伯传到欧洲；印度数字和十进制计数法被欧洲人普遍接受并改造，在近代科学进步中的意义是不言而喻的。 3、印度数学的0和负数 印度人的数学从宗教祭坛设计转向天文学，内容主要涉及算术(运算法则)，三角函数、不定方程、低阶方程等等代数问题。 在1811年，考古学家挖掘出“巴克沙利手稿”，就是在这个手稿中，科学家们发现了零的概念，这个手稿目前放在了伦敦的牛津大学图书馆中。“巴克沙利手稿”的出现，成为了公元前2世纪至公元前3世纪期间，对古印度数学唯一的见证。这个手稿，里面涉及了分数，平方根，数列，代数方程，级数求和等。里面还记载这一次放方程和二次方程。  巴克沙利手稿 巴克沙利手稿，是有70页的桦树皮组成，因为年代久远，保存的并不是很完整，同时因为年代的原因，这份手稿的内容顺序根本无法确定。由于手稿不是纸做的，极其脆弱，研究起来也很困难，一直到近几年才有突破。研究学家发现，手稿中除了公式之外，还出现了一些数学符号，比如加减号，而零也并不是突然产生的，最开始用一点“.”表示“0”。 在这本手稿中，“0”并没有表达什么数字，更像一个占位符，所以最初才用一个点来表示，后来才逐渐演变成一个空心圆，同时也可以看出，印度数字中，零的出现，克服了早期河谷文明只留空位而没有符号的缺点。约公元9世纪，包括有零号的印度数码和十进位数值记数法臻于成熟，特别是印度人不仅把“0”看做记数法中的空位，而且也视其为可施行运算的一个独立的数。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲。所以说，阿拉伯数字并不是阿拉伯人创造的，他们只是起了传播作用。而真正对阿拉伯数字有贡献的，正是古印度人。 至今我们依旧无法确定“零”出现的确切时间，但可以想像的是，它出现的时间，只会比我们预想期的要早得多，当然这也证实了古印度是第一个使用零概念的国家。  在中国，概念0的出现是在唐代，也是从印度引入。公元718年，唐开元年间来华的天竺高僧瞿昙悉达在他编纂的《开元占经》一书中，出现了关于概念“0”的占位法。《开元占经》“天竺九执历经”开篇即介绍天竺算字法的以0进位法；那个时候印度人的零依然是黑点。 负数的使用 中国是第一个发明和使用负数的国家。 在公元前2世纪，中国就有了负数的概念，用红色表示正数，用黑色表示负数来计算税款。《九章算术》中，除了引进正负数的概念外，还完整地记载了正负数的运算法则，实际上是正负数加减法的运算法则，也就是书中解方程时用到的'正负术'即'同名相除，异名相益，正无入正之，负无入负之;其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。' 这段话的前四句说的是正负数减法法则，后四句说的是正负数加法法则。 在印度，负数这个词最早出现在公元628年，印度天文学家、数学家布拉马古普塔在其著作《布拉马古普塔》中介绍了负数的使用规则。负数的发明和应用对数学的发展也至关重要。古代印度比其他许多国家都早意识到这一点。 数学家布拉马古普塔他最早的想法就是正数是“财务”，负数是“债务”。如果这个数字比零还小，那就是债务，举个例子，如果一个农民欠了地主10头牛，那么这个农民拥有的牛是-10，因为他是欠别人的，自身并没有牛，所以说这是一笔债务，他需要去买10头牛来还地主。这对于农民来时，就是低于零的支持，就是债务。数学家布拉马古普塔他还提出了“负数加负数即负数，正数加正数即正数”、“正与正、负与负、正与负、正与负、正与零相乘、负与零相乘”等操作规则。 与东方中国、印度相比，许多西方数学家不愿意接受负数。他们认为负数是荒谬的，并质疑负数存在的意义。经过不断的论证和实践，负数在西方被广泛接受。 负数是东方智慧的产物。负数的引进，是我国古代数学家贡献给世界数学的一份宝贵财富。负数概念引进后，整数集和有理数集就完整地形成了。 4、印度数学与天文学 微积分的发明是数学史上一次划时代的壮举。可以说，如果没有微积分，就没有现代科技，就没有人类辉煌的现代文明，人类仍然在黑暗中摸索前行。公元1350年，印度“克拉拉学派”的一批数学家和学者提出了微积分的核心部分之一“无穷级数”的概念。虽然克拉拉邦，学派没有建立系统的微积分，但他们已经构想出了由欧洲数学家提出的泰勒级数、无穷小、微分等概念。  印度人使用了数字，引入了负数，讨论了数的运算法则；广泛使用了无理数等等。如数学家阿耶波多给出了连续n个正整数的平方和和立方和的表达式。阿耶波多在印度率先给出了圆周率，但方法不得而知；他还有一项有意义的结果是一次不定方程的求解。 在阿耶波多之后，过100多年出现了婆罗摩笈多，他留下了两部天文学著作《婆罗多修正体系》和《肯达克迪迦》。婆罗摩笈多使用“二次插值法”，制作了正弦函数表，收录在《肯达克迪迦》；而更多的数学内容包含在《婆罗多修正体系》中，其中“算术讲义”和“不定方程讲义”两章主要讨论了三角形、四边形、二次方程、零和负数的算术性质、运算规则，一阶和二阶不定方程。婆罗摩笈多给出了一元二次方程的求根公式，只是一个根；他还给出了四边形的面积公式，(这个公式从形式上看，很像三角形的面积公式——海伦公式)只是他没注意到公式成立的条件是四边形必须内接于圆。成立条件，请参考公众号：“究尽中学数学”和“究尽数学”文章。 在婆罗摩笈多过世后的四个多世纪中，印度未曾出现杰出的数学家，这期间政治动乱、王朝更迭。在拉喜特拉库塔王朝鼎盛时期，出现了一位数学家——马哈维拉，他撰写了印度第一部初具现代形式的教科书《计算精华》，该书和以往不同，是一本纯粹的数学书籍，不包含天文学内容；书中包括了零的运算、二次方程、利率计算、整数性质和排列组合等内容。 接下来，到了12世纪，出现了印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家婆什伽罗。婆什伽罗有两部重要的数学著作《莉拉沃蒂》和《算法本源》。其中《算法本源》主要探讨了正负数法则、线性方程组、低阶整系数方程求解等代数问题；还给出了毕达哥拉斯定理的两个漂亮证明，其中一个与赵爽的方法相同，另一个是利用相似三角形的性质。 如图所示，在直角三角形ACB中， 婆什伽罗对数学的主要贡献是：采用缩写文字和符号来表示未知数和运算；熟练掌握了三角函数的和差化积公式；比较全面地讨论了负数，广泛使用了负数。 19世纪后期印度诞生了享誉世界的数学天才拉马努金。纵观印度的数学发展，不难发现印度对数学的要求简单实用，数学家也并不多。和中国相比，有很多相似之处。 5、东方数学独树一帜 现代数学的起源通常被认为是欧洲，而东方的成就往往被忽视。然而，古印度微积分的发现无疑证明了东方数学并不亚于西方数学，一个比西方更早建立起来的更为完善的数学体系。一些科学家试图证明微积分是通过一些渠道传到西方的，并被牛顿、莱布尼茨等人学习和进一步发展。虽然没有确凿的证据，但至少证明了数学应该是全人类共同的智力成果，而不是欧洲的一个独特分支。 在古印度，数学正在蓬勃发展。从复杂的微积分到简单的数字，古印度数学为现代数学的发展做出了非常重要贡献。今后，我们或许能在这片土地上探索更多的数学秘密，不断刷新对数学发展的认识。 |
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