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自公元前600年，从古希腊数学真理的起源起，在数学领域一直聚集了世界上最伟大的智者，数学显示了人类理性的最高能力。由于卓有成效，数学的概念与方法不仅影响到了自然科学的各领域，甚至成为自然科学的主宰，几乎没有一个物理定理不是以数学形式表述出来的。 尽管数学精神对人类理性的影响最持久，也最深刻，然而，由于人类思想的局限性，使这一最严谨的学科几度陷于“灾难”之中，其中最著名的灾难之一，就是围绕着“公理化”发生的。 在数学的发展中，总有一个不言自明的规则，这就是“公理化”，即从不证自明的“公理”出发演绎推理，通过看起来清晰、正确、完美的逻辑，得出毋庸置疑、无可辩驳的结论。依赖这种特殊的方法，数学取得了惊人的成就，这套方法至今仍在沿用，以致在任何时候，谁要是想找出一个准确而必然的推理，一定会想到数学。 1900年，在面临世纪之交的重要时刻，德国著名数学家大卫·希尔伯特应邀在巴黎国际数学家大会上以“数学问题”为题做了重要的演讲。 在演讲中，他给数学界提出了23个亟待解决的问题，其中第2个和第10个问题问的是数学能干什么和不能干什么，它们涉及数学的发展前途，因而影响最大。（相关科普请阅读→数学界的“无冕之王”：提出23个直击数学家们灵魂的问题）
大卫·希尔伯特 按照希尔伯特的思想，数学体系应该是真实的和完备的，也就是现有的数学体系内，所有命题都可以利用有限的公理、明确的程序，并在有限的时间内做出真和伪的判定。这个标准很基本，似乎数学应该做到，但事实并非如此。到了1930年，突破口就出现了。 1930年9月，有两个重要的数学会议几乎同时召开，一个是在德国哥尼斯堡召开的“纯粹科学认识论研讨会”，从9月5日到7日一连召开了3天，另一个是在德国哥廷根召开的全德第91届数学物理年度会议。在这两个会议上，恰好各有一位举足轻重的数学家发言，而这两个发言对数学乃至整个科学领域都具有举足轻重的意义。 在1930年9月8日召开的哥廷根会议上，时年68岁的希尔伯特做了退休前的最后一次讲话。他信心十足地回顾了数学的发展，由于30年前他所提出的问题没能完全解决，为了鼓舞后来人的士气，在讲话的最后，他慷慨激昂地用一句拉丁语做了结束。这句话是对应一句拉丁成语说出来的，原来的拉丁成语是“我们不知道，我们将来也不会知道”。希尔伯特把它改成“我们一定要知道，我们将来一定会知道”。 希尔伯特的这句话，道出了他对数学发展以及人类智慧的信心，也被世界科学界广为流传。后来在希尔伯特去世后，这句话被镌刻在他的墓碑上。
希尔伯特的墓碑 然而，就在希尔伯特铿锵有力地说出这句誓言的前两天，即1930年9月6日，在哥尼斯堡召开的“纯粹科学认识论研讨会”上，另一位著名的美国数学家库尔特·哥德尔也发了言， 他发布了一个与希尔伯特的信心完全相悖的“不完全性定理”，把希尔伯特的誓言摆到了针锋相对的位置上。
库尔特·哥德尔 上千年来，人们总偏好信奉一个信条，认为所建成的数学公理化体系完全可以判断体系内所有命题的“真”或“假”，然而，数学家库尔特·哥德尔却用他的“不完全性定理”粉碎了这一个信念。他告诉人们“真”的和“可证”的是两个概念，也就是“真” 的不一定就是“可证”的，而“可证”的也不一定就是“真”的。 哥德尔的证明很复杂，但可以举个例子来简单说明。例如，有一个命题自称它是“不可证”的，姑且叫它为“命题A”。现在就有了两种可能，如果“命题A”被证明是可证的，命题A就是个“假命题”；如果被证明不可证，“命题A”就是个真命题。如果这样，就存在了“不可证的真命题”，这样一来，在数学体系里，要么可能出现假命题，要么就出现了不可证的命题，就是不完备，直接与希尔伯特前面所提出的标准相矛盾。 哥德尔认为，不可能存在完全性的公理体系，无论你给出什么公理体系，这个体系总不是完全的，其中一定存在某个命题，在这个体系中，你无法证明它，也无法否定它，这就是公理体系自身的欠缺性。数学的公理体系的不完全性出自于这个体系是“人为”的，并不一定与现实世界的“真实”相对应，例如在同一平面上平行线不相交的公理，由于真实世界并不存在绝对的无限延伸的“平面”，这一公理的真实性也就成了问题。哥德尔的“不完全性定理”使人们陷入一个始终摆脱不掉的两难境地。
1930年10月，哥德尔再次就“不完全性定理”在科学院做了公开的演讲，题目是“逻辑和自然科学知识”。 在1931年3月25日，又以“数学原理和相关体系中不可判定命题的研究”为题写成论文，正式递交到了德国物理和数学大会上发表。 哥德尔的“不完全性定理”指出，如果在一个数学体系中，即使这个体系是以初等数学形式出现的，其中也会存在着一个命题，它既不可能用体系里的公理和推理证明，也不能用体系中的公理和推理否定，也就是说，这个命题的“真”与“假”不可能在体系内部得到完全的判定。 过去人们认为，只要符合公理所建立的逻辑体系就是可信的，只要仰仗这个数学体系，对所有的命题都可以做出合理的判定。 对于这种天真的想法，哥德尔以他的“不完全性定理”给出了明确的回答，这一切是不可能的。也就是说，一个完备确定性的数学体系不总能通过逻辑从公理上构建出来。 数学与其他自然科学不同，其他科学如物理学是从观察、实验出发，经过归纳或演绎得出结论，然后“被动地”等待实验的裁决，而数学则是主动地采用所谓的“形式化方法”从公理上自行构建出来的，公理体系完全人为制造，如果以1+1=3为公理构建数学体系，在现实中没有意义，但在数学上却是可行的；此外，数学所研究的对象也与其他自然科学不同，它所看重的是事物的“量”，而不是看重事物的 “质”间的规律，粗浅地比喻就是看重“1头牛”和“1只狗”之间的数量“1”，而不在乎它是“牛”还是“狗”。 正因为如此，它所研究的是“看不见”“摸不着”只能用思维来把握的“东西”。思维具有自身的逻辑关系，数学就构建在逻辑关系之上，这种逻辑关系必须有其发展的起点，起点就是“公理”，由不证自明的公理出发，沿着特殊的“逻辑系统”和“形式系统”来发展。 这样一来，数学的发展就天然地有着内在的矛盾，这个矛盾来自它所赖以生存的“公理”以及“形式发展”之中。然而无论是“公理”，还是所使用的“数学模型”，都具有经验的性质，而经验与时代有关，也与人的思想内涵与水平有关，正如有人所说：“每一个时代，都有其神话，并称之为最高的真理。” 在哥德尔之前的数学领域中，高斯、柯西、傅里叶以及众多其他数学大师的成就似乎成了不容反驳的明证，后人被他们铸就的神话所驱使，于是沿着这条铺就的道路，将其当成信念并作为判定事物的标准。 著名英国哲学家、科学家弗兰西斯·培根早就对这种“标准”有很清醒的认识，他在1620年的《新工具》一书中写道：“就像群体和种族关系甚密那样，一个群体的观念是与生俱来的，因而常常被错误地当成判断事物的标准。此外，感觉上的或心智上的领悟力，依赖于人而不是宇宙。而人的心智就像不平的镜面那样，把自己的性质赋予了事物，使从镜面发射出来的光因镜面而扭曲变形。” 弗兰西斯·培根 培根的话正好说明人在认识世界过程中，对真理信念的合理性判断是相对的。随着对世界认识的深化，人们的认识也在不断发展。在信念转化为知识过程中，真正起作用的并不全是逻辑性，其中还有着非机械的、非逻辑的智力创造，这些过程都将涉及人脑的活动。人脑的活动具有高度复杂性，内中包括思维、情感、智慧、意识和反思等，其中夹杂着人的心理活动，而这些心理活动大部分是非逻辑的，而这正好是“不平的镜面”对光线“扭曲”的重要因素。 数学是科学的基础，虽然哥德尔的“不完全性定理”造成“公理化”数学的灾难，但是，像任何“灾难”那样，它也具有重大的科学价值。 首先，它预示着由于“不完全性”的存在，将有许多不可解的科学问题或否定性的科学结论产生，从而使科学成果存在有“局限性”，如计算机与人工智能之父图灵证明，没有一个程序能够具有检验任何程序的功能。 此外，哥德尔的定理不仅具有数学意义，更蕴含了深刻的哲学意义。它的深刻性表明，在历史上还没有哪一个数学定理能像它那样，对人类的认识论产生如此之大的影响。它意味着科学“否定”比“肯定”更具有普遍性，也意味着科学“否定”的功能并不比“肯定”的功能差。 在科学上，一个否定结论的形成往往标志着一个新科学方向的创生，例如，认为绝对零度不可能达到恰好是低温物理学的开端；认识到质点不能以光速运动正好是相对论理论的创始；认识到“不确定性原理”的存在恰好伴随着量子力学的诞生；“不相容原理”又意味着粒子物理的繁荣；爱因斯坦等人的EPR理论对“非局域性”的否定，恰恰促成了第三代量子力学大师的出现。哥德尔的“不完全性定理”深刻地影响着物理学的发展。
爱因斯坦与哥德尔在普林斯顿高等研究所 哥德尔的“不完全性定理”从科学层次上揭露了人类认识的局限性。正如乔治曼森大学物理学教授詹姆斯·特雷菲尔所说，它让人们首次碰到了“在宇宙里，尚有我们人类大脑完全无法理解的一个区域”，这种局限性是由人类心智与理性活动所决定的，是人类认知的局限性或不完备性的表现，是人类认识的固有特征。它表明即使严谨的纯粹数学，也无法使人达到确定性这一步，如果把纯数学与人类的实际经验或观测相结合，就会产生更大的不确定性。因而，在任何认识中，绝对的确定性是没有的。哥德尔直言不讳地说：“我们没有任何确定的知识。”言外之意，即便是最简单的事情，我们也无绝对把握说自己完全捕捉到了“客观实在”。 哥德尔的“不完全性定理”改变了人类关于宇宙认识的看法，在宇宙面前，人类对数学或对任何科学地位的看法被迫做出改变。数学或任何科学不再是精确理论的顶峰，也不再是真理的化身。 哥德尔的这一思想也得到了一些物理学家的呼应。 著名物理学家冯·纽曼参加了那次哥尼斯堡的圆桌会议，因为恰好与他多年的思考产生了共鸣，他对哥德尔的发言立刻发生了兴趣。他把哥德尔拉到了一旁，与他认真做了对话，两人的思想一拍即合。一年之后，冯·纽曼也给出了“不完全定理”的证明。 受到了哥德尔的启发，著名物理学家霍金更不无感慨地说：“上帝不仅掷骰子，而且把骰子掷到了看不到的地方。”
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